《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1. (2024山东省实验中学一模,5) 函数$f(x)=\frac{(e^{x}-1)\sin x}{e^{x}+1}$,则$y = f(x)$的部分图象大致形状是 ( )

答案： A：易知函数的定义域为$\mathbf{R}$，因为$y = \frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}$是奇函数，$y=\sin x$是奇函数，所以$f(x)$是偶函数，（奇$\times$奇 = 偶）排除B、D，当$x\in(0,\pi)$时，$y = \frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}＞0$，$y = \sin x＞0$，所以$f(x)＞0$，排除C，故选A。

2. (2024福建高中毕业班适应性测试,3) 函数$f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+\cos x$在$[-\pi,\pi]$的图象大致为 ( )

答案： A：因为$f(-x)=\frac{1}{2}(-x)^{2}+\cos(-x)=\frac{1}{2}x^{2}+\cos x = f(x)$，定义域关于原点对称，所以$f(x)$是偶函数，其图象关于$y$轴对称，排除C、D，当$x\in[0,\pi]$时，对$f(x)$求导得$f'(x)=x - \sin x$，令$g(x)=f'(x)$，则$g'(x)=1-\cos x\geqslant0$，则$f'(x)$在$[0,\pi]$上单调递增，则$f'(x)\geqslant f'(0)=0$，所以$f(x)$在$[0,\pi]$上单调递增，排除B，故选A。

3. (2024天津十二区重点学校一模,5)$y = f(x)$的大致图象如图,则$f(x)$的解析式可能为 ( )

A. $f(x)=\vert x^{2}-\sin x\vert$
B. $f(x)=\vert x - \sin x\vert$
C. $f(x)=\vert 2^{x}-1\vert$
D. $f(x)=\left|x^{2}-x-\frac{1}{4}\right|$

答案： A：因为$f(0)=0$，所以排除D；C.因为当$x ＞ 0$时$f(x)=2^{x}-1$，为$(0,+\infty)$上的增函数，与所给图象不符，所以排除C；B.因为$f(-x)=\vert -x-\sin(-x)\vert=\vert -x + \sin x\vert=\vert x-\sin x\vert$对$x\in\mathbf{R}$都成立，所以$f(x)$为偶函数，与所给图象不符，所以排除B.故选A。

4. (2024湖南长沙长郡中学适应性考试(三),4) 已知函数$f(x)=\begin{cases}\log_{2}x,x ＞ 0,\\(x + 1)^{2},x ＜ 0,\end{cases}$$g(x)=f(-x)-1$,则$g(x)$的图象大致是 ( )

答案：
B：作出函数$f(x)$的图象如图所示.由题意知，将$f(x)$的图象沿$y$轴翻折，再向下平移一个单位长度即可得到$g(x)=f(-x)-1$的图象.

故选B。

5. (2024湖南师大附中二模,5) 已知函数$f(x)$的部分图象如图所示,则函数$f(x)$的解析式可能为 ( )

A. $f(x)=-\frac{2x^{2}}{\vert x\vert - 1}$
B. $f(x)=-\frac{2x^{2}}{\vert x\vert + 1}$
C. $f(x)=-\frac{2x}{\vert x\vert - 1}$
D. $f(x)=-\frac{2\vert x\vert}{x^{2}-1}$

答案： A：由题图可知，函数$f(x)$为偶函数，且定义域不是全体实数，故排除B、C.D选项，当$x ＞ 1$时，$f(x)=-\frac{2x}{x^{2}-1}$，$f'(x)=\frac{2x^{2}+2}{(x^{2}-1)^{2}}＞0$，则$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，故排除D.故选A。

6. (2024安徽皖江名校联盟二模,6) 已知函数$f(x)=\left|a^{x - 1}-\frac{1}{a}\right|-2(a ＞ 0且a\neq1)$有两个零点,则实数$a$的取值范围是 ( )
A. $\left(0,\frac{1}{2}\right)$
B. $\left(\frac{1}{2},1\right)$
C. $(0,1)$
D. $(1,+\infty)$

答案：
A：原问题等价于函数$y = \vert a^{x}-1\vert$的图象与直线$y = 2a$有两个公共点，当$0 ＜ a ＜ 1$时，由图1得$0 ＜ 2a ＜ 1$，故$0 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$；当$a ＞ 1$时，则有$2a＞2$，结合图2知$a ＞ 1$不符合条件.故选A.

7. (2024湖南长沙长郡中学月考六,7) 函数$f(x)=ax^{3}-ax^{2}+bx(a,b\in\mathbf{R})$有3个零点的充分不必要条件是 ( )
A. $a\neq0$,且$a ＞ 4b$
B. $a ＞ 0$,且$a ＜ 4b$
C. $a ＜ 0$,且$a ＞ 4b,b\neq0$
D. $a ＜ 0$,且$a ＜ 4b,b\neq0$

答案： D：$f(x)=ax^{3}-ax^{2}+bx=x(ax^{2}-ax + b)$，$f(0)=0$，若$f(x)$有三个零点，则有$a^{2}-4ab＞0$且$a\neq0$，$b\neq0$，故函数$f(x)=ax^{3}-ax^{2}+bx(a,b\in\mathbf{R})$有$3$个零点的充要条件为$\begin{cases}a＞0,\\a ＞ 4b,\\b\neq0\end{cases}$或$\begin{cases}a＜0,\\a ＜ 4b,\\b\neq0\end{cases}$，结合选项可知D正确.故选D。