《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

8.(多选)(2024湘豫名校第二次模拟,9)人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平。2018 - 2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图如图，据此进行分析，则（ ）


A.2018 - 2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
B.2018 - 2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
C.2018 - 2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大
D.2018 - 2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元

答案： 对于 A，由题中折线图知 2018 - 2023 年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增，A 正确；对于 B，由题中折线图知 2018 - 2023 年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，B 错误；对于 C，2018 - 2023 年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为 $39428 - 29599 = 9829$ 元，人均消费支出的极差为 $24315 - 19014 = 5301$ 元，C 正确；对于 D，将 2018 - 2023 年前三季度全国城镇居民人均消费支出（单位：元）由小到大排列为 19014,19247,20379,21981,22385,24315，故中位数为 $\frac{20379 + 21981}{2}=21180$ 元，D 正确。故选 ACD。

9.(多选)(2024山东省实验中学一模,9)下列命题正确的是（ ）
A.若样本数据$x_1,x_2,\cdots,x_6$的方差为2，则数据$2x_1 - 1,2x_2 - 1,\cdots,2x_6 - 1$的方差为8
B.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的20%分位数不等于原样本数据的20%分位数
C.若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为$r_A = 0.97$，$r_B = - 0.99$，则A组数据比B组数据的线性相关程度更强
D.若决定系数$R^2$的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好

答案： 对于 A，根据题意得数据 $2x_1 - 1,2x_2 - 1,\cdots,2x_6 - 1$ 的方差为 $2^2\times2 = 8$，A 正确；对于 B，设 30 个互不相同的样本数据为 $x_1,x_2,\cdots,x_{30}(x_1 ＜ x_2 ＜ \cdots ＜ x_{30})$，由 $30\times20\% = 6$ 得 20%分位数为 $\frac{x_6 + x_7}{2}$，去掉 30 个数据中的最大和最小的数据，剩下的 28 个数据为 $x_2,x_3,\cdots,x_{29}(x_2 ＜ x_3 ＜ \cdots ＜ x_{29})$，由 $28\times20\% = 5.6$ 得 20%分位数为 $x_7$，B 正确；对于 C，因为 $|r_A|＜|r_B|$，所以 B 组数据比 A 组数据的线性相关程度更强，C 错误；对于 D，$R^2$ 越接近于 1，回归模型的拟合效果越好，D 正确。故选 ABD。

10.(2024江苏苏锡常镇调研,12)已知变量$x,y$的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现$y$与$x$之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为$\hat{y}=0.8x+\hat{a}$，据此模型预测当$x = 10$时$\hat{y}$的值为______。

答案： 答案 7.4
解析 由题意得 $\bar{x}=\frac{1}{5}\times(5 + 6+7 + 8+9)=7$，$\bar{y}=\frac{1}{5}\times(3.5 + 4+5 + 6+6.5)=5$，将 $(7,5)$ 代入 $\hat{y}=0.8x+\hat{a}$ 得 $5 = 0.8\times7+\hat{a}$，解得 $\hat{a}=-0.6$，则 $\hat{y}=0.8x - 0.6$。当 $x = 10$ 时，$\hat{y}=0.8\times10 - 0.6 = 7.4$。

1.(2024浙江全国名校协作体二模,4)为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（ ）
A.1.4
B.1.45
C.1.5
D.1.55

答案： 由题意可得，该校学生每天学习时间的均值为 $\bar{x}=\frac{40}{200}\times8+\frac{60}{200}\times9+\frac{100}{200}\times10 = 9.3$，该校学生每天学习时间的方差为 $s^2=\frac{40}{200}\times[0.5+(8 - 9.3)^2]+\frac{60}{200}\times[0.8+(9 - 9.3)^2]+\frac{100}{200}\times[1+(10 - 9.3)^2]=1.45$。故选 B。

2.(2024河北石家庄一模,6)某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重，制作成表格。

由最小二乘法计算得到经验回归直线$l_1$的方程为$\hat{y}=\hat{b}_1x+\hat{a}_1$，其相关系数为$r_1$；经过残差分析，点$(167,90)$对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线$l_2$的方程为$\hat{y}=\hat{b}_2x+\hat{a}_2$，相关系数为$r_2$。则下列选项正确的是（ ）


A.$\hat{b}_1＜\hat{b}_2,\hat{a}_1＞\hat{a}_2,r_1＜r_2$
B.$\hat{b}_1＜\hat{b}_2,\hat{a}_1＜\hat{a}_2,r_1＞r_2$
C.$\hat{b}_1＞\hat{b}_2,\hat{a}_1＜\hat{a}_2,r_1＞r_2$
D.$\hat{b}_1＞\hat{b}_2,\hat{a}_1＞\hat{a}_2,r_1＜r_2$

答案： $\bar{x}=\frac{167 + 173+175 + 177+178 + 180+181}{7}=\frac{1231}{7}\approx176$，因为离群点 $(167,90)$ 的横坐标 167 小于平均值 176，纵坐标 90 相对过大，所以去掉 $(167,90)$ 后经验回归直线的截距变小而斜率变大，故 $\hat{b}_1＜\hat{b}_2,\hat{a}_1＞\hat{a}_2$，去掉 $(167,90)$ 后相关性更强，拟合效果也更好，且是正相关，所以 $r_1＜r_2$，故选 A。