《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

9.(2024广东广州三模,17)在第二十五届中国国际高新技术成果交易会上，中国科学院的科研团队带来了可以在零下70摄氏度到零上80摄氏度范围内正常使用的宽温域锂电池，为新能源汽车在冬季等极端温度下的使用提供了技术支撑。中国新能源汽车也在科研团队的努力下，在世界舞台上扮演着越来越重要的角色，已知某锂电池生产商对一批锂电池最低正常使用零下温度(单位:℃)进行了检测，得到如下频率分布直方图。
(1)求最低正常使用零下温度的第60百分位数。
(2)以抽样检测的频率作为实际情况的概率。
①若随机抽取3块电池，设抽到锂电池最低正常使用零下温度在[20,50]的数量为$X$，求$X$的分布列；
②若锂电池最低正常使用零下温度在[30,50]之间，则为A类锂电池。若以抽样检测的频率作为实际情况的概率，从这批锂电池中随机抽取10块，抽到$k$块为“A类锂电池”的可能性最大，试求$k$的值。

答案： 解析
(1)设最低正常使用零下温度的第 60 百分位数为 $a$，由直方图可知最低正常使用零下温度在 $[0,20)$ 的频率为 0.4，在 $[0,30)$ 的频率为 0.65，因此最低正常使用零下温度的第 60 百分位数 $a$ 一定在 $[20,30)$ 内，则有 $0.01\times10+0.03\times10+0.025\times(a - 20)=0.6$，解得 $a = 28$，所以最低正常使用零下温度的第 60 百分位数为 $28^{\circ}C$。
(2)①由题意可知 $X$ 的可能值是 0,1,2,3，$X\sim B(3,0.6)$，$P(X = 0)=C_3^00.6^0\times0.4^3 = 0.064$；$P(X = 1)=C_3^10.6^1\times0.4^2 = 0.288$；$P(X = 2)=C_3^20.6^2\times0.4^1 = 0.432$；$P(X = 3)=C_3^30.6^3\times0.4^0 = 0.216$，所以 $X$ 的分布列为
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $P$ | 0.064 | 0.288 | 0.432 | 0.216 |
②设抽到 $A$ 类锂电池的数量为 $Y$，则 $Y\sim B(10,0.35)$，若抽到 $k$ 块的可能性最大，则 $P(Y = k)=C_{10}^k0.35^k(1 - 0.35)^{10 - k},k = 0,1,\cdots,10$，$\begin{cases}P(Y = k)\geq P(Y = k - 1)\\P(Y = k)\geq P(Y = k + 1)\end{cases}$，即 $\begin{cases}C_{10}^k0.35^k0.65^{10 - k}\geq C_{10}^{k - 1}0.35^{k - 1}0.65^{11 - k}\\C_{10}^k0.35^k0.65^{10 - k}\geq C_{10}^{k + 1}0.35^{k + 1}0.65^{9 - k}\end{cases}$，即 $\begin{cases}7(11 - k)\geq13k\\13(k + 1)\geq7(10 - k)\end{cases}$，解得 $2.85\leq k\leq3.85$，由于 $k\in N^*$，故 $k = 3$。

(2024安徽合肥二模,17)树人中学高三(1)班某次数学质量检测(满分150分)的统计数据如下表:
在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为$x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$，其平均数记为$\overline{x}$，方差记为$s_1^2$；把第二层样本记为$y_1,y_2,y_3,\cdots,y_m$，其平均数记为$\overline{y}$，方差记为$s_2^2$；把总样本数据的平均数记为$\overline{z}$，方差记为$s^2$。
(1)证明:$s^2=\frac{1}{m + n}\{n[s_1^2+(\overline{x}-\overline{z})^2]+m[s_2^2+(\overline{y}-\overline{z})^2]\}$；
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1)；
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为$\mu$和$\sigma$的估计值。如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为A，B，C，D四个等级，试确定各等级的分数线(精确到1)。
附:$P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)\approx0.68$，$\sqrt{302}\approx17$，$\sqrt{322}\approx18$，$\sqrt{352}\approx19$。

答案：
解析
(1)证明：$s^2=\frac{1}{m + n}[\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\bar{z})^2+\sum_{i = 1}^{m}(y_i-\bar{z})^2]=\frac{1}{m + n}[\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\bar{x}+\bar{x}-\bar{z})^2+\sum_{i = 1}^{m}(y_i-\bar{y}+\bar{y}-\bar{z})^2]=\frac{1}{m + n}\{\sum_{i = 1}^{n}[(x_i-\bar{x})^2+(\bar{x}-\bar{z})^2+2(x_i-\bar{x})(\bar{x}-\bar{z})]+\sum_{i = 1}^{m}[(y_i-\bar{y})^2+(\bar{y}-\bar{z})^2+2(y_i-\bar{y})(\bar{y}-\bar{z})]\}$，因为 $\sum_{i = 1}^{n}[2(x_i-\bar{x})(\bar{x}-\bar{z})]=2(\bar{x}-\bar{z})\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\bar{x})=2(\bar{x}-\bar{z})(x_1 + x_2+\cdots+x_n - n\bar{x}) = 0$，同理 $\sum_{i = 1}^{m}[2(y_i-\bar{y})(\bar{y}-\bar{z})]=0$，所以 $s^2=\frac{1}{m + n}\{n[s_1^2+(\bar{x}-\bar{z})^2]+m[s_2^2+(\bar{y}-\bar{z})^2]\}$。