《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

(多选)(2024新课标Ⅰ,9,6分,中)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值$\overline{x}=2.1$,样本方差$s^{2}=0.01$,已知该种植区以往的亩收入$X$服从正态分布$N(1.8,0.1^{2})$,假设推动出口后的亩收入$Y$服从正态分布$N(\overline{x},s^{2})$,则(若随机变量$Z$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$,则$P(Z＜\mu +\sigma )\approx 0.8413$) ( )
A.$P(X＞2)＞0.2$
B.$P(X＞2)＜0.5$
C.$P(Y＞2)＞0.5$
D.$P(Y＞2)＜0.8$

答案： BC $X\sim N(1.8,0.1^{2}),Y\sim N(2.1,0.1^{2})$，
对于 A，$\mu + 2\sigma = 1.8 + 2\times0.1 = 2$，$P(X ＞ 2)=P(X ＞ \mu + 2\sigma )＜P(X ＞ \mu+\sigma )\approx1 - 0.8413 = 0.1587$，故 A 错误；
对于 B，$P(X ＞ 2)＜P(X ＞ 1.8)=0.5$，故 B 正确；
对于 C，$\mu-\sigma = 2.1 - 0.1 = 2$，$P(Y ＞ 2)＞P(Y ＞ 2.1)=0.5$，故 C 正确；
对于 D，$P(Y ＞ 2)=P(Y ＞ \mu-\sigma )=P(Y ＜ \mu+\sigma )\approx0.8413＞0.8$，故 D 错误. 故选 BC.

1.(2021浙江,15,6分,中)袋中有4个红球,$m$个黄球,$n$个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为$\xi$,若取出的两个球都是红球的概率为$\frac{1}{6}$,一红一黄的概率为$\frac{1}{3}$,则$m - n =$_______,$E(\xi )=$_______.

答案： 答案 $1;\frac{8}{9}$
解析 $\because P(\xi = 2)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{m + n+4}^{2}}=\frac{6}{C_{m + n+4}^{2}}=\frac{1}{6}$，可得 $C_{m + n+4}^{2}=36$，
$\therefore m + n+4 = 9$，
又$\because P(\text{一红一黄})=\frac{C_{4}^{1}\cdot C_{m}^{1}}{C_{m + n+4}^{2}}=\frac{4m}{36}=\frac{m}{9}=\frac{1}{3}$，解得 $m = 3$，
$\therefore n = 2$，$\therefore m - n = 1$.
$P(\xi = 0)=\frac{C_{5}^{2}}{C_{9}^{2}}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$，$P(\xi = 1)=\frac{C_{4}^{1}\cdot C_{5}^{1}}{C_{9}^{2}}=\frac{4\times5}{36}=\frac{5}{9}$，
$P(\xi = 2)=\frac{1}{6}$，
$\therefore E(\xi)=\frac{5}{18}\times0+\frac{5}{9}\times1+\frac{1}{6}\times2=\frac{5}{9}+\frac{1}{3}=\frac{8}{9}$.

2.(2023全国甲理,19,12分,中)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设$X$表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求$X$的分布列和数学期望.
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5
18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数$m$,再分别统计两样本中小于$m$与不小于$m$的数据的个数,完成如下列联表:

(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异?
附:$K^{2}=\frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$,
$P(K^{2}\geq k)$　0.100　0.050　0.010
$k$　　　2.706　3.841　6.635

答案：
解析
(1) 依题意得，$X$的所有可能取值为 $0,1,2$，
则 $P(X = 0)=\frac{C_{20}^{0}C_{20}^{2}}{C_{40}^{2}}=\frac{19}{78}$，$P(X = 1)=\frac{C_{20}^{1}C_{20}^{1}}{C_{40}^{2}}=\frac{20}{39}$，
$P(X = 2)=\frac{C_{20}^{2}C_{20}^{0}}{C_{40}^{2}}=\frac{19}{78}$，
$\therefore X$的分布列为
　　　　　
$\therefore E(X)=\frac{19}{78}\times0+\frac{20}{39}\times1+\frac{19}{78}\times2 = 1$.
(2)(i) 依题意可得 $m=\frac{23.2 + 23.6}{2}=23.4$.
则对照组样本中小于 $m$的数据的个数为 $6$，
试验组样本中小于 $m$的数据的个数为 $14$，
则列联表为
　　　
(ii) 由 (i) 中列联表可得
$K^{2}=\frac{40\times(6\times6 - 14\times14)^{2}}{20\times20\times20\times20}=6.4＞3.841$，
$\therefore$有 $95\%$的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.