《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

3.(2024广西南宁二模,18)双曲线C:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$(a＞0,b＞0)上一点D(6,$\sqrt{3}$)到左、右焦点的距离之差为6.
(1)求C的方程;
(2)已知A(-3,0),B(3,0),过点(5,0)且与x轴不重合的直线l与C交于M,N两点,直线MA与NB交于点P,试问点P到直线x = -2的距离是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

答案：
(1)依题意可得{ 2a = 6, 6²/a² - (√3)²/b² = 1 },解得{ a = 3, b = 1 },故C的方程为x²/9 - y² = 1。
(2)设l的方程为x = my + 5,M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)。
联立{ x = my + 5, x²/9 - y² = 1 },消去x得(m² - 9)y² + 10my + 16 = 0,则y₁ + y₂ = - 10m/(m² - 9),y₁y₂ = 16/(m² - 9)。
直线AM:y = y₁/(x₁ + 3)×(x + 3),直线BN:y = y₂/(x₂ - 3)×(x - 3)。
联立{ y = y₁/(x₁ + 3)×(x + 3), y = y₂/(x₂ - 3)×(x - 3) },消去y得(x + 3)/(x - 3)=y₂(x₁ + 3)/(y₁(x₂ - 3))=y₂(my₁ + 8)/(y₁(my₂ + 2))。
=(my₁y₂ + 8y₂)/(my₁y₂ + 2y₁)=(my₁y₂ + 8(y₁ + y₂) - 8y₁)/(my₁y₂ + 2y₁)。
=((16m/(m² - 9)) + (- 80m/(m² - 9)) - 8y₁)/((16m/(m² - 9)) + 2y₁)=((- 64m/(m² - 9)) - 8y₁)/((16m/(m² - 9)) + 2y₁)= - 4,解得x = 9/5,所以点P在定直线x = 9/5上。
因为直线x = 9/5与直线x = - 2之间的距离为19/5,所以点P到直线x = - 2的距离为定值,且定值为19/5。

4.(2024云南昆明一中,宁夏银川一中联考(一),18)已知椭圆C:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$(a＞b＞0)的短轴长等于2$\sqrt{3}$,离心率e = $\frac{1}{2}$.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,证明:$\frac{|PF|}{|AB|}$为定值.

答案：
(1)由题意可得{ 2b = 2√3, c/a = 1/2, b² = a² - c² },解得a = 2,b = √3,c = 1,所以椭圆C的方程为x²/4 + y²/3 = 1。
(2)由
(1)得F(1,0)。
当直线l的斜率不存在时,线段AB被x轴垂直平分,不符合题意；
当直线l的斜率为0时,|PF|/|AB| = |OF|/2a = 1/4；
当直线l的斜率存在且不为0时,设直线l的方程为y = k(x - 1),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB中点为Q(xQ,yQ)。
联立{ x²/4 + y²/3 = 1, y = k(x - 1) },消去y,整理得(4k² + 3)x² - 8k²x + 4k² - 12 = 0。
可得Δ = 64k⁴ - 4(4k² + 3)(4k² - 12)=144(k² + 1) ＞ 0,x₁ + x₂ = 8k²/(4k² + 3),x₁x₂ = (4k² - 12)/(4k² + 3),所以xQ = (x₁ + x₂)/2 = 4k²/(4k² + 3)。
则yQ = k(xQ - 1)=k((4k²/(4k² + 3)) - 1)= - 3k/(4k² + 3),即Q(4k²/(4k² + 3), - 3k/(4k² + 3))。
则线段AB的中垂线的方程为y - (- 3k/(4k² + 3)) = - 1/k×(x - (4k²/(4k² + 3))),令y = 0,可得x = k²/(4k² + 3)。
所以|PF| = |xP - 1| = |(k²/(4k² + 3)) - 1| = 3(k² + 1)/(4k² + 3)。
又|AB| = √(1 + k²)×|x₁ - x₂| = √(1 + k²)×√((x₁ + x₂)² - 4x₁x₂)=√(1 + k²)×√((8k²/(4k² + 3))² - 4×((4k² - 12)/(4k² + 3)))=12(k² + 1)/(4k² + 3)。
所以|PF|/|AB| = ((3(k² + 1)/(4k² + 3))/((12(k² + 1)/(4k² + 3)))=1/4(定值)。
综上所述,|PF|/|AB|为定值1/4。