《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

7. (多选)(2024福建厦门第三次质量检测,10)定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$的值域为$(-\infty,0)$,且$f(2x)+f(x + y)f(x - y)=0$,则（ ）
A.$f(0)= - 1$
B.$f(4)+f^{2}(1)=0$
C.$f(x)f(-x)=1$
D.$f(x)+f(-x)\leqslant - 2$

答案： 令$x = y = 0$,则有$f(0)+f²(0)=0$.解得$f(0)=0$或$f(0)=-1$,因为函数$f(x)$的值域为$(-\infty,0)$,所以$f(0)=-1$,A正确；令$x = 1$,$y = 0$,则有$f(2)+f(1)=0$,即$f(2)=-f(1)$,令$x = 2$,$y = 0$,则有$f(4)+f²(2)=0$,即$f(4)+f²(1)=0$,B不正确；令$x = 0$,则有$f(0)+f(y)f(-y)=0$,所以$f(y)f(-y)=1$,即$f(x)f(-x)=1$,C正确；因为$f(x)＜0$,所以$-f(x)＞0$,$-f(-x)＞0$,所以$(-f(x))+(-f(-x))\geq2\sqrt{f(x)f(-x)}=2$,当且仅当$f(x)=f(-x)$时取等号,所以$f(x)+f(-x)\leq - 2$,D正确.故选ACD.

8. (多选)(2024浙江杭州二模,10)已知函数$f(x)$对任意实数$x$均满足$2f(x)+f(x^{2}-1)=1$,则（ ）
A.$f(-x)=f(x)$
B.$f(\sqrt{2})=1$
C.$f(-1)=\frac{1}{3}$
D. 函数$f(x)$在区间$(\sqrt{2},\sqrt{3})$上不单调

答案： 对于A,在$2f(x)+f(x² - 1)=1$中用$-x$代换$x$,得$2f(-x)+f(x² - 1)=1$,所以$f(-x)=f(x)=\frac{1}{2}(1 - f(x² - 1))$,故A正确；对于B,在$2f(x)+f(x² - 1)=1$中,令$x = 1$,得$2f(1)+f(0)=1$ ①,令$x = 0$,得$2f(0)+f(-1)=1$,即$2f(0)+f(1)=1$②,由①②,解得$f(0)=f(1)=\frac{1}{3}$,令$x=\sqrt{2}$,得$2f(\sqrt{2})+f(1)=1$,可得$f(\sqrt{2})=\frac{1}{2}(1 - f(1))=\frac{1}{3}$,故B不正确；对于C,由A,B的分析可知$f(-1)=f(1)=\frac{1}{3}$,故C正确；对于D,若$x = x² - 1$,即$x² - x - 1 = 0$,则$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$,所以$2f(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2})+f(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2})=1$,得$f(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2})=\frac{1}{3}$,因为$\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\in(\sqrt{2},\sqrt{3})$,且$f(\sqrt{2})=f(\frac{1+\sqrt{5}}{2})=\frac{1}{3}$,所以$f(x)$在区间$(\sqrt{2},\sqrt{3})$上不单调,故D正确.故选ACD.

9. (多选)(2024浙江丽水、湖州、衢州二模,11)已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$,且$f(x + y)f(x - y)=f^{2}(x)-f^{2}(y)$,$f(1)=2$,$f(x + 1)$为偶函数,则（ ）
A.$f(3)=2$
B.$f(x)$为奇函数
C.$f(2)=0$
D.$\sum_{k = 1}^{2024}f(k)=0$

答案： 令$x = 1$,$y = 0$,则$f(1)=f(1)-f(0)$,故$f(0)=0$,令$x = 0$,$y = x$,则$f(x)\cdot f(-x)=f²(0)-f²(x)$,$f(x)(f(-x)+f(x))=0$恒成立,则$f(-x)+f(x)=0$,又函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$,所以$f(x)$是奇函数，则$f(-1)=-f(1)=-2$,因为$f(x + 1)$是偶函数,所以$f(-x + 1)=f(x + 1)$,则$f(-1)=f(3)=-2$,$f(2)=f(0)=0$,又$f(x + 1)=f(-x + 1)=-f(x - 1)$,（注意$f(x)$是奇函数）所以$f(x + 3)=-f(x + 1)=f(x - 1)$,即$f(x + 4)=f(x)$,则函数$f(x)$的周期为$4$,$f(4)=f(0)=0$,则$\sum_{k = 1}^{2024}f(k)=506(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))=506\times(2 + 0 - 2 + 0)=0$.综上,BCD正确，A错误.故选BCD.

10. (多选)(2024福建莆田第二次教学质量检测,11)已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足:$f(x + y)=f(x)+f(y)-3xy(x + y)$,则（ ）
A.$y = f(x)$是奇函数
B. 若$f(1)=1$,则$f(-2)=4$
C. 若$f(1)= - 1$,则$y = f(x)+x^{3}$为增函数
D. 若$\forall x＞0,f(x)+x^{3}＞0$,则$y = f(x)+x^{3}$为增函数

答案： 对于A,令$x = y = 0$,得$f(0)=2f(0)$,解得$f(0)=0$;令$y = - x$,得$f(0)=f(x)+f(-x)$,即$f(x)+f(-x)=0$,又$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$,故$y = f(x)$是奇函数,A正确；对于B,令$x = y = 1$,得$f(2)=2f(1)-3\times2$,又$f(1)=1$,则$f(2)=2\times1 - 6 = - 4$,由A可知$y = f(x)$为奇函数,故$f(-2)=-f(2)=4$,故B正确；对于C,由A知,$f(0)=0$,对于$y = f(x)+x³$,当$x = 0$时,$y = f(0)+0 = 0$;当$x = 1$时,$y = f(1)+1 = 0$,故$y = f(x)+x³$不是单调递增函数,故C错误；对于D,在$\mathbf{R}$上任取$x_1$,$x_2$且$x_1＞x_2$,令$h(x)=f(x)+x³$,则$h(x_1)-h(x_2)=f(x_1)+x_1³-f(x_2)-x_2³=f((x_1 - x_2)+x_2)-f(x_2)+(x_1 - x_2)(x_1²+x_2²+x_1x_2)=f(x_1 - x_2)+f(x_2)-3(x_1 - x_2)x_2[(x_1 - x_2)+x_2]-f(x_2)+(x_1 - x_2)(x_1²+x_2²+x_1x_2)=f(x_1 - x_2)-3x_1x_2(x_1 - x_2)+(x_1 - x_2)(x_1²+x_2²+x_1x_2)=f(x_1 - x_2)+(x_1 - x_2)(x_1²+x_2²-2x_1x_2)=f(x_1 - x_2)+(x_1 - x_2)³$,若$x＞0$,$f(x)+x³＞0$,且$x_1 - x_2＞0$,故$f(x_1 - x_2)+(x_1 - x_2)³＞0$,即$h(x_1)-h(x_2)＞0$,$h(x_1)＞h(x_2)$,故$y = h(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增,亦即$y = f(x)+x³$在$\mathbf{R}$上单调递增,故D正确.故选ABD.

11. (多选)(2024安徽黄山第一次质量检测,11)已知函数$f(x)$及其导函数$f'(x)$的定义域均为$\mathbf{R}$,记$g(x)=f'(x)$.若$f(x)$满足$f(2 + 3x)=f(-3x)$,$g(x - 2)$的图象关于直线$x = 2$对称,且$g(0)=1$,则（ ）
A.$f(x)$是奇函数
B.$g(1)=0$
C.$f(x)=f(x + 4)$
D.$\sum_{k = 1}^{2024}g(\frac{k}{2})=0$

答案： 对于A,因为函数$g(x - 2)$的图象关于直线$x = 2$对称,所以$g(x)$的图象关于$y$轴对称,所以$g(x)$为偶函数，又因为$g(x)=f'(x)$,所以$f'(-x)=f'(x)$,令$h(x)=f(x)+f(-x)$,则$h'(x)=f'(x)-f'(-x)=0$,所以$h(x)$为常数函数,设$h(x)=f(x)+f(-x)=C$,其中$C$为常数,当$C\neq0$时,$f(-x)=C - f(x)\neq - f(x)$,此时,函数$f(x)$不是奇函数,A错误；（提示:$f(x)$为奇函数时一定能推出$f'(x)$为偶函数，但是$f'(x)$为偶函数不能推出$f(x)$一定为奇函数）对于B,$f(2 + 3x)=f(-3x)$,令$t = 3x$,得$f(t + 2)=f(-t)$,即$f(x + 2)=f(-x)$,两边求导得$f'(x + 2)=-f'(-x)$,即$g(x + 2)+g(-x)=0$,所以函数$g(x)$的图象关于点$(1,0)$对称，因为$g(x)$的定义域为$\mathbf{R}$,所以$g(1)=0$,故B正确；对于C,因为$f(x)+f(-x)=C$,且$f(x + 2)=f(-x)$,所以$f(x + 2)=C - f(x)$,所以$f(x + 4)=C - f(x + 2)=C-(C - f(x))=f(x)$,故C正确；对于D,$f(x)=f(x + 4)$两边同时求导得$f'(x)=f'(x + 4)$,即$g(x)=g(x + 4)$,所以函数$g(x)$是以$4$为周期的周期函数,在$g(x + 2)+g(-x)=0$中,令$x = -\frac{1}{2}$,得$g(\frac{3}{2})+g(-\frac{1}{2})=0$,令$x = 0$,得$g(2)+g(0)=g(2)+1 = 0$,可得$g(2)=-1$,令$x=\frac{1}{2}$,得$g(\frac{5}{2})+g(\frac{1}{2})=0$,因为$g(\frac{1}{2})=g(\frac{1}{2}+4)=g(\frac{7}{2})$,所以$g(\frac{5}{2})+g(\frac{7}{2})=0$,令$x = 1$,得$g(3)+g(-1)=0$,又因为$g(3)=g(-1)$,所以$g(3)=0$,又因为$g(4)=g(0)=1$,所以$g(\frac{1}{2})+g(1)+g(\frac{3}{2})+g(2)+g(\frac{5}{2})+g(3)+g(\frac{7}{2})+g(4)=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0 - 1 + 0 + 1 = 0$,因为$2024 = 8\times253$,所以$\sum_{k = 1}^{2024}g(\frac{k}{2})=253\sum_{k = 1}^{8}g(\frac{k}{2})=0$,故D 正确.故选BCD.

12. (多选)(2024江苏南通二调,11)已知函数$f(x),g(x)$的定义域均为$\mathbf{R}$,$f(x)$的图象关于点$(2,0)$对称,$g(0)=g(2)=1$,$g(x + y)+g(x - y)=g(x)f(y)$,则（ ）
A.$f(x)$为偶函数
B.$g(x)$为偶函数
C.$g(-1 - x)= - g(-1 + x)$
D.$g(1 - x)=g(1 + x)$

答案： 令$x = 0$,则$g(y)+g(-y)=g(0)f(y)$,因为$g(0)=1$,所以$g(y)+g(-y)=f(y)$,即$g(x)+g(-x)=f(x)$,则$f(-x)=g(-x)+g(x)$,则$f(x)=f(-x)$,又定义域为$\mathbf{R}$,所以$f(x)$为偶函数,故A正确；因为$f(x)$的图象关于点$(2,0)$对称,所以$f(2)=0$,令$x = 0$,$y = 2$,得$g(2)+g(-2)=g(0)f(2)=0$,故$g(-2)=-1\neq g(2)$,故B错误；令$x = y = - 1$,得$g(-2)+g(0)=g(-1)f(-1)=0$,令$x = y = 1$,得$g(2)+g(0)=g(1)f(1)=2$.故$g(1)$,$f(1)\neq0$,从而$f(-1)\neq0$,故$g(-1)=0$,令$x = - 1$,得$g(-1 + y)+g(-1 - y)=0$,则$g(-1 - y)=-g(-1 + y)$,即$g(-1 - x)=-g(-1 + x)$,故C正确；令$y = 2$,得$g(x + 2)+g(x - 2)=0$,$g(x + 2)=-g(x - 2)$,用$x - 1$替换$x$得$g(x + 1)=-g(x - 3)$,因为$g(-1 - x)=-g(-1 + x)$,所以用$x - 2$替换$x$得$g(-1-(x - 2))=-g(-1+(x - 2))$,即$g(1 - x)=-g(x - 3)$,所以$g(1 - x)=g(1 + x)$,故D正确.故选ACD.

(概念深度理解)(多选)(2024湖北七市州3月联考,11)我们知道,函数$y = f(x)$的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数$y = f(x)$为奇函数.有同学发现可以将其推广为函数$y = f(x)$的图象关于点$P(a,b)$成中心对称图形的充要条件是函数$y = f(x + a)-b$为奇函数.已知函数$f(x)=\frac{4}{2^{x}+2}$,则下列结论正确的有（ ）
A. 函数$f(x)$的值域为$(0,2]$
B. 函数$f(x)$的图象关于点$(1,1)$成中心对称图形
C. 函数$f(x)$的导函数$f'(x)$的图象关于直线$x = 1$对称
D. 若函数$g(x)$满足$y = g(x + 1)-1$为奇函数,且其图象与函数$f(x)$的图象有2024个交点,记为$A_{i}(x_{i},y_{i})(i = 1,2,\cdots,2024)$,则$\sum_{i = 1}^{2024}(x_{i}+y_{i})=4048$

答案： 对于A,显然$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$,$2^{x}＞0$,则$0＜2^{x}+2＜2$,即函数$f(x)$的值域为$(0,2)$,A错误；对于B,令$h(x)=f(x + 1)-1=\frac{4}{2^{x + 1}+2}-1=\frac{2}{2^{x}+1}-1=\frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}$,则$h(-x)=\frac{1 - 2^{-x}}{1 + 2^{-x}}=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}=-h(x)$,即$y = f(x + 1)-1$是奇函数,因此函数$f(x)$的图象关于点$(1,1)$成中心对称图形,B正确；对于C,由选项B知,$f(-x + 1)-1=-(f(x + 1)-1)$,即$f(1 - x)+f(1 + x)=2$,两边求导得$-f'(1 - x)+f'(1 + x)=0$,即$f'(1 - x)=f'(1 + x)$,则$f(x)$的导函数$f'(x)$的图象关于直线$x = 1$对称,C正确；对于D,由函数$g(x)$满足$y = g(x + 1)-1$为奇函数,得函数$g(x)$的图象关于点$(1,1)$成中心对称,由选项B知,函数$g(x)$的图象与函数$f(x)$的图象的$2024$个交点关于点$(1,1)$对称，则$\sum_{i = 1}^{2024}(x_{i}+y_{i})=1012\times2 + 1012\times2 = 4048$,D正确.故选BCD.