《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.(2024新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量$\boldsymbol{a}=(0,1)$，$\boldsymbol{b}=(2,x)$，若$\boldsymbol{b}\perp(\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a})$，则$x=$（ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2

答案： 因为$\boldsymbol{b}\perp(\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a})$，所以$\boldsymbol{b}\cdot(\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a}) = 0$，则$\boldsymbol{b}^{2}-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=2^{2}+x^{2}-4(0\times2 + 1\times x)=0$，即$x^{2}-4x + 4=(x - 2)^{2}=0$，解得$x = 2$，故选D。

2.(2024新课标Ⅱ,3,5分,易)已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}| = 2$，且$(\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{a})\perp\boldsymbol{b}$，则$|\boldsymbol{b}| =$（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. 1

答案：
∵$(\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{a})\perp\boldsymbol{b}$，
∴$\boldsymbol{b}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，即$\boldsymbol{b}^{2}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$。
又
∵$|\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}| =\sqrt{(\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b})^{2}}$，
∴$\boldsymbol{a}^{2}+4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+4\boldsymbol{b}^{2}=4$，
∴$\boldsymbol{a}^{2}+6\boldsymbol{b}^{2}=4$。又
∵$|\boldsymbol{a}| = 1$，
∴$\boldsymbol{b}^{2}=\frac{1}{2}$，
∴$|\boldsymbol{b}| =\frac{\sqrt{2}}{2}$，故选B。

3.(2024全国甲理,9,5分,中)设向量$\boldsymbol{a}=(x + 1,x)$，$\boldsymbol{b}=(x,2)$，则（ ）
A. $x = - 3$是$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$的必要条件
B. $x = 1+\sqrt{3}$是$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的必要条件
C. $x = 0$是$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$的充分条件
D. $x = - 1+\sqrt{3}$是$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的充分条件

答案： 由$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$得$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=x^{2}+3x = 0$，解得$x = 0$或$x = - 3$，因此，选项A错误，选项C正确；
由$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$得$x^{2}-2(x + 1)=0$，即$x^{2}-2x - 2 = 0$，
解得$x = 1\pm\sqrt{3}$，因此，选项B、D错误，故选C。

1.(2020新高考Ⅱ,3,5分,易)若$D$为$\triangle ABC$的边$AB$的中点，则$\overrightarrow{CB}=$（ ）
A. $2\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$
B. $2\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CD}$
C. $2\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}$
D. $2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}$

答案：
∵$D$为$\triangle ABC$的边$AB$的中点，
∴$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$，
∴$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$。故选A。

2.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在$\triangle ABC$中，点$D$在边$AB$上，$BD = 2DA$。记$\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{m}$，$\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{n}$，则$\overrightarrow{CB}=$（ ）
A. $3\boldsymbol{m}-2\boldsymbol{n}$
B. $-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$
C. $3\boldsymbol{m}+2\boldsymbol{n}$
D. $2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$

答案： 解法一：由题意可知，$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{m}-\boldsymbol{n}$，又$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DA}$，所以$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DA}=2(\boldsymbol{m}-\boldsymbol{n})$，所以$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}=\boldsymbol{n}-2(\boldsymbol{m}-\boldsymbol{n})=3\boldsymbol{n}-2\boldsymbol{m}$，故选B。
解法二：因为点$D$在边$AB$上，且$BD = 2DA$，所以$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DA}$，即$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=2(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CD})$，所以$\overrightarrow{CB}=3\overrightarrow{CD}-2\overrightarrow{CA}=-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$，故选B。

3.(2021全国乙文,13,5分,易)已知向量$\boldsymbol{a}=(2,5)$，$\boldsymbol{b}=(\lambda,4)$，若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则$\lambda =$_______。

答案： 答案$\frac{8}{5}$
解析　由已知$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$得$2\times4 = 5\lambda$，
∴$\lambda=\frac{8}{5}$。

1.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量$\boldsymbol{a}=(2,1)$，$\boldsymbol{b}=(-2,4)$，则$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| =$（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： 由题意知$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(4,-3)$，
所以$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}} = 5$，故选D。

2.(2023全国甲文,3,5分,易)已知向量$\boldsymbol{a}=(3,1)$，$\boldsymbol{b}=(2,2)$，则$\cos\langle\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rangle =$（ ）
A. $\frac{1}{17}$
B. $\frac{\sqrt{17}}{17}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： 因为$\boldsymbol{a}=(3,1)$，$\boldsymbol{b}=(2,2)$，所以$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(5,3)$，$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(1,-1)$，所以$\cos\langle\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rangle=\frac{(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})}{|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}||\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|}=\frac{5 - 3}{\sqrt{34}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{17}}{17}$，故选B。

3.(2020课标Ⅲ理,6,5分,易)已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 5$，$|\boldsymbol{b}| = 6$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = - 6$，则$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rangle =$（ ）
A. $-\frac{31}{35}$
B. $\frac{19}{35}$
C. $\frac{17}{35}$
D. $\frac{19}{35}$

答案： 由题意得$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})}{|\boldsymbol{a}|\cdot|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|}=\frac{\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|\cdot\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}}=\frac{25 - 6}{5\times\sqrt{25 + 36 - 12}}=\frac{19}{35}$，故选D。

4.(2022新高考Ⅱ,4,5分,易)已知向量$\boldsymbol{a}=(3,4)$，$\boldsymbol{b}=(1,0)$，$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}$，若$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle =\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$，则$t =$（ ）
A. -6
B. -5
C. 5
D. 6

答案： 由题意可得$\boldsymbol{c}=(3 + t,4)$，
由$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle =\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$得$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\cos\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$，
即$\frac{3(3 + t)+4\times4}{5\sqrt{(3 + t)^{2}+4^{2}}}=\frac{3 + t}{\sqrt{(3 + t)^{2}+4^{2}}}$，解得$t = 5$，故选C。

5.(2023全国甲理,4,5分,中)已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$满足$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$，$|\boldsymbol{c}| = \sqrt{2}$，且$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，则$\cos\langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\rangle =$（ ）
A. $-\frac{4}{5}$
B. $-\frac{2}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

答案：

∵$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0$，
∴$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{c}$，
∴$\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}^{2}$，
∵$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$，$|\boldsymbol{c}| =\sqrt{2}$，
∴$1 + 1+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=2$，解得$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，又$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}=-\boldsymbol{b}$，
∴$\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{c}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}^{2}$，得$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=-1$，同理$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=-1$，
∴$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}^{2}=4$，又$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}|^{2}=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{c}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=1 + 2+2 = 5$，
∴$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}|=\sqrt{5}$，同理$|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|=\sqrt{5}$，
∴$\cos\langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\rangle=\frac{(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})}{|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}|\cdot|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|}=\frac{4}{5\times\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$，故选D。
一题多解
∵$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$，$|\boldsymbol{c}| =\sqrt{2}$，且$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0$，
∴分别以$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$为边构造等腰直角三角形
$OAB$，如图所示，
以$O$为坐标原点，$OA$方向为$x$轴正方向建立
平面直角坐标系，则$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA}=(1,0)$，$\boldsymbol{b}=\overrightarrow{AB}=(0,1)$，$\boldsymbol{c}=\overrightarrow{BO}=(-1,-1)$，则$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}=(2,1)$，$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=(1,2)$，
所以$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}| = |\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|=\sqrt{5}$，所以$\cos\langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\rangle=\frac{(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})}{|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}|\cdot|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|}=\frac{2\times1 + 1\times2}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$，故选D。

6.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = \sqrt{3}$，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = |2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，则$|\boldsymbol{b}| =$_______。

答案： 答案$\sqrt{3}$
解析　由$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = |2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，得$\boldsymbol{a}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=4\boldsymbol{a}^{2}-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$，即$\boldsymbol{a}^{2}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$，则由$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| =\sqrt{3}$，得$\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=\boldsymbol{b}^{2}=3$，所以$|\boldsymbol{b}| =\sqrt{3}$

7.(2021新高考Ⅱ,15,5分,中)已知向量$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，$|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{c}| = 2$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}=$_______。

答案： 答案$\frac{9}{2}$
解析　解法一：由$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0$，得$\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=-\boldsymbol{a}$，则$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=-\boldsymbol{a}^{2}$，所以$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}=-1^{2}=-1$。由$\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=-\boldsymbol{a}$，得$(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})^{2}=(-\boldsymbol{a})^{2}$，则$\boldsymbol{b}^{2}+2\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}^{2}=\boldsymbol{a}^{2}$，即$2^{2}+2\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+2^{2}=1^{2}$，所以$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=-\frac{7}{2}$，所以$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}=-\frac{9}{2}$
解法二：由已知可得$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}+\boldsymbol{c}^{2}+2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=9 + 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=0$，因此$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}=-\frac{9}{2}$

1.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量$\boldsymbol{a}=(1,1)$，$\boldsymbol{b}=(1,-1)$。若$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})$，则（ ）
A. $\lambda+\mu = 1$
B. $\lambda+\mu = - 1$
C. $\lambda\mu = 1$
D. $\lambda\mu = - 1$

答案： 由题意得$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}) = 0$，
即$\boldsymbol{a}^{2}+(\lambda+\mu)\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\lambda\mu\boldsymbol{b}^{2}=0$，
∵$\boldsymbol{a}=(1,1)$，$\boldsymbol{b}=(1,-1)$，
∴$\boldsymbol{a}^{2}=2$，$\boldsymbol{b}^{2}=2$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，
∴$2 + 2\lambda\mu=0$，解得$\lambda\mu=-1$，故选D。