《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

8.(2024江苏、浙江部分学校大联考,5)要测定古物的年代,可以用放射性碳法:在动植物的体内都含有微量的放射性$^{14}C$.动植物死亡后,停止了新陈代谢,$^{14}C$不再产生,且原来的$^{14}C$会自动衰变.经过5 730年,它的残余量只有原始量的一半.现用放射性碳法测得某古物中$^{14}C$含量占原来的$\frac{1}{5}$,推算该古物约是$m$年前的遗物(参考数据:$(\lg 2)^{-1} \approx 3.3219$),则$m$的值为(　　)
A.12 302　
　B.13 304
　C.23 004
　D.24 034

答案： B：设$^{14}C$的初始质量为$C_0$，经过$m$年后，$^{14}C$所剩的质量为$C(t)=C_0(\frac{1}{2})^{\frac{t}{5730}}$，由题意得$\frac{1}{5}=(\frac{1}{2})^{\frac{m}{5730}}$，取以$\frac{1}{2}$为底的对数得$\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{5}=\frac{m}{5730}$，
则$m = 5730\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{5}=5730\log_25=5730\times\frac{1-\lg2}{\lg2}$
$=5730(\frac{1}{\lg2}-1)\approx5730\times(3.3219 - 1)=13304.487\approx13304$. 故选 B.

9.(2024湖南衡阳二模,7)某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失$\varPhi$（单位：$W/m$）满足$\varPhi=\frac{2\pi\lambda(t_1 - t_2)}{\ln r_2-\ln r_1}$，其中$r_1;r_2$分别为管道的内外半径（单位：$mm$），$t_1,t_2$分别为管道内外表面的温度（单位：$^{\circ}C$），$\lambda$为保温材料的导热系数（单位：$W/(m\cdot^{\circ}C)$）.某工厂准备用这种管道传输$250^{\circ}C$的高温蒸汽,根据安全操作规定,管道外表面温度应控制为$50^{\circ}C$.已知管道内半径为60mm,当管道壁的厚度为75mm时，$\varPhi = 150 W/m$，则当管道壁的厚度为120mm，$\varPhi$约为(参考数据:$\log_32 = 0.63$)(　　)
A.98W/m　　　　　
　B.111W/m
C.118W/m　　　　
　D.126W/m

答案： B：由题意可得$\frac{2\pi\lambda(250 - 50)}{\ln135-\ln60}=150$，$2\pi\lambda=\frac{3}{4}\ln\frac{9}{4}=\frac{3}{2}\ln\frac{3}{2}$，则管道壁的厚度为 120 mm 时，$\varPhi=\frac{(250 - 50)\times\frac{3}{2}\ln\frac{3}{2}}{\ln180-\ln60}=\frac{300\ln\frac{3}{2}}{\ln3}=\frac{300(\ln3-\ln2)}{\ln3}=300(1-\log_32)=300\times(1 - 0.63)=111(\text{W/m})$.

10.(2024陕西师大附中模考,4)某种生物群的数量$Q$与时间$t$的关系近似符合：$Q(t)=\frac{10e^t}{e^t + 9}$（其中$e$为自然对数的底数，$e \approx 2.71828\cdots$），给出下列四个结论,根据上述关系,其中错误的结论是(　　)
A.该生物群的数量不超过10
B.该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小
C.该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比
D.该生物群的数量的增长速度最大的时间$t_0\in(2,3)$

答案： C：对于 A，$Q(t)=\frac{10(e^t + 9)-90}{e^t + 9}=10-\frac{90}{e^t + 9}$，则该生物群的数量不超过 10，A 正确.
对$Q(t)=\frac{10e^t}{e^t + 9}$求导得$Q^\prime(t)=\frac{10e^t(e^t + 9)-10e^t\cdot e^t}{(e^t + 9)^2}=\frac{90e^t}{e^{2t}+18e^t + 81}=\frac{90}{e^t + 81e^{-t}+18}$，可得该生物群的数量的增长速度与种群数量不成正比，令$f(t)=e^t + 81e^{-t}$，则$f^\prime(t)=e^t - 81e^{-t}$，令$f^\prime(t)=0$，解得$t=\ln9$，当$0\leqslant t\leqslant\ln9$时，$f^\prime(t)\leqslant0$，$f(t)$单调递减，$t＞\ln9$时，$f^\prime(t)＞0$，$f(t)$单调递增，所以当$t=\ln9$时，$f(t)$取得极小值，且为最小值，此时$Q^\prime(t)$取得最大值，
则该生物群的数量的增长速度先变大后逐渐变小，该生物群的数量的增长速度最大的时间$t_0=\ln9$，而由$\ln9 = 2\ln3\in(2,3)$，知 B、D 正确. 故选 C.

11.(多选)(2024安徽蚌埠第三次教学质量检查，10)科学研究表明,物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.如果物体的初始温度为$\theta_1^{\circ}C$，空气温度$\theta_0^{\circ}C$保持不变，则$t$分钟后物体的温度$\theta$（单位：$^{\circ}C$）满足：$\theta = \theta_0 + (\theta_1 - \theta_0)\cdot e^{-0.05t}$.若空气温度为$10^{\circ}C$，该物体温度从$\theta_1^{\circ}C(90\leqslant\theta_1\leqslant100)$下降到$30^{\circ}C$，大约所需的时间为$t_1$，若该物体温度从$70^{\circ}C$，$50^{\circ}C$下降到$30^{\circ}C$，大约所需的时间分别为$t_2,t_3$，则(参考数据：$\ln 2\approx0.7,\ln 3\approx1.1$)(　　)
A.$t_2 = 20$　　　　　
　B.$28\leqslant t_1\leqslant30$
C.$t_1\geqslant2t_3$　　　　　
　D.$t_1 - t_2\leqslant6$

答案： BC：由题意可知，$\theta = 10+(\theta_1 - 10)e^{-0.05t}$.
当$\theta = 30$时，$30 = 10+(\theta_1 - 10)e^{-0.05t_1}$，
即$e^{-0.05t_1}=\frac{20}{\theta_1 - 10}$，$-0.05t_1=\ln\frac{20}{\theta_1 - 10}$，则$t_1 = 20\ln\frac{\theta_1 - 10}{20}$，
$t_1$是关于$\theta_1$的单调递增函数，
当$\theta_1 = 90$时，$t_1 = 20\ln\frac{90 - 10}{20}=20\ln4 = 40\ln2\approx40\times0.7 = 28$，
当$\theta_1 = 100$时，$t_1 = 20\ln\frac{100 - 10}{20}=20\ln\frac{9}{2}=20(2\ln3-\ln2)\approx20\times(2\times1.1 - 0.7)=30$，则$28\leqslant t_1\leqslant30$，故 B 正确；
当$\theta_1 = 70$时，$t_2 = 20\ln\frac{70 - 10}{20}=20\ln3\approx20\times1.1 = 22$，
$8\geqslant t_1 - t_2\geqslant6$，故 A、D 错误；
当$\theta_1 = 50$时，$t_3 = 20\ln\frac{50 - 10}{20}=20\ln2\approx20\times0.7 = 14$，
此时满足$t_1\geqslant2t_3$，故 C 正确. 故选 BC.

12.(多选)(2024重庆八中等多校适应性考试,10)吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中,通常用吸光度$A$和透光率$T$来衡量物体的透光性能,它们之间的换算公式为$T = \frac{1}{10^A}$，下表为不同玻璃材料的透光率：

设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为$A_1$、$A_2$、$A_3$，则(　　)
A.$A_1＞2A_2$　　　　　
　B.$A_2 + A_3＞A_1$
C.$A_1 + A_3＞2A_2$　　　
　D.$A_1A_3＜A_2^2$

答案： BCD：由$T=\frac{1}{10^A}$，得$A = -\lg T$，则$A_1 = -\lg0.6$，$A_2 = -\lg0.7$，$A_3 = -\lg0.8$，
$2A_2=-2\lg0.7 = -\lg0.49$，$\lg0.6＞\lg0.49$，$-\lg0.6＜-\lg0.49$，即$A_1＜2A_2$，A 选项错误；
$A_2 + A_3=-\lg0.7-\lg0.8 = -\lg0.56＞-\lg0.6 = A_1$，B 选项正确；
$A_1 + A_3=-\lg0.6-\lg0.8 = -\lg0.48＞-\lg0.49=-2\lg0.7 = 2A_2$，C 选项正确；
$A_1A_3=(-\lg0.6)(-\lg0.8)=\lg0.6\cdot\lg0.8$，$A_2^2=(-\lg0.7)^2=(\lg0.7)^2$，
$\frac{A_1A_3}{\lg0.7\cdot\lg0.8}=\frac{\lg0.6\cdot\lg0.8}{\lg0.7\cdot\lg0.8}=\log_{0.7}0.6$，$\frac{A_2^2}{\lg0.7\cdot\lg0.8}=\frac{(\lg0.7)^2}{\lg0.7\cdot\lg0.8}=\log_{0.8}0.7$，$\log_{0.7}0.6-\frac{3}{2}=\log_{0.7}\frac{0.6}{0.7^{\frac{3}{2}}}=\log_{0.7}(\frac{0.6^2}{0.7^3})^{\frac{1}{2}}=\log_{0.7}(\frac{0.36}{0.343})^{\frac{1}{2}}＜\log_{0.7}1 = 0$，
$\log_{0.8}0.7-\frac{3}{2}=\log_{0.8}\frac{0.7}{0.8^{\frac{3}{2}}}=\log_{0.8}(\frac{0.7^2}{0.8^3})^{\frac{1}{2}}=\log_{0.8}(\frac{0.49}{0.512})^{\frac{1}{2}}＞\log_{0.8}1 = 0$，所以$\log_{0.7}0.6＜\log_{0.8}0.7$，
则有$\frac{A_1A_3}{\lg0.7\cdot\lg0.8}＜\frac{A_2^2}{\lg0.7\cdot\lg0.8}$，
又$\lg0.7\cdot\lg0.8＞0$，则$A_1A_3＜A_2^2$，D 选项正确. 故选 BCD.