《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1. (2024广东湛江一模,17)甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格,第2格,……,第25格,棋子开始在第1格,盒中有5个大小相同的小球,其中3个红球,2个白球(5个球除颜色外都相同).每次甲在盒中随机摸出两球,记下颜色后放回盒中,若两球颜色相同,棋子向前跳1格;若两球颜色不同,棋子向前跳2格,直到棋子跳到第24格或第25格时,游戏结束.记棋子跳到第n格的概率为Pₙ(n = 1,2,3,⋯,25).
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望;
(2)证明:数列{Pₙ - Pₙ₋₁}(n = 2,3,⋯,24)为等比数列.

答案：
解析
(1)根据题意可知,X的所有可能取值为0，1,2,P(X=0)=$\frac{C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$,P(X=1)=$\frac{C_{3}^{1}C_{2}^{1}}{C_{5}^{2}}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$,P(X=2)=$\frac{C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$可得X的分布列为
　　　　　
所以E(X)=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$
(2)证明:由
(1)知两球颜色相同的概率为$\frac{2}{5}$,颜色不同的概率为$\frac{3}{5}$
棋子在第1格为必然事件，则P₁=1,
棋子跳到第2格的概率为P₂=$\frac{2}{5}$,所以P₂−P₁=−$\frac{3}{5}$,
当3≤n≤24时,Pₙ=$\frac{2}{5}$Pₙ₋₁+$\frac{3}{5}$Pₙ₋₂,
所以5(Pₙ−Pₙ₋₁)=−3(Pₙ₋₁−Pₙ₋₂),所以$\frac{Pₙ−Pₙ₋₁}{Pₙ₋₁−Pₙ₋₂}$=$-\frac{3}{5}$,所以数列{Pₙ - Pₙ₋₁}是以$-\frac{3}{5}$为首项，$-\frac{3}{5}$为公比的等比数列

2. (2024甘肃二诊,18)民间谚语“杨柳儿活,抽陀螺;杨柳儿青,放空钟;杨柳儿死,踢毽子”,体现随着季节变化,可以进行不同的健身活动,其中踢毽子在我国流传很广,有着悠久的历史.据考证,踢毽子起源于中国汉代,盛行于六朝、隋、唐.某市高中学校为弘扬传统文化,增强学生身体素质,在高一年级开展了“人人参与”“团队竞赛”的踢毽子活动.在“人人参与”的环节中记录高一年级700名学生每人每分钟踢毽子的次数,从中抽取100名学生的成绩进行统计,如图所示,得到样本的频率分布直方图.将踢毽子每分钟次数样本数据第60百分位数(精确到1),记为“达标”的指标界值.
(1)请根据样本数据,求高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值;
(2)“团体竞赛”规则为,每班选出由3名选手组成的代表队参赛,上场的甲、乙、丙3人,由甲将毽子等可能地踢给另外两人中的1人,接到毽子的人再等可能地踢向另外两人中的1人,如此不停地传下去,直到有选手没有接到毽子则比赛结束,记录此时的传踢个数作为团队成绩.记第i(i∈N⁺)次传踢之前毽子在甲的概率为aᵢ,易知a₁ = 1,a₂ = 0.求第6次传踢前,毽子传到甲的概率a₆,并讨论第i次传踢前(i∈N⁺,且i≥3)毽子在甲、乙、丙三人中哪一人的概率最大.

答案： 解析
(1)设高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值为x,分析得x∈[45,50),
依题意有(x−45)×0.06=0.6−(0.01+0.024+0.036+0.040)×5,即x=45+$\frac{0.05}{0.06}$≈46.
(2)设第i次传踢之前毽子在乙、丙的概率为bᵢ,cᵢ,
由传递的对称性知bᵢ=cᵢ,又aᵢ+bᵢ+cᵢ=1,
则有bᵢ=cᵢ=$\frac{1 - aᵢ}{2}$,aᵢ₊₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1 - aᵢ}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1 - aᵢ}{2}$=$\frac{1 - aᵢ}{2}$,
所以aᵢ₊₁=−$\frac{aᵢ}{2}$+$\frac{1}{2}$,即有aᵢ₊₁ - $\frac{1}{3}$= - $\frac{1}{2}$(aᵢ - $\frac{1}{3}$)(i∈N⁺),所以{aᵢ - $\frac{1}{3}$}为等比数列,其中首项为a₁ - $\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$,公比为 - $\frac{1}{2}$,即aᵢ - $\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$×(- $\frac{1}{2}$)ⁱ⁻¹,
所以aᵢ=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$×(- $\frac{1}{2}$)ⁱ⁻¹(i∈N⁺),a₆=$\frac{5}{16}$,
i为偶数时,aᵢ＜$\frac{1}{3}$,bᵢ=cᵢ＞$\frac{1}{3}$,毽子在乙、丙的概率较大；i为奇数时,aᵢ＞$\frac{1}{3}$,bᵢ=cᵢ＜$\frac{1}{3}$,毽子在甲的概率较大.