《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.(2024山东菏泽一模,8)若数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = (-1)^{n - 1}n$，记在数列$\{a_n\}$的前$n + 2(n\in\mathbf{N}^*)$项中任取两数都是正数的概率为$P_n$，则（ ）
A.$P_1=\frac{2}{3}$
B.$P_9＜P_{10}$
C.$P_{10}＜P_{11}$
D.$P_{11}＜P_{12}$

答案： C $n$为奇数时，前$n + 2$项中有$\frac{n + 3}{2}$个奇数项，即有$\frac{n + 3}{2}$个正数，$P_{n}=\frac{\mathrm{C}_{\frac{n + 3}{2}}^{2}}{\mathrm{C}_{n+2}^{2}}=\frac{\frac{n + 3}{2}\cdot\frac{n + 1}{2}}{(n + 2)(n + 1)}=\frac{(n + 3)(n + 1)}{4(n + 2)(n + 1)}=\frac{n + 3}{4(n + 2)}$；$n$为偶数时，前$n + 2$项中有$\frac{n+2}{2}$个奇数项，即有$\frac{n + 2}{2}$个正数，$P_{n}=\frac{\mathrm{C}_{\frac{n + 2}{2}}^{2}}{\mathrm{C}_{n+2}^{2}}=\frac{\frac{n + 2}{2}\cdot\frac{n}{2}}{(n + 2)(n + 1)}=\frac{(n + 2)n}{4(n + 2)(n + 1)}=\frac{n}{4(n + 1)}$，$P_{1}=\frac{1}{3}$，故A错误；$P_{9}=\frac{12}{44}$，$P_{10}=\frac{10}{4\times11}=\frac{10}{44}$，$P_{9}＞P_{10}$，故B错误；$P_{11}=\frac{14}{4\times13}=\frac{7}{26}＞P_{10}$，故C正确；$P_{12}=\frac{12}{4\times13}=\frac{3}{13}＜P_{11}$，故D错误。故选C。

2.(2024浙江杭州学军中学适应性测试,6)小蒋同学喜欢吃饺子.某日他前往食堂购买16个饺子,其中有$X$个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且$P(X = i)=\frac{1}{17},i = 0,1,\cdots,16$.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（ ）
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{13}{16}$
C.$\frac{14}{17}$
D.$\frac{5}{6}$

答案： C 设事件$A$表示“前13个饺子均为玉米肉馅”，事件$B$表示“16个饺子全部为玉米肉馅”，事件$C_{i}(i = 0,1,2,3)$表示“这16个饺子中有$i$个香菇肉馅”，则$P(A)=P(A|C_{0})\cdot P(C_{0})+P(A|C_{1})P(C_{1})+P(A|C_{2})P(C_{2})+P(A|C_{3})P(C_{3})=1\times\frac{1}{17}+\frac{\mathrm{C}_{15}^{13}}{\mathrm{C}_{16}^{13}}\times\frac{1}{17}+\frac{\mathrm{C}_{14}^{13}}{\mathrm{C}_{16}^{13}}\times\frac{1}{17}+\frac{\mathrm{C}_{13}^{13}}{\mathrm{C}_{16}^{13}}\times\frac{1}{17}=\frac{1}{14}$，$P(AB)=P(X = 0)=\frac{1}{17}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{17}}{\frac{1}{14}}=\frac{14}{17}$。故选C。

3.(多选)(2024广东广州一模,10)甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外，没有其他区别）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件$A_1$和$A_2$表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件$B$表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A.$P(A_1)=\frac{3}{5}$
B.$P(B)=\frac{11}{50}$
C.$P(B|A_1)=\frac{9}{50}$
D.$P(A_2|B)=\frac{2}{11}$

答案： ABD $P(A_{1})=\frac{3}{5}$，A正确。$P(B)=\frac{3}{5}\times\frac{\mathrm{C}_{3}^{2}}{\mathrm{C}_{5}^{2}}+\frac{2}{5}\times\frac{\mathrm{C}_{2}^{2}}{\mathrm{C}_{5}^{2}}=\frac{11}{50}$，B正确。$P(B|A_{1})=\frac{P(A_{1}B)}{P(A_{1})}=\frac{\frac{3}{5}\times\frac{\mathrm{C}_{3}^{2}}{\mathrm{C}_{5}^{2}}}{\frac{3}{5}}=\frac{3}{10}$，C错误。$P(A_{2}|B)=\frac{P(A_{2}B)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{5}\times\frac{\mathrm{C}_{2}^{2}}{\mathrm{C}_{5}^{2}}}{\frac{11}{50}}=\frac{2}{11}$，D正确，故选ABD。

4.(多选)(2024福建九地市质量检测,11)投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量$X_n=\begin{cases}1,第n次投出正面,\\ -1,第n次投出反面,\end{cases}(n = 1,2,3)$.记$A$表示事件“$X_1 + X_2 = 0$”，$B$表示事件“$X_2 = 1$”，$C$表示事件“$X_1 + X_2 + X_3 = -1$”，则（ ）
A.$B$和$C$互为对立事件
B.事件$A$和$C$不互斥
C.事件$A$和$B$相互独立
D.事件$B$和$C$相互独立

答案： BC 选项A，事件$B$和$C$可能同时发生，故A错误；选项B，事件$A$和$C$可能同时发生，故B正确；选项C，易知$P(A)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，$P(B)=\frac{1}{2}$，事件$AB$为前两次投出的硬币结果为“反，正”，则$P(AB)=\frac{1}{4}$，$\therefore P(AB)=P(A)P(B)=\frac{1}{4}$。故C正确；选项D，由选项A、C可知$P(BC)=(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$，$P(B)=\frac{1}{2}$，在事件$C$中三次投出的硬币有一次正面，两次反面，则$P(C)=\mathrm{C}_{3}^{1}(\frac{1}{2})^{2}(1-\frac{1}{2})=\frac{3}{8}$，$\therefore P(BC)\neq P(B)P(C)$，故D错误。故选BC。

5.(多选)(2024湖南长沙一中月考七,11)甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，答题继续；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲、乙每次答题正确的概率分别是$\frac{1}{2}$和$\frac{2}{3}$，且第1题的顺序由抛掷硬币决定，设第$i$次答题者是甲的概率为$P_i$，第$i$次回答问题结束后甲的得分是$K_i$，则（ ）
A.$P_2=\frac{1}{4}$
B.$P(K_2 = 1)=\frac{5}{24}$
C.$P_{i + 1}=\frac{1}{6}P_i+\frac{1}{3}$
D.$E(K_i)=\frac{1}{2}P_i+K_{i - 1}(i\geqslant2)$

答案： BCD 设“第$i$次答题者是甲，且甲答对”为事件$A_{i}$，“第$i$次答题者是乙，且乙答对”为事件$B_{i}$，第2次答题者是甲分两类：①第一次是甲，且甲回答正确；②第一次是乙，且乙回答错误，所以$P_{2}=P(A_{1}+\overline{B}_{1})=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{5}{12}$。故A错误；$P(K_{2}=1)=P(A_{1}\overline{A}_{2}+\overline{B}_{1}A_{2})=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{5}{24}$，故B正确；第$i + 1$次答题者是甲包含两种情况：①甲第$i$次回答，且回答正确；②乙第$i$次回答，且回答错误，所以$P_{i+1}=P_{i}\cdot\frac{1}{2}+(1 - P_{i})\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}P_{i}+\frac{1}{3}$，故C正确；第$i$次答题结束后，甲得分可分为两种情况：①第$i$次答题后甲的得分加上1分，则第$i$次必由甲答题且得1分；②第$i$次答题后甲的得分加上0分，则第$i$次由甲答题且不得分或第$i$次由乙答题，所以$E(K_{i})=\frac{1}{2}P_{i}(K_{i - 1}+1)+(\frac{1}{2}P_{i}+1 - P_{i})K_{i - 1}=\frac{1}{2}P_{i}+K_{i - 1}$，其中$i\geq2$，故D正确。故选BCD。

6.(多选)(2024江苏南京、盐城一模,10)有$n(n\in\mathbf{N}^*,n\geqslant10)$个编号分别为1,2,3,⋯,n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；⋯⋯；以此类推，记“从$i$号盒子取出的球是白球”为事件$A_i(i = 1,2,3,\cdots,n)$，则（ ）
A.$P(A_1A_2)=\frac{1}{3}$
B.$P(A_1|A_2)=\frac{4}{5}$
C.$P(A_1 + A_2)=\frac{7}{9}$
D.$P(A_{10})=\frac{1}{2}$

答案： BC 对于A，$P(A_{1}A_{2})=\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，所以A错误；对于B，$P(A_{2})=\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{5}{9}$，故$P(A_{1}|A_{2})=\frac{P(A_{1}A_{2})}{P(A_{2})}=\frac{4}{5}$，所以B正确；对于C，$P(A_{1}+A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})-P(A_{1}A_{2})=\frac{2}{3}+\frac{5}{9}-\frac{4}{9}=\frac{7}{9}$，所以C正确；对于D，由题意知$P(A_{n})=\frac{2}{3}P(A_{n - 1})+\frac{1}{3}(1 - P(A_{n - 1}))$，所以$P(A_{n})-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}(P(A_{n - 1})-\frac{1}{2})$，所以数列$\{P(A_{n})-\frac{1}{2}\}$是首项为$P(A_{1})-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，公比为$q=\frac{1}{3}$的等比数列，所以$P(A_{n})-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\times(\frac{1}{3})^{n - 1}=\frac{1}{2}\times(\frac{1}{3})^{n}$，所以$P(A_{n})=\frac{1}{2}\cdot(1+\frac{1}{3^{n}})$，则$P(A_{10})=\frac{1}{2}\times(1+\frac{1}{3^{10}})$，所以D错误。故选BC。

7.(2024湖北武汉二调,14)“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为_______.

答案：
答案$\frac{10}{13}$
解析 粒子的运动如图，（√表示从1号仓被捕捉，×表示从2号或3号仓被捕捉，两种情况均不满足题意）

故设粒子从$i$号仓出发最终从1号仓被捕捉的概率为$p_{i}$，则有$\begin{cases}p_{1}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}p_{2}\\p_{2}=\frac{1}{3}p_{1}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}p_{2}\end{cases}$，解得$p_{1}=\frac{10}{13}$。