《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

(2024全国甲理,15,5分,中)已知$a ＞ 1$且$\frac{1}{\log_{8}a}-\frac{1}{\log_{4}a}=-\frac{5}{2}$,则$a =$______.

答案：
解析：$\because\frac{1}{\log_{8}a}-\frac{1}{\log_{4}a}=-\frac{5}{2}$，$\therefore\log_{a}8 - \frac{1}{\log_{a}4}=-\frac{5}{2}$，
即$3\log_{a}2-\frac{1}{2\log_{a}2}=-\frac{5}{2}$，
设$t = \log_{a}2$，$\because a＞1$，$\therefore t＞0$，
则$3t-\frac{1}{2t}=-\frac{5}{2}$，整理得$6t^{2}+5t - 1 = 0$，即$(t + 1)(6t - 1)=0$，
$\because t＞0$，$\therefore t=\frac{1}{6}$，即$\log_{a}2=\frac{1}{6}$，$\therefore a^{\frac{1}{6}}=2$，$\therefore a = 2^{6}=64$.

1.(2022浙江,7,4分,易)已知$2^{a}=5,\log_{8}3 = b$,则$4^{a - 3b}=$ ( )
A.25
B.5
C.$\frac{25}{9}$
D.$\frac{5}{3}$

答案： 1 C 由题意知$b = \log_{8}3=\log_{2^{3}}3=\frac{1}{3}\log_{2}3$，又$2^{a}=5$，所以
$4^{a - 3b}=2^{2(a - 3b)}=2^{2a - 6b}=(2^{a})^{2}\cdot2^{-6b}=25\times2^{-2\log_{2}3}=25\times2^{\log_{2}3^{-2}}=25\times3^{-2}=\frac{25}{9}$，故选 C.

2.(2020课标Ⅰ文,8,5分,易)设$a\log_{3}4 = 2$,则$4^{-a}=$ ( )
A.$\frac{1}{16}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{6}$

答案： 2 B $\because a\log_{3}4 = 2$，$\therefore a = 2\log_{4}3=\log_{2}3$，$\therefore 4^{-a}=4^{-\log_{2}3}=2^{-2\log_{2}3}=2^{\log_{2}\frac{1}{9}}=\frac{1}{9}$，故选 B.

3.(2021天津,7,5分,易)若$2^{a}=5^{b}=10$,则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$ ( )
A.-1
B.$\lg7$
C.1
D.$\log_{7}10$

答案： 3 C 解法一：$\because 2^{a}=5^{b}=10$，$\therefore a = \log_{2}10$，$b = \log_{5}10$，
$\therefore\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{\log_{2}10}+\frac{1}{\log_{5}10}=\lg2+\lg5 = 1$.
解法二：由题意可得$2^{ab}=10^{b}$ ①，$5^{ab}=10^{a}$ ②，①×②可得$10^{ab}=10^{a + b}$，故$ab = a + b\Rightarrow\frac{ab}{ab}=\frac{a + b}{ab}\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$.

1.(2023天津,3,5分,易)设$a = 1.01^{0.5},b = 1.01^{0.6},c = 0.6^{0.5}$,则$a,b,c$的大小关系为 ( )
A.$a ＜ b ＜ c$
B.$b ＜ a ＜ c$
C.$c ＜ b ＜ a$
D.$c ＜ a ＜ b$

答案： 1 D $\because f(x)=1.01^{x}$ 单调递增，
$\therefore f(0.5)\lt f(0.6)$，即$a\lt b$.
$\because g(x)=x^{0.5}$ 单调递增，
$\therefore g(1.01)＞g(0.6)$，即$a＞c$，
$\therefore b＞a＞c$，故选 D.

2.(2022天津,5,5分,易)设$a = 2^{0.7},b = (\frac{1}{3})^{0.7},c = \log_{2}\frac{1}{3}$,则$a,b,c$的大小关系为 ( )
A.$a ＜ b ＜ c$
B.$c ＜ a ＜ b$
C.$b ＜ c ＜ a$
D.$c ＜ b ＜ a$

答案： 2 D $a = 2^{0.7}＞2^{0}=1$，$b = (\frac{1}{3})^{0.7}＜(\frac{1}{3})^{0}=1$ 且$b＞0$，$c=\log_{2}\frac{1}{3}＜\log_{2}1 = 0$，故$a＞b＞c$，故选 D.

3.(2021新高考Ⅱ,7,5分,易)若$a = \log_{5}2,b = \log_{8}3,c = \frac{1}{2}$,则 ( )
A.$c ＜ b ＜ a$
B.$b ＜ c ＜ a$
C.$a ＜ c ＜ b$
D.$a ＜ b ＜ c$

答案： 3 C $\because a = \log_{5}2＜\log_{5}5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}=c$，$b = \log_{8}3＞\log_{8}8^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}=c$，
$\therefore a\lt c\lt b$. 故选 C.

4.(2021天津,5,5分,中)设$a = \log_{2}0.3,b = \log_{\frac{1}{2}}0.4,c = 0.4^{0.3}$,则$a,b,c$的大小关系为 ( )
A.$a ＜ b ＜ c$
B.$c ＜ a ＜ b$
C.$b ＜ c ＜ a$
D.$a ＜ c ＜ b$

答案： 4 D 由对数函数的性质得$a = \log_{2}0.3＜0$，
$b = \log_{\frac{1}{2}}0.4＞\log_{\frac{1}{2}}0.5 = 1$.
由指数函数的单调性可知$c = 0.4^{0.3}＜0.4^{0}=1$，且$c＞0$.
综上，可得$a\lt c\lt b$，故选 D.

5.(2020课标Ⅲ文,10,5分,中)设$a = \log_{3}2,b = \log_{5}3,c = \frac{2}{3}$,则 ( )
A.$a ＜ c ＜ b$
B.$a ＜ b ＜ c$
C.$b ＜ c ＜ a$
D.$c ＜ a ＜ b$

答案： 5 A 因为$a = \log_{3}2=\log_{3}\sqrt[3]{8}＜\log_{3}\sqrt[3]{9}=\frac{2}{3}=c$，
$b = \log_{5}3=\log_{5}\sqrt[3]{27}＞\log_{5}\sqrt[3]{25}=\frac{2}{3}=c$，所以$a\lt c\lt b$. 故选 A.

6.(2020课标Ⅰ理,12,5分,中)若$2^{a}+\log_{2}a = 4^{b}+2\log_{4}b$,则 ( )
A.$a ＞ 2b$
B.$a ＜ 2b$
C.$a ＞ b^{2}$
D.$a ＜ b^{2}$

答案： 6 B $2^{a}+\log_{2}a = 2^{2b}+\log_{2}b＜2^{2b}+\log_{2}(2b)$，
令$f(x)=2^{x}+\log_{2}x$，则$f(a)\lt f(2b)$，
又易知$f(x)$ 在$(0,+\infty)$ 上单调递增，
所以$a＜2b$，故选 B.

7.(2020课标Ⅱ,文12,理11,5分,中)若$2^{x}-2^{y}＜3^{-x}-3^{-y}$,则 ( )
A.$\ln(y - x + 1)＞0$
B.$\ln(y - x + 1)＜0$
C.$\ln|x - y|＞0$
D.$\ln|x - y|＜0$

答案： 7 A 因为$2^{x}-2^{y}＜3^{-x}-3^{-y}$，所以$2^{x}-3^{-x}＜2^{y}-3^{-y}$.
设$f(x)=2^{x}-3^{-x}$，
则$f^{\prime}(x)=2^{x}\ln2 - 3^{-x}\ln3\times(-1)=2^{x}\ln2 + 3^{-x}\ln3$，
易知$f^{\prime}(x)＞0$，所以$f(x)$ 在$\mathbf{R}$ 上为增函数.
由$2^{x}-3^{-x}＜2^{y}-3^{-y}$ 得$x\lt y$，
所以$y - x + 1＞1$，所以$\ln(y - x + 1)＞0$，故选 A.
小题速解
取$x = - 1$，$y = 0$，满足$2^{x}-2^{y}＜3^{-x}-3^{-y}$，
此时$\ln(y - x + 1)=\ln2＞0$，$\ln|x - y|=\ln1 = 0$，可排除 B、C、D. 故选 A.

8.(2021全国乙理,12,5分,难)设$a = 2\ln1.01,b = \ln1.02,c = \sqrt{1.04}-1$,则 ( )
A.$a ＜ b ＜ c$
B.$b ＜ c ＜ a$
C.$b ＜ a ＜ c$
D.$c ＜ a ＜ b$

答案： 8 B $\because a = 2\ln1.01=\ln1.01^{2}=\ln1.0201$，
$\therefore a＞b$，排除选项 A 与选项 D.
下面比较$a$ 与$c$ 的大小.
令$f(x)=2\ln(1 + x)-\sqrt{1 + 4x}+1$，$x\in[0,1)$，
则$f^{\prime}(x)=\frac{2}{1 + x}-\frac{2}{\sqrt{1 + 4x}}=\frac{2[\sqrt{1 + 4x}-(1 + x)]}{(1 + x)\cdot\sqrt{1 + 4x}}$，
$\because(1 + 4x)-(1 + x)^{2}=1 + 4x - 1 - 2x - x^{2}=2x - x^{2}=x(2 - x)\geqslant0$ $(x\in[0,1))$，
$\therefore f^{\prime}(x)\geqslant0$，$\therefore f(x)$ 在$[0,1)$ 上为增函数，
$\therefore f(0.01)＞f(0)=0$，得$a＞c$.
排除 C，故选 B.

9.(2020课标Ⅲ理,12,5分,难)已知$5^{5}＜8^{4},13^{4}＜8^{5}$.设$a = \log_{5}3,b = \log_{8}5,c = \log_{13}8$,则 ( )
A.$a ＜ b ＜ c$
B.$b ＜ a ＜ c$
C.$b ＜ c ＜ a$
D.$c ＜ a ＜ b$

答案： 9 A 解法一：$\because a = \log_{5}3$，$b = \log_{8}5$，$c = \log_{13}8$，
$\therefore a - b=\log_{5}3-\log_{8}5=\frac{\ln3}{\ln5}-\frac{\ln5}{\ln8}=\frac{\ln3\cdot\ln8-(\ln5)^{2}}{\ln5\cdot\ln8}$
$＜\frac{(\frac{\ln3+\ln8}{2})^{2}-(\ln5)^{2}}{\ln5\cdot\ln8}=\frac{(\frac{\ln24}{2})^{2}-(\ln5)^{2}}{\ln5\cdot\ln8}$
$＜\frac{(\frac{\ln25}{2})^{2}-(\ln5)^{2}}{\ln5\cdot\ln8}=0$，$\therefore a\lt b$，
$\because 5^{5}＜8^{4}$，$\therefore 5\log_{8}5＜4$，$\therefore b = \log_{8}5＜\frac{4}{5}$，
$\because 13^{4}＜8^{5}$，$\therefore 4＜5\log_{13}8$，$\therefore c = \log_{13}8＞\frac{4}{5}$，$\therefore a\lt b\lt c$. 故选 A.
解法二：$a = \log_{5}3\in(0,1)$，$b = \log_{8}5\in(0,1)$，则$\frac{a}{b}=\frac{\log_{5}3}{\log_{8}5}=\log_{5}3\cdot\log_{5}8＜(\frac{\log_{5}3+\log_{5}8}{2})^{2}=(\frac{\log_{5}24}{2})^{2}＜1$，$\therefore a\lt b$.
又$\because 13^{4}＜8^{5}$，$\therefore 13^{5}＜13\times8^{5}$，两边同取以 13 为底的对数得$\log_{13}13^{5}＜\log_{13}(13\times8^{5})$，即$\log_{13}8＞\frac{4}{5}$，$\therefore c＞\frac{4}{5}$.
又$\because 5^{5}＜8^{4}$，$\therefore 8\times5^{5}＜8^{5}$，两边同取以 8 为底的对数得$\log_{8}(8\times5^{5})＜\log_{8}8^{5}$，即$\log_{8}5＜\frac{4}{5}$，$\therefore b＜\frac{4}{5}$.
综上所述，$c＞b＞a$，故选 A.
小题速解
（利用糖水不等式：设$a＞b＞0$，$m＞0$，则有$\frac{b}{a}＜\frac{b + m}{a + m}$ 求解）
$a=\frac{\lg3}{\lg5}＜\frac{\lg3+\lg\frac{8}{5}}{\lg5+\lg\frac{8}{5}}=\frac{\lg\frac{24}{5}}{\lg8}＜\frac{\lg5}{\lg8}=b$，且$a=\frac{\lg3}{\lg5}＜\frac{\lg3+\lg\frac{13}{5}}{\lg5+\lg\frac{13}{5}}=\frac{\lg\frac{39}{5}}{\lg13}＜\frac{\lg8}{\lg13}=c$，所以排除 B、C、D. 故选 A.