《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1. (2024山东省实验中学针对性考试,2)已知$a,b\in\mathrm{R}$,且$a ＞ 0,b ＞ 0$,则“$ab ＞ 1$”是$\ln a\cdot\ln b ＞ 0$的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

答案： D 当$a = \frac{1}{2},b = 4$时，满足$ab＞1$，但$\ln a\cdot\ln b＜0$，充分性不成立；当$a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{3}$时，满足$\ln a\cdot\ln b＞0$，但$ab＜1$，必要性不成立.故“$ab＞1$”是“$\ln a\cdot\ln b＞0$”的既不充分也不必要条件.故选 D.

2. (2024江苏苏州适应性考试,2)已知向量$\boldsymbol{a}=(2,3),\boldsymbol{b}=(x,6)$,则“$x ＞ -9$”是“$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的夹角是锐角”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： B $\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{b}\vert}$，由$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的夹角是锐角得$\begin{cases}2x + 18＞0,\\2\times6 - 3x\neq0,\end{cases}$（注意两向量不能同向）解得$x＞-9$且$x\neq4$，则“$x＞-9$”是“$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的夹角是锐角”的必要不充分条件.

3. (2024广东广州二模,4)某次考试后,甲、乙、丙、丁四位同学讨论其中一道考题,各自陈述如下,甲说:我做错了;乙说:甲做对了;丙说:我做错了;丁说:我和乙中有人做对.已知四人中只有一位同学的解答是正确的,且只有一位同学的陈述是正确的,则解答正确的同学是 ( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

答案： C 若甲解答正确，则乙、丙陈述都正确，与题意矛盾；若乙解答正确，则甲、丙、丁陈述都正确，与题意矛盾；若丙解答正确，则只有甲陈述正确，符合题意；若丁解答正确，则甲、丙、丁陈述都正确，与题意矛盾.故选 C.

4. (2024湖南师大附中月考(七),3)已知定义在$\mathrm{R}$上的函数$f(x)$满足$f(-x)-f(x)=0$,且在$[0,+\infty)$上单调递减,对于实数$a,b$,则“$a^{2} ＜ b^{2}$”是“$f(a) ＞ f(b)$”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： C 由函数$f(x)$满足$f(-x)-f(x)=0$，得函数$f(x)$是$\mathbf{R}$上的偶函数，而$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减，因此由$f(a)＞f(b)$得$f(\vert a\vert)＞f(\vert b\vert)$，$\vert a\vert＜\vert b\vert\Leftrightarrow a^{2}＜b^{2}$，所以“$a^{2}＜b^{2}$”是“$f(a)＞f(b)$”的充要条件.故选 C.

5. (2024山东青岛一模,3)已知直线$a,b$和平面$\alpha,a\not\subset\alpha,b\subset\alpha$,则“$a//\alpha$”是“$a// b$”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： B 当$a//\alpha$时，$a$与$b$平行或异面，当$a// b$时，$a\not\subset\alpha,b\subset\alpha$，则$a//\alpha$，所以“$a//\alpha$”是“$a// b$”的必要不充分条件.故选 B.

6. (2024河南洛平济许联考,4)设$p:0 ＜ \ln(x - 2)\leq\ln 3,q:(x - 2m)(x - 2m - 3)\leq 0$.若$p$是$q$的充分不必要条件,则实数$m$的取值范围是 ( )
A.$[1,\frac{3}{2})$
B.$(1,\frac{3}{2})$
C.$[1,\frac{3}{2}]$
D.$(1,\frac{3}{2}]$

答案： C 因为$0＜\ln(x - 2)\leq\ln3$，所以$1＜x - 2\leq3$，即$3＜x\leq5$，因为$(x - 2m)(x - 2m - 3)\leq0$，所以$2m\leq x\leq2m + 3$，因为$p$是$q$的充分不必要条件，所以$(3,5]$是$[2m,2m + 3]$的真子集，所以$\begin{cases}2m\leq3,\\2m + 3\geq5,\end{cases}$解得$1\leq m\leq\frac{3}{2}$，故选 C.

7. (2024河北石家庄一模,3)已知命题$p:\forall x\in(0,+\infty),e^{x} ＞ \ln x$,则 ( )
A.$p$是假命题,$\neg p:\exists x\in(-\infty,0),e^{x}\leq\ln x$
B.$p$是假命题,$\neg p:\exists x\in(0,+\infty),e^{x}\leq\ln x$
C.$p$是真命题,$\neg p:\exists x\in(-\infty,0),e^{x}\leq\ln x$
D.$p$是真命题,$\neg p:\exists x\in(0,+\infty),e^{x}\leq\ln x$

答案： D 设函数$f(x)=e^{x}-\ln x,x＞0$，则$f^\prime(x)=e^{x}-\frac{1}{x}$，令$g(x)=e^{x}-\frac{1}{x},x＞0$，则$g^\prime(x)=e^{x}+\frac{1}{x^{2}}＞0$，所以$f^\prime(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，且存在一个实数$x_{0}$，使$e^{x_{0}}=\frac{1}{x_{0}}$，所以当$x\in(0,x_{0})$时，$f^\prime(x)＜0$，$f(x)$单调递减，当$x\in(x_{0},+\infty)$时，$f^\prime(x)＞0$，$f(x)$单调递增，故$f(x)_{\min}=e^{x_{0}}-\ln x_{0}=e^{x_{0}}-\ln e^{-x_{0}}=e^{x_{0}}+x_{0}＞0$恒成立，故$p$为真命题.由全称量词命题的否定是存在量词命题知$\neg p$为$\exists x\in(0,+\infty),e^{x}\leq\ln x$.故选 D.

8. (2024山东聊城一模,6)已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n + 1}=3a_{n}+2$,则“$a_{1}=-1$”是“$\{a_{n}\}$是等比数列”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： C 当$a_{1}=-1$时，因为$a_{n + 1}=3a_{n}+2$，所以$a_{n + 1}+1=3(a_{n}+1)$，又$a_{1}=-1$，则$a_{1}+1=0$，则$a_{2}+1=3(a_{1}+1)=0,\cdots$，依此类推可知$a_{n}+1=0$，故$a_{n}=-1$，则$\{a_{n}\}$是首项为$-1$，公比为$1$的等比数列，即充分性成立；当$\{a_{n}\}$是等比数列时，因为$a_{n + 1}=3a_{n}+2$，所以$a_{n + 1}+1=3(a_{n}+1)$，当$a_{n}+1\neq0$时，$\frac{a_{n + 1}+1}{a_{n}+1}=3$，则$\{a_{n}+1\}$是公比为$3$的等比数列，所以$a_{n}+1=(a_{1}+1)\times3^{n - 1}$，即$a_{n}=(a_{1}+1)\times3^{n - 1}-1$，则$a_{2}=3(a_{1}+1)-1=3a_{1}+2,a_{3}=9(a_{1}+1)-1=9a_{1}+8$，由$a_{2}^{2}=a_{1}a_{3}$，得$(3a_{1}+2)^{2}=a_{1}\cdot(9a_{1}+8)$，解得$a_{1}=-1$，不满足题意；当$a_{n}+1=0$，即$a_{1}=-1$时，易知满足题意，所以$a_{1}=-1$，即必要性成立.故选 C.

9. (多选)(2024广东广州华南师大附中调研,9)下列是$a ＞ b ＞ c(a,b,c\neq 0)$的必要条件的是 ( )
A.$ac ＞ bc$
B.$(ac)^{2} ＞ (bc)^{2}$
C.$2^{a - c} ＞ 2^{a - b}$
D.$7^{a + b} ＞ 7^{b + c}$

答案： CD 对于 A，若$c＜0$，则$ac＜bc$，故 A 不符合题意；对于 B，当$a＞0＞-a＞b$时，$a^{2}＜b^{2}$，又知$c\neq0$，$\therefore c^{2}＞0$，$\therefore(ac)^{2}＜(bc)^{2}$，故 B 不符合题意；对于 C，$\because a＞b＞c$，$\therefore a - c＞a - b$，又函数$y = 2^{x}$单调递增，$\therefore2^{a - c}＞2^{a - b}$，故 C 符合题意；对于 D，由$a＞b＞c$可得$a + b＞b + c$，$\therefore7^{a + b}＞7^{b + c}$，反之不一定成立，$\therefore7^{a + b}＞7^{b + c}$是$a＞b＞c$的必要条件，故 D 符合题意，故选 CD.

10. (2024重庆质量检测,12)若命题“$\exists x\in\mathrm{R},-x^{2}-2mx + 2m - 3\geq 0$”为真命题,则$m$的取值范围为 .

答案： 答案$(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)$
解析 由题意知，不等式$-x^{2}-2mx + 2m - 3\geq0$有解，即不等式$x^{2}+2mx - 2m + 3\leq0$有解，则$\Delta = 4m^{2}-4(-2m + 3)\geq0$，即$m^{2}+2m - 3\geq0$，解得$m\leq - 3$或$m\geq1$.$\therefore$实数$m$的取值范围为$(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)$.