《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.(2021新高考Ⅱ,6,5分,中)某物理量的测量结果服从正态分布$N(10,\sigma^{2})$,则下列结论中不正确的是 ( )
A.$\sigma$越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等

答案： D 因为该物理量的测量结果服从正态分布 $N(10,\sigma^{2})$，
所以正态曲线关于直线 $x = 10$ 对称，且方差 $\sigma^{2}$ 越小，分布越集中. 对于 A，$\sigma$ 越小，测量结果越集中在 $10$ 左右，则该物理量一次测量结果落在 $(9.9,10.1)$ 内的概率越大，故选项 A 中结论正确；对于 B，由于正态曲线关于直线 $x = 10$ 对称，所以测量结果大于 $10$ 的概率为 $0.5$，故选项 B 中结论正确；对于 C，由于正态曲线关于直线 $x = 10$ 对称，所以测量结果大于 $10.01$ 的概率与小于 $9.99$ 的概率相等，故选项 C 中结论正确；对于 D，由于该物理量一次测量结果落在 $(9.9,10.0)$ 的概率与落在 $(10.2,10.3)$ 的概率不同，所以测量结果落在 $(9.9,10.2)$ 内的概率与落在 $(10,10.3)$ 内的概率不同，故选项 D 中结论错误，故选 D.

2.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量$X$服从正态分布$N(2,\sigma^{2})$,且$P(2＜ X\leq 2.5)=0.36$,则$P(X＞2.5)=$________.

答案： 答案 $0.14$
解析 $\because$ 随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(2,\sigma^{2})$，$\therefore\mu = 2$.
由正态分布的性质可知 $P(X\leqslant2)=P(X ＞ 2)=0.5$，
$\therefore P(2＜X\leqslant2.5)+P(X ＞ 2.5)=0.5$，
$\therefore P(X ＞ 2.5)=0.5 - 0.36 = 0.14$.

1.(2024湖南师大附中月考六,4)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X = 4)＜P(X = 6),则p =（ ）
A.0.7
B.0.6
C.0.4
D.0.3

答案： B由题知X~B(10,p),则D(X)=10p.(1−p)=2.4,解得p=0.4或0.6.又
∵P(X=4)＜P(X=6),即Coρ⁴.(1−p)⁶＜Cop6(1−p)²⇒(1−p)²＜p²p＞0.5,
∴p=0.6,故选B.

2.(2024河北石家庄二模,2)某市教育局为了解高三学生的学习情况,组织了一次摸底考试,共有50000名考生参加这次考试,数学成绩X近似服从正态分布,其正态密度函数为f(x)=$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - 90)^2}{2\sigma^2}}$，x∈R且P(70≤X≤110)=0.8,则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（ ）
A.2000
B.3000
C.4000
D.5000

答案： D由题意知均值为μ=90,由正态曲线的对称性可知P(X＞110)=0.5−$\frac{1}{2}$P(70≤X≤110)=0.5−0.4=0.1,则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为0.1×50000=5000.故选D.

3.(2024浙江部分学校联考,3)下列说法正确的是（ ）
A.若随机变量$\eta\sim B(12,\frac{1}{4})$，则D($\eta$) = 3
B.若随机变量$\xi\sim N(2,\sigma^2)$，且P($\xi$＜4)=0.8，则P(2＜$\xi$＜4)=0.4
C.一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19
D.若P(A∩B)=$\frac{1}{9}$，P(A)=$\frac{2}{3}$，P(B)=$\frac{1}{3}$，则事件A与事件B相互独立

答案： C对于A,D(η)=np(1−p)=12×$\frac{1}{4}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$,故A 错误;对于B,若随机变量5~N(2,σ²),且P(5＜4)=0.8,则P(2＜5＜4)=P(5＜4)−P(5＜2)=0.8−0.5=0.3,故B错误;对于C,由题知数据是从小到大排列的，且10×80%=8,则第80百分位数为$\frac{18+20}{2}$=19,故C正确;对于D,P(A)=$\frac{2}{3}$,P(B)=$\frac{1}{3}$,故P(A∩B)=$\frac{1}{9}$≠P(A)P(B),故事件A与事件B不相互独立,故D错误.故选C.

4.(2024河南开封第三次质量检测,6)在某项测验中,假设测验数据服从正态分布N(78，16).如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测验数据从大到小分为A，B，C，D四个等级，则等级为A的测验数据的最小值可能是（ ）
（附：若X~N($\mu$，$\sigma^2$)，则P(|X - $\mu$|≤$\sigma$)≈0.6827，P(|X - $\mu$|≤2$\sigma$)≈0.9545）
A.94
B.86
C.82
D.78

答案： C　由题意知μ=78,σ=4,P(X＞μ+o)= $\frac{1−P(1X−μ|≤o)}{2}$=$\frac{1−0.6827}{2}$≈0.16,所以等级为A的测验数据的最小值可能是82.故选C.

5.(2024福建泉州质量检测三,6)中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理,若随机变量$\xi\sim B(n,p)$，则当np＞5且n(1 - p)＞5时，$\xi$可以由服从正态分布的随机变量$\eta$近似替代，且$\xi$的期望与方差分别与$\eta$的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：$\eta\sim N(\mu,\sigma^2)$，则P($\mu-\sigma＜\eta＜\mu+\sigma$)≈0.6827，P($\mu - 2\sigma＜\eta＜\mu+2\sigma$)≈0.9545，P($\mu - 3\sigma＜\eta＜\mu+3\sigma$)≈0.9973.
A.0.0027
B.0.5
C.0.8414
D.0.9773

答案： D骰子向上的点数为偶数的概率p=$\frac{1}{2}$,故5~B{2500,$\frac{1}{2}$),显然mp=n(1−p)=2500×$\frac{1}{2}$＞5,其中np=1250,np(1−ρ)=625,故η~N(1250,25²),则μ+2=1250+50=1300,由正态曲线的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为0.5+$\frac{1}{2}$×0.9545~0.9773.故选D.

6.(2024湖北黄冈二模,8)某校在校庆期间举办羽毛球比赛,某班派出甲、乙两名单打主力,为了提高两位主力的能力,体育老师安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局,当两人获胜局数不少于3局时,则认为这轮训练过关;否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为$p_1$，$p_2$，且满足$p_1 + p_2=\frac{4}{3}$，每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，若E(X)=16，则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为（ ）
A.27
B.24
C.32
D.28

答案： A设每一轮训练过关的概率为p,则p=p²ρ²+p²×C²xp2×(1−p2)+p²xCxpx(1−p)=−3p²p²+2ρP2(P+P2)=−3p²ρ²+2p1P22×$\frac{4}{3}$=−3p²P²+8P1P2.2 又0＜pP2≤$\frac{P+P2}{2}$　=$\frac{4}{9}$,当且仅当ρ1=P2=$\frac{2}{3}$时等号成立.函数y=−3x²+x3　的图象的开口向下,对称轴为直线x=$\frac{4}{9}$,所以0＜−33P;P+P2≤−3x$\frac{4}{9}$2+$\frac{8}{3}$x$\frac{4}{9}$=$\frac{16}{27}$,依题意,知X~B(n,ρ),则E(X)=n|33ρ;ρ+PP2]=116"n−　　　16　　　≥$\frac{16}{16}$=27,所以至少需要27轮.故选A.