《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.(2020浙江,9,4分,难)已知$a,b\in \mathbf{R}$且$ab\neq 0$，对于任意$x\geqslant 0$均有$(x - a)(x - b)(x - 2a - b)\geqslant 0$，则（ ）
A.$a＜0$
B.$a＞0$
C.$b＜0$
D.$b＞0$

答案：
设$f(x)=(x - a)(x - b)(x - 2a - b)$，则$f(x)$的零点为$a$、$b$、$2a + b$。
当$a＞0,b＞0$时，$2a + b＞0$，如图1，不等式在$x\geqslant0$时不恒成立。
当$a＞0,b＜0$时，如图2，要使不等式在$x\geqslant0$时恒成立，则$2a + b=a$，即$a + b = 0$，所以若不等式恒成立，则$a＞0,b＜0,a + b = 0$。
当$a＜0,b＞0$时，如图3，要使不等式在$x\geqslant0$时恒成立，则$2a + b=b$，即$a = 0$，与$a＜0$矛盾，且不满足$ab\neq0$。
当$a＜0,b＜0$时，$2a + b＜0$。如图4，不等式在$x\geqslant0$时恒成立。
综上，要使不等式恒成立，一定有$b＜0$，但$a$可正可负。故选C。

2.(2019天津文,10,5分,易)设$x\in \mathbf{R}$，使不等式$3x^{2}+x - 2＜0$成立的$x$的取值范围为_______.

答案： 答案$(-1,\frac{2}{3})$
解析$3x^{2}+x - 2＜0\Leftrightarrow(x + 1)(3x - 2)＜0$，所以$-1＜x＜\frac{2}{3}$。

3.(2019北京理,14,5分,中)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付$x$元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当$x = 10$时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_______元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则$x$的最大值为________.

答案： 答案①130；②15
解析①$x = 10$时，一次购买草莓和西瓜各1盒，共140元，由题可知顾客需支付$140 - 10 = 130$元。
②设每笔订单金额为$m$元，当$m＜120$时，李明得到的金额为$m\times80\%$，符合要求。
当$m\geqslant120$时，根据题意得$(m - x)80\%\geqslant m\times70\%$，
所以$x\leqslant\frac{m}{8}$，而$m\geqslant120$，
为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则$x\leqslant(\frac{m}{8})_{\min}$，而$(\frac{m}{8})_{\min}=15$，$\therefore x\leqslant15$。
所以$x$的最大值为15。

1.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分,中)已知$a＞0,b＞0$，且$a + b = 1$，则（ ）
A.$a^{2}+b^{2}\geqslant\frac{1}{2}$
B.$2^{a - b}＞\frac{1}{2}$
C.$\log_{2}a+\log_{2}b\geqslant - 2$
D.$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}$

答案： ABD 由$a＞0,b＞0,a + b = 1$，得$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geqslant(\frac{a + b}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，即$a^{2}+b^{2}\geqslant\frac{1}{2}$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时取等号，故A正确；
由$a＞0,b＞0,a + b = 1$，得$a - b = 2a - 1＞-1$，故$2^{a - b}＞\frac{1}{2}$，故B正确；
$\log_{2}a+\log_{2}b=\log_{2}(ab)\leqslant\log_{2}(\frac{a + b}{2})^{2}=\log_{2}(\frac{1}{2})^{2}=-2$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时，等号成立，故C错误；
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=a + b + 2\sqrt{ab}=1 + 2\sqrt{ab}\leqslant1 + a + b = 2$，得$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时，等号成立，故D正确。

2.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分,中)若$x,y$满足$x^{2}+y^{2}-xy = 1$，则（ ）
A.$x + y\leqslant 1$
B.$x + y\geqslant - 2$
C.$x^{2}+y^{2}\leqslant 2$
D.$x^{2}+y^{2}\geqslant 1$

答案： 解法一（基本不等式）：
因为$x^{2}+y^{2}-xy=(x + y)^{2}-3xy = 1$，且$xy\leqslant\frac{(x + y)^{2}}{4}$，所以$(x + y)^{2}-3xy\geqslant(x + y)^{2}-\frac{3}{4}(x + y)^{2}=\frac{1}{4}(x + y)^{2}$，故$(x + y)^{2}\leqslant4$，当且仅当$x = y$时等号成立，即$-2\leqslant x + y\leqslant2$，故A错误，B正确。由$xy\leqslant\frac{x^{2}+y^{2}}{2}$得$1=x^{2}+y^{2}-xy\geqslant x^{2}+y^{2}-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}$，即$x^{2}+y^{2}\leqslant2$，当且仅当$x = y$时等号成立。故C正确，D错误，故选BC。
解法二（三角换元）：
由$x^{2}+y^{2}-xy = 1$可得，$(x-\frac{y}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2}y)^{2}=1$，
令$\begin{cases}x-\frac{y}{2}=\cos\theta\\\frac{\sqrt{3}}{2}y=\sin\theta\end{cases}$，则$\begin{cases}x=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\theta+\cos\theta\\y=\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin\theta\end{cases}$，
$\therefore x + y=\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta=2\sin(\theta+\frac{\pi}{6})\in[-2,2]$，故A错误，B正确，$\because x^{2}+y^{2}=(\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\theta+\cos\theta)^{2}+(\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin\theta)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin2\theta-\frac{1}{3}\cos2\theta+\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\sin(2\theta-\frac{\pi}{6})+\frac{4}{3}\in[\frac{2}{3},2]$，故C正确，D错误。故选BC。

3.(2020江苏,12,5分,中)已知$5x^{2}y^{2}+y^{4}=1(x,y\in \mathbf{R})$，则$x^{2}+y^{2}$的最小值是_______.

答案： 答案$\frac{4}{5}$
解析由$5x^{2}y^{2}+y^{4}=1$知$y\neq0$，$\therefore x^{2}=\frac{1 - y^{4}}{5y^{2}}$，$\therefore x^{2}+y^{2}=\frac{1 - y^{4}}{5y^{2}}+y^{2}=\frac{1 + 4y^{4}}{5y^{2}}=\frac{1}{5y^{2}}+\frac{4y^{2}}{5}\geqslant2\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{4}{5}$，当且仅当$\frac{1}{5y^{2}}=\frac{4y^{2}}{5}$，即$y^{2}=\frac{1}{2},x^{2}=\frac{3}{10}$时取“$=$”。故$x^{2}+y^{2}$的最小值为$\frac{4}{5}$。

4.(2020天津,14,5分,中)已知$a＞0,b＞0$，且$ab = 1$，则$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{8}{a + b}$的最小值为_______.

答案： 答案4
解析$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{8}{a + b}=\frac{a + b}{2ab}+\frac{8}{a + b}=\frac{a + b}{2}+\frac{8}{a + b}\geqslant2\sqrt{\frac{a + b}{2}\cdot\frac{8}{a + b}} = 4$，当且仅当$\frac{a + b}{2}=\frac{8}{a + b}$，即$(a + b)^{2}=16$，亦即$a + b = 4$时取等号。
又$\because ab = 1$，$\therefore\begin{cases}a = 2+\sqrt{3}\\b = 2-\sqrt{3}\end{cases}$或$\begin{cases}a = 2-\sqrt{3}\\b = 2+\sqrt{3}\end{cases}$时取等号，
$\therefore\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{8}{a + b}$的最小值为4。

1. (2024湖南雅礼中学月考(六),2)若实数a,b满足a²＞b²＞0,则下列不等式中成立的是(　　　)
A. a＞b
B. 2ᵃ＞2ᵇ
C. a＞|b|
D. log₂a²＞log₂b²

答案： 因为$a^{2}＞b^{2}＞0$，所以$\log _{2}a^{2}＞\log _{2}b^{2}$，故 D 成立，当$a = -2$，$b = -1$时，$a^{2}＞b^{2}＞0$，但$a ＜ b$，$2^{a}＜2^{b}$，$a＜|b|$，故选项 A，B，C 不成立，故选 D.

2. (2024安徽A10联盟质量检测,3)已知m,n∈(0,+∞),$\frac{1}{m}$+n = 4,则m+$\frac{9}{n}$的最小值为(　　　)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： $\forall m,n\in(0,+\infty)$，$m+\frac{9}{n}=\frac{1}{4}(m + \frac{9}{n})(\frac{1}{m}+n)=\frac{1}{4}(10+mn+\frac{9}{mn})\geqslant\frac{1}{4}(10 + 2\sqrt{mn\cdot\frac{9}{mn}})=4$，当且仅当$mn=\frac{9}{mn}$，即$m = 1$，$n = 3$时等号成立，则$m+\frac{9}{n}$的最小值为 4. 故选 B.

3. (2024河北邯郸一模,3)若x＞0,y＞0,3x + 2y = 1,则8ˣ+4ʸ的最小值为(　　　)
A. $\sqrt{2}$
B. 2$\sqrt{2}$
C. 3$\sqrt{2}$
D. 4$\sqrt{2}$

答案： $8^{x}+4^{y}=2^{3x}+2^{2y}\geqslant2\sqrt{2^{3x}\cdot2^{2y}}=2\sqrt{2^{3x + 2y}}=2\sqrt{2}$，当且仅当$2^{3x}=2^{2y}$且$3x + 2y = 1$，即$x=\frac{1}{6}$，$y=\frac{1}{4}$时等号成立，则$8^{x}+4^{y}$的最小值为$2\sqrt{2}$. 故选 B.

4. (多选)(2024河北名校联合体开学考,9)下列式子中最小值为4的是(　　　)
A. sin²x+$\frac{4}{sin²x}$
B. 2ˣ+2⁻ˣ
C. log₂(2x)·log₂$\frac{x}{8}$+8
D. $\frac{1}{sin²x}$+$\frac{1}{cos²x}$

答案： 对于 A，$\sin^{2}x+\frac{4}{\sin^{2}x}\geqslant2|\sin x|\cdot|\frac{2}{\sin x}| = 4$，当且仅当$|\sin x|=\frac{2}{|\sin x|}$，即$\sin^{2}x = 2$，即$\sin x=\pm\sqrt{2}$时等号成立，而$\sin x\in[-1,0)\cup(0,1]$，$\therefore\sin x=\pm\sqrt{2}$不成立，$\therefore\sin^{2}x+\frac{4}{\sin^{2}x}$的最小值不为 4，故 A 不符合题意；
对于 B，$\because2^{x}＞0$，$2^{-x}＞0$，$\therefore2^{x}+2^{-x}\geqslant2\sqrt{2^{x}\cdot2^{-x}}=2\sqrt{2^{0}} = 4$，当且仅当$2^{x}=2^{-x}$，即$x = 1$时，等号成立，$\therefore2^{x}+2^{-x}$的最小值为 4，故 B 符合题意；
对于 C，$\log _{2}(2x)\cdot\log _{2}\frac{x}{8}+8=(1+\log _{2}x)\cdot(\log _{2}x - 3)+8=(\log _{2}x)^{2}-2\log _{2}x + 5=(\log _{2}x - 1)^{2}+4$，当$\log _{2}x = 1$，即$x = 2$时，原式取得最小值 4，故 C 符合题意；
对于 D，$\frac{1}{\sin^{2}x}+\frac{1}{\cos^{2}x}=(\frac{1}{\sin^{2}x}+\frac{1}{\cos^{2}x})(\sin^{2}x+\cos^{2}x)=2+\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\geqslant2 + 2 = 4$，当且仅当$\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}=\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}$，即$\tan x=\pm1$时，等号成立，则$\frac{1}{\sin^{2}x}+\frac{1}{\cos^{2}x}$的最小值为 4. 故 D 符合题意. 故选 BCD.

5. (多选)(2024河南郑州一中等名校联盟联考,9)下列说法正确的是(　　　)
A. 若a + b＜0,则a³+b³＜0
B. 若1≤a - b≤2,2≤a + b≤4,则5≤4a - 2b≤10
C. 若正实数a,b满足2a + b = 1,则$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{b}$的最小值为2
D. 若正实数a,b满足2a + b = 1,则4a²+b²的最大值为$\frac{1}{2}$

答案： 对于 A，若$a + b＜0$，则$a＜-b$，所以$a^{3}＜(-b)^{3}$，（提示：根据$f(x)=x^{3}$的单调性判断）即$a^{3}+b^{3}＜0$，故 A 正确；
对于 B，设$4a - 2b=x(a - b)+y(a + b)$，则$\begin{cases}x + y = 4\\-x + y = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$，因为$1\leqslant a - b\leqslant2$，所以$3\leqslant3(a - b)\leqslant6$，又$2\leqslant a + b\leqslant4$，所以$5\leqslant3(a - b)+(a + b)\leqslant10$，即$5\leqslant4a - 2b\leqslant10$，故 B 正确；
对于 C，$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}=\frac{2a + b}{a}+\frac{a}{b}=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqslant2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}} = 4$，当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$，即$a = b=\frac{1}{3}$时取等号，故 C 错误；对于 D，因为$2a + b = 1$，所以$2a = 1 - b(0 ＜ b ＜ 1)$，则$4a^{2}+b^{2}=(1 - b)^{2}+b^{2}=2(b-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}$，当且仅当$b=\frac{1}{2}$时，$4a^{2}+b^{2}$取最小值$\frac{1}{2}$，故 D 错误. 故选 AB.