《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.(2023天津,7,5分,易)鸢是鹰科的一种鸟,《诗经.大雅.旱麓》日“鸢飞戾天,鱼跃于渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名(图1),寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样,收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位:cm),绘制对应散点图(图2).
计算得样本相关系数为0.8642,利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为$\hat{y}=0.7501x + 0.6105$.根据以上信息,如下判断正确的为(　　　)

A.花萼长度与花瓣长度不存在相关关系
B.花萼长度与花瓣长度负相关
C.花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cm
D.若选取其他品种鸢尾花进行抽样,所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642

答案： 1 C：题图2中的散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，这说明成对样本数据之间存在正相关关系，故A、B错误；把$x = 7$代入经验回归方程$\hat{y}=0.7501x + 0.615$，得$\hat{y}=5.8612$，故C正确；由于样本发生变化，所以样本相关系数不一定相同，故D错误.

2.(2020课标II,文18,理18,12分,中)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据$(x_{i},y_{i})(i = 1,2,\cdots,20)$，其中$x_{i}$和$y_{i}$分别表示第$i$个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得$\sum_{i = 1}^{20}x_{i}=60$，$\sum_{i = 1}^{20}y_{i}=1200$，$\sum_{i = 1}^{20}(x_{i}-\overline{x})^{2}=80$，$\sum_{i = 1}^{20}(y_{i}-\overline{y})^{2}=9000$，$\sum_{i = 1}^{20}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})=800$.
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘地块数)；
(2)求样本$(x_{i},y_{i})(i = 1,2,\cdots,20)$的相关系数(精确到0.01)；
(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
附:相关系数$r=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}\sum_{i = 1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}}}$，$\sqrt{2}\approx1.414$.

答案： 2 解析
(1)由已知得样本平均数$\overline{y}=\frac{1}{20}\sum_{i = 1}^{20}y_{i}=60$，从而该地区这种野生动物数量的估计值为$60\times200 = 12000$.
(2)样本$(x_{i},y_{i})(i = 1,2,\cdots,20)$的相关系数
$r=\frac{\sum_{i = 1}^{20}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{20}(x_{i}-\overline{x})^{2}\sum_{i = 1}^{20}(y_{i}-\overline{y})^{2}}}=\frac{800}{\sqrt{80\times9000}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx0.94$.
(3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样.
理由如下：由
(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关. 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.