《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.(2024黑龙江齐齐哈尔二模,4)在△ABC中，2sinA = 3sinB，AB = 2AC，则cosC = (　　)
A.$\frac{1}{2}$　　
　B.$-\frac{1}{2}$　　
　C.$\frac{1}{4}$　　
　D.$-\frac{1}{4}$

答案： 由正弦定理及$2\sin A = 3\sin B$可得$2BC = 3AC$，又$AB = 2AC$，所以$AC:BC:AB = 2:3:4$，不妨设$AC = 2k$，$BC = 3k$，$AB = 4k$，$k＞0$，所以$\cos C=\frac{4k^{2}+9k^{2}-16k^{2}}{2\times2k\times3k}=-\frac{1}{4}$。故选D。

2.(2024山东青岛一模,4)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b = 2asinB，bc = 4，则△ABC的面积为 (　　)
A.1　　　
　B.$\sqrt{5}$　　
　C.2　　　
　D.$2\sqrt{5}$

答案： 由$b = 2a\sin B$及正弦定理得$\sin B = 2\sin A\sin B$，因为$\sin B\neq0$，所以$\sin A=\frac{1}{2}$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times4\times\frac{1}{2}=1$。故选A。

3.(2024山东济南一模,5)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acosC + $\sqrt{3}$asinC = b,则A = (　　)
A.$\frac{\pi}{6}$　　
　B.$\frac{\pi}{4}$　　
　C.$\frac{\pi}{3}$　　
　D.$\frac{\pi}{2}$

答案： 由$a\cos C+\sqrt{3}a\sin C = b$及正弦定理得$\sin A\cos C+\sqrt{3}\sin A\sin C=\sin B=\sin(A + C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$，所以$\sqrt{3}\sin A\sin C=\cos A\sin C$，因为$\sin C\neq0$，所以$\sqrt{3}\sin A=\cos A$，$\tan A=\frac{\sqrt{3}}{3}$，由$A\in(0,\pi)$得$A=\frac{\pi}{6}$。选A。

4.(2024湖北八市联考,7)设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列,则最小内角的正弦值为 (　　)
A.$\frac{3}{5}$　　
　B.$\frac{4}{5}$　　
　C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$　　
　D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： 设三个内角分别为$A$，$B$，$C$，且$A＜B＜C=\frac{\pi}{2}$，则$\cos C = 0$，且$\cos C+\cos A = 2\cos B$，即$2\cos B=\cos A$，又$A + B=\frac{\pi}{2}$，则$2\cos B = 2\sin A$，$2\sin A=\cos A$，解得$\tan A=\frac{1}{2}$，又$A\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}$。故选C。

5.(2024T8第二次联考,6)在△ABC中,sin(B - A) = $\frac{1}{4}$,2a² + c² = 2b²,则sinC = (　　)
A.$\frac{2}{3}$　　
　B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$　　
　C.$\frac{1}{2}$　　
　D.1

答案： $a^{2}+c^{2}-b^{2}=2ac\cos B$，$b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bc\cos A$，两式相减，得$2a^{2}-2b^{2}=2ac\cos B - 2bc\cos A=-c^{2}$，$\therefore 2a\cos B - 2b\cos A=-c$。由正弦定理，得$2\sin A\cos B - 2\sin B\cos A=-2\sin(B - A)=-\sin C$，$\therefore \sin C=\frac{1}{2}$，故选C。

6.(2024浙江台州二模,6)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acosC = 2ccosA,则$\frac{bc}{a²}$的最大值为 (　　)
A.$\sqrt{3}$　　
　B.$\frac{3}{2}$　　
　C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$　　
　D.3

答案： 因为$a\cos C = 2c\cos A$，所以由余弦定理的推论得$a\cdot\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=2c\cdot\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$，整理可得$3a^{2}=b^{2}+3c^{2}$，所以$3a^{2}=b^{2}+3c^{2}\geqslant2\sqrt{3}bc$，即$\frac{bc}{a^{2}}\leqslant\frac{\sqrt{3}}{2}$，当且仅当$b = \sqrt{3}c$时等号成立，即$\frac{bc}{a^{2}}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。故选C。

7.(2024安徽合肥二模,7)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c = 2,$\frac{1}{tanA}$ + $\frac{1}{tanB}$ + $\frac{1}{tanAtanB}$ = 1.则△ABC面积的最大值为 (　　)
A.$1 + \sqrt{2}$　
　B.$1 + \sqrt{3}$　
　C.$2\sqrt{2}$　
　D.$2\sqrt{3}$

答案： 由$\frac{1}{\tan A}+\frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan A\tan B}=1$得$\frac{\tan A+\tan B + 1}{\tan A\tan B}=1$，化简得$\tan A+\tan B=-1+\tan A\tan B$，得$\tan(A + B)=-1=-\tan C$，（注意$\tan(A + B)=\frac{\tan A+\tan B}{1 - \tan A\tan B}$）故$C=\frac{\pi}{4}$。$\because c = 2$，$C=\frac{\pi}{4}$，$\therefore$根据余弦定理得$4=a^{2}+b^{2}-\sqrt{2}ab$，$\because a^{2}+b^{2}\geqslant2ab$（当且仅当$a = b$时取等号），$\therefore ab\leqslant2(2+\sqrt{2})$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C\leqslant1+\sqrt{2}$。故$\triangle ABC$面积的最大值为$1+\sqrt{2}$。故选A。

8.(2024广东韶关二模,6)在△ABC中,tanA = $\frac{1}{4}$,tanB = $\frac{3}{5}$.若△ABC的最长边的长为$\sqrt{17}$,则最短边的长为 (　　)
A.$\sqrt{2}$　　
　B.$\sqrt{3}$　　
　C.2　　　
　D.$\sqrt{5}$

答案： 在$\triangle ABC$中，$\tan(A + B)=\frac{\tan A+\tan B}{1 - \tan A\tan B}=1$，因为$\tan A＜\tan B＜1$，所以$A＜B＜45^{\circ}$，所以最短边长为$BC$且$A + B = 45^{\circ}$，则$C = 135^{\circ}$，由$\tan A=\frac{1}{4}$得$\sin A=\frac{\sqrt{17}}{17}$。由$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$得$BC=\frac{AB\sin A}{\sin C}=\sqrt{2}$，即最短边的长为$\sqrt{2}$，故选A。

9.(2024湖北武汉二调,12)在△ABC中,其内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B = $\frac{3\pi}{4}$,b = 6,a² + c² = 2$\sqrt{2}$ac,则△ABC的面积为________.

答案： 答案：$3$
解析：在$\triangle ABC$中，$B=\frac{3\pi}{4}$，$b = 6$，$a^{2}+c^{2}=2\sqrt{2}ac$，由余弦定理得$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B=2\sqrt{2}ac-2ac\cos\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}ac$，解得$ac = 6\sqrt{2}$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\times6\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=3$。

10.(2024江苏南通二模,12)在△ABC中,AB = $\sqrt{7}$,AC = 1,M为BC的中点,∠MAC = 60°,则AM = ________.

答案：
答案：$\frac{3}{2}$
解析：取$AC$的中点$N$，连接$MN$，由$M$为$BC$的中点，得$MN=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{7}}{2}$，在$\triangle AMN$中，由余弦定理得$MN^{2}=AM^{2}+AN^{2}-2AM\cdot AN\cos\angle CAM$，即$\frac{7}{4}=AM^{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}AM$，即$AM^{2}-\frac{1}{2}AM-\frac{3}{2}=0$，而$AM＞0$，所以$AM=\frac{3}{2}$

11.(2024河南顶级名校联考,13)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且b = acosC + $\sqrt{3}$csinA,则A = ________,$\frac{b\sin B}{c}$ = ________.

答案： 答案：$\frac{\pi}{6}$；$\frac{1}{2}$
解析：因为$b = a\cos C+\sqrt{3}c\sin A$，所以$\sin B=\sin(A + C)=\sin A\cos C+\sqrt{3}\sin C\sin A$。又$\sin(A + C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$，所以$\cos A\sin C=\sqrt{3}\sin C\sin A$，可得$\tan A=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$A=\frac{\pi}{6}$。因为$a$，$b$，$c$成等比数列，所以$\frac{b}{c}=\frac{a}{b}$，从而$\frac{b\sin B}{c}=\frac{a\sin B}{b}=\sin A=\frac{1}{2}$。

12.(2024湖南岳阳质量检测二,12)岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上,下瞰洞庭,前望君山.因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世,自古有“洞庭天下水,岳阳天下楼”之美誉.小明为了测量岳阳楼的高度AB,他首先在C处,测得楼顶A的仰角为60°,然后沿BC方向行走22.5米至D处,又测得楼顶A的仰角为30°,则楼高AB为________米.

答案： 答案：$\frac{45\sqrt{3}}{4}$
解析：由题可得$\angle ACB = 60^{\circ}$，$CD = 22.5$，$\angle ADB = 30^{\circ}$，在$Rt\triangle ABC$中，$AC=\frac{AB}{\sin\angle ACB}=\frac{2\sqrt{3}}{3}AB$，$BC=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{3}AB$，在$Rt\triangle ABD$中，$BD = BC + CD=\frac{\sqrt{3}}{3}AB+22.5$，所以$\tan\angle ADB=\frac{AB}{BD}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{3}AB+22.5}$，解得$AB=\frac{45\sqrt{3}}{4}$，所以楼高$AB$为$\frac{45\sqrt{3}}{4}$米。

13.(2024辽宁八市八校联考,13)《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作,书中有一道测量山上松树高度的题目,受此题启发,小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图，把塔底与塔顶分别看作点C,D,CD与地面垂直,小李先在地面上选取点A,B(点A,B在建筑物的同一侧,且点A,B,C,D位于同一个平面内),测得AB = 20$\sqrt{3}$m,在点A处测得点C,D的仰角分别为30°,67°,在点B处测得点D的仰角为33.5°,则塔高CD为________m.参考数据:sin37⁰≈$\frac{3}{5}$

答案：
答案：$24$
解析：如图，延长$DC$与$BA$的延长线交于点$E$，则$\angle DAE = 67^{\circ}$，$\angle CAE = 30^{\circ}$，$\angle DBA = 33.5^{\circ}$，
所以$\angle ADB = 67^{\circ}-33.5^{\circ}=33.5^{\circ}$，$\angle ACE = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，所以$AD = AB = 20\sqrt{3}$。在$\triangle ACD$中，$\angle CAD = 67^{\circ}-30^{\circ}=37^{\circ}$，$\angle ACD = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$，由正弦定理，得$CD=\frac{AD\sin37^{\circ}}{\sin120^{\circ}}\approx\frac{20\sqrt{3}\times\frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 24(m)$，即塔高$CD$为$24m$。