《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.（2024新课标Ⅰ，2,5分，易）若$\frac{z}{z - 1}=1 + i$，则$z=$（ ）
A.$-1 - i$
B.$-1 + i$
C.$1 - i$
D.$1 + i$

答案： C 依题意知$z=(z - 1)(1 + i)=z(1 + i)-1 - i$，则$z=\frac{1 + i}{i}=\frac{(1 + i)\cdot(-i)}{i\cdot(-i)}=1 - i$. 故选 C.

2.（2024新课标Ⅱ，1,5分，易）已知$z=-1 - i$，则$|z|=$（ ）
A.0
B.1
C.$\sqrt{2}$
D.2

答案： C $\because z=-1 - i$，$\therefore|z|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$，故选 C.

3.（2024全国甲理，1,5分，易）若$z = 5 + i$，则$i(\overline{z}+z)=$（ ）
A.10i
B.2i
C.10
D.2

答案： A $\because\overline{z}=5 - i$，$\therefore i(\overline{z}+z)=i(5 - i + 5 + i)=10i$，故选 A.

1.（2023新课标Ⅱ，1,5分，易）在复平面内，$(1 + 3i)\cdot(3 - i)$对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A $(1 + 3i)(3 - i)=6 + 8i$，对应的点$(6,8)$位于第一象限，故选 A.

2.（2021新高考Ⅱ，1,5分，易）在复平面内，复数$\frac{2 - i}{1 - 3i}$对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A $\frac{2 - i}{1 - 3i}=\frac{(2 - i)(1 + 3i)}{(1 - 3i)(1 + 3i)}=\frac{5 + 5i}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$，此复数在复平面内对应的点的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，该点在第一象限，故选 A.

3.（2020课标Ⅲ理，2,5分，易）复数$\frac{1}{1 - 3i}$的虚部是（ ）
A.$-\frac{3}{10}$
B.$-\frac{1}{10}$
C.$\frac{1}{10}$
D.$\frac{3}{10}$

答案： D $\frac{1}{1 - 3i}=\frac{1 + 3i}{(1 - 3i)(1 + 3i)}=\frac{1 + 3i}{10}$，所以虚部为$\frac{3}{10}$，选 D.

4.（2023全国乙文，1,5分，易）$|2 + i^2 + 2i^3|=$（ ）
A.1
B.2
C.$\sqrt{5}$
D.5

答案： C $|2 + i^{2}+2i^{3}|=|2 - 1 - 2i|=|1 - 2i|=\sqrt{5}$，故选 C.

5.（2023全国甲理，2,5分，易）设$a\in\mathbf{R}$，$(a + i)(1 - ai)=2$，则$a=$（ ）
A.$-2$
B.$-1$
C.1
D.2

答案： C 因为$(a + i)(1 - ai)=a - a^{2}i + i - ai^{2}=2a+(1 - a^{2})i = 2$，所以$\begin{cases}2a = 2\\1 - a^{2}=0\end{cases}$，解得$a = 1$，故选 C.

6.（2022全国乙理，2,5分，易）已知$z = 1 - 2i$，且$z + a\overline{z}+b = 0$，其中$a,b$为实数，则（ ）
A.$a = 1,b=-2$
B.$a=-1,b = 2$
C.$a = 1,b = 2$
D.$a=-1,b=-2$

答案： A 由题意知$\overline{z}=1 + 2i$，所以$z + a\overline{z}+b=1 - 2i+a(1 + 2i)+b=a + b + 1+(2a - 2)i$，又$z + a\overline{z}+b = 0$，所以$a + b + 1+(2a - 2)i = 0$，所以$\begin{cases}a + b + 1 = 0\\2a - 2 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b=-2\end{cases}$，故选 A.

7.（2020课标Ⅱ理，15,5分，中）设复数$z_1,z_2$满足$|z_1| = |z_2| = 2,z_1 + z_2=\sqrt{3}+i$，则$|z_1 - z_2|=$_______.

答案： 答案$2\sqrt{3}$ 解析解法一：设复数$z_{1}=a + bi$，$z_{2}=c + di(a,b,c,d\in\mathbf{R})$，则$a^{2}+b^{2}=4$，$c^{2}+d^{2}=4$，又$z_{1}+z_{2}=(a + c)+(b + d)i=\sqrt{3}+i$，$\therefore a + c=\sqrt{3}$，$b + d = 1$，则$(a + c)^{2}+(b + d)^{2}=a^{2}+c^{2}+b^{2}+d^{2}+2ac + 2bd = 4$，$\therefore8 + 2ac + 2bd = 4$，即$2ac + 2bd=-4$，$\therefore|z_{1}-z_{2}|=\sqrt{(a - c)^{2}+(b - d)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-(2ac + 2bd)}=\sqrt{8-(-4)}=2\sqrt{3}$. 解法二：在复平面内，用向量思想求解，原问题等价于：平面向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}| = 2$，且$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(\sqrt{3},1)$，求$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$. 考虑到$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}+(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}=2|\boldsymbol{a}|^{2}+2|\boldsymbol{b}|^{2}$，故$4+(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}=16$，故$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=2\sqrt{3}$，故$|z_{1}-z_{2}|=2\sqrt{3}$.

1.（2020新高考Ⅱ，2,5分，易）$(1 + 2i)(2 + i)=$（ ）
A.$-5i$
B.5i
C.$-5$
D.5

答案： B $(1 + 2i)(2 + i)=2 + 4i + i - 2 = 5i$，故选 B.

2.（2022新高考Ⅱ，2,5分，易）$(2 + 2i)(1 - 2i)=$（ ）
A.$-2 + 4i$
B.$-2 - 4i$
C.$6 + 2i$
D.$6 - 2i$

答案： D $(2 + 2i)(1 - 2i)=2 - 4i + 2i - 4i^{2}=6 - 2i$，故选 D.

3.（2022新高考Ⅰ，2,5分，易）若$i(1 - z)=1$，则$z+\overline{z}=$（ ）
A.$-2$
B.$-1$
C.1
D.2

答案： D 解法一：由题意可知$1 - z=\frac{1}{i}=-i$，所以$z = 1 + i$，所以$z+\overline{z}=(1 + i)+(1 - i)=2$. 故选 D. 解法二：在$i(1 - z)=1$两边同时乘$i$得$-(1 - z)=i$，$z = 1 + i$，故$z+\overline{z}=2$.

4.（2021新高考Ⅰ，2,5分，易）已知$z = 2 - i$，则$z(\overline{z}+i)=$（ ）
A.$6 - 2i$
B.$4 - 2i$
C.$6 + 2i$
D.$4 + 2i$

答案： C 解法一：$\because z = 2 - i$，$\therefore\overline{z}=2 + i$，$\therefore z(\overline{z}+i)=(2 - i)(2 + i + i)=(2 - i)(2 + 2i)=4 + 4i - 2i - 2i^{2}=6 + 2i$. 故选 C. 解法二：$z(\overline{z}+i)=\overline{z}z+zi=2^{2}+(-1)^{2}+(2 - i)i=5 + 2i - i^{2}=6 + 2i$. 归纳总结设$z=a + bi(a,b\in\mathbf{R})$，则$\overline{z}\cdot z=a^{2}+b^{2}$.

5.（2020新高考Ⅰ，2,5分，易）$\frac{2 - i}{1 + 2i}=$（ ）
A.1
B.$-1$
C.i
D.$-i$

答案： D $\frac{2 - i}{1 + 2i}=\frac{(2 - i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)}=\frac{-5i}{5}=-i$. 故选 D.

6.（2023新课标Ⅰ，2,5分，易）已知$z=\frac{1 - i}{2 + 2i}$，则$z-\overline{z}=$（ ）
A.$-i$
B.i
C.0
D.1

答案： A $z=\frac{1 - i}{2(1 + i)}=\frac{(1 - i)^{2}}{2(1 + i)(1 - i)}=\frac{-2i}{4}=-\frac{1}{2}i$，$\therefore\overline{z}=\frac{1}{2}i$，$\therefore z-\overline{z}=-i$，故选 A.

7.（2023全国乙理，1,5分，易）设$z=\frac{2 + i}{1 + i^2 + i^5}$，则$\overline{z}=$（ ）
A.1 - 2i
B.1 + 2i
C.2 - i
D.2 + i

答案： B $z=\frac{2 + i}{1 + i^{2}+i^{3}}=\frac{2 + i}{1 - 1 + i}=\frac{(2 + i)i}{i^{2}}=-(2i - 1)=1 - 2i$，则$\overline{z}=1 + 2i$，故选 B.

8.（2022全国甲理，1,5分，易）若$z=-1+\sqrt{3}i$，则$\frac{z}{z\overline{z}-1}=$（ ）
A.$-1+\sqrt{3}i$
B.$-1-\sqrt{3}i$
C.$-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}i$
D.$-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}i$

答案： C $\overline{z}=-1-\sqrt{3}i$，$z\overline{z}=(-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i)=1 + 3 = 4$. $\frac{z}{z\overline{z}-1}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{3}=-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}i$，故选 C.