《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1. (2024广东百日冲刺联合质量监测,3)已知随机变量X的分布列如下：
| X | 1 | 2 |
| ---- | ---- | ---- |
| P | a | b |
则“E(X)=$\frac{4}{3}$”是“D(X)=$\frac{2}{9}$”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： 由题意可知a+b=1,
若E(X)=$\frac{4}{3}$,则a+2b=$\frac{4}{3}$,得a=$\frac{2}{3}$,b=$\frac{1}{3}$,
D(X)=$\frac{4}{3}$−)²²＜$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$−2)×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{9}$,故充分性成立;若D(X)=$\frac{2}{9}$,则(a+2b−1)²a+(a+2b−2)²b=ab²+b(b−1)²=−b²+b=$\frac{2}{9}$,解得b=$\frac{1}{3}$或b=$\frac{2}{3}$
当b=$\frac{1}{3}$时,a=$\frac{2}{3}$,此时E(X)=1×$\frac{2}{3}$+2×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$,
当b=$\frac{2}{3}$时,a=$\frac{1}{3}$,此时E(X)=1×$\frac{1}{3}$+2×$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$,
则E(X)=$\frac{4}{3}$或E(X)=$\frac{5}{3}$,故必要性不成立.故选A.

2. (2024广东广州天河综合测试(二),8)设10≤x₁ ＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅≤50,随机变量ξ₁取值x₁,x₂,x₃,x₄,x₅的概率均为0.2,随机变量ξ₂取值$\frac{x₁+x₂}{2}$,$\frac{x₂+x₃}{2}$,$\frac{x₃+x₄}{2}$,$\frac{x₄+x₅}{2}$,$\frac{x₅+x₁}{2}$的概率也均为0.2,若记D(ξ₁),D(ξ₂)分别为ξ₁,ξ₂的方差,则（ ）
A. D(ξ₁)＜D(ξ₂)
B. D(ξ₁) = D(ξ₂)
C. D(ξ₁)＞D(ξ₂)
D. D(ξ₁)与D(ξ₂)的大小关系与x₁,x₂,x₃,x₄,x₅的取值有关

答案： 由题意得E
(5)=0.2(x+x2+x3+x4+xs),
E
(2)=⁰..2×$\frac{x+x2}{2}$+$\frac{x2+x3}{2}$+$\frac{x+x}{2}$+$\frac{x+xs}{2}$+$\frac{x+x}{2}$)=0.2(x1+x2+x3+x4+xs),故E
(5)=E
(52),
记x=E
(5)=E(￡),
则D
(5)=0.2[(x−x)²+(x2−x)²+...+(x5−x)²]
=0.2[(x²+x²+...+x²+5x²)−2(xI+x2+x3+x4+xs)x]
=0.2(x²+x²+...+x;−5x²),
　　　　　　　　　2　　　　　　　　　2
同理,D
(2)=0.2[{$\frac{x+x2}{2}$+$\frac{x2+x3}{2}$$\frac{xs+x,}{2}$−5x²因为10≤x＜x2＜x3＜x4＜x5≤50,
　　　　2　　　　　　　　　2.
所以$\frac{x+x2}{2}$＜$\frac{x²+x²}{2}$,……,$\frac{xs+x}{2}$　$\frac{x+x}{2}$,
　　　　　　　2　　　　　2
故$\frac{x，+x2}{2}$$\frac{x2+x3}{2}$+...+$\frac{xs+x}{2}$＜x;+x²+,..+x;,
即得D
(51)＞D
(2),故选C.

3. (多选)(2024江西省八所重点中学4月联考,9)已知随机变量X、Y,且Y = 3X + 1,X的分布列如下：
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| P | m | $\frac{1}{10}$ | $\frac{1}{5}$ | n | $\frac{3}{10}$ |
若E(Y)=10,则（ ）
A. m=$\frac{3}{10}$
B. n=$\frac{1}{5}$
C. E(X)=3
D. D(Y)=$\frac{7}{3}$

答案： 由m+1+0$\frac{1}{5}$+n+$\frac{3}{10}$=1可得m+n=①2　,
由E(Y)=E(3X+1)=3E(X)+1=10,得E(X)=3,故C正确.E(X)=m+2×$\frac{1}{10}$+3×$\frac{1}{5}$+4n+5×$\frac{3}{10}$=3,
则m+4n=$\frac{7}{10}$②,由①②可得n=$\frac{1}{10}$,m=$\frac{3}{10}$,故A正确,B 错误;
D(X)=(1−3)²×$\frac{3}{10}$+(2−3)²×$\frac{1}{10}$+(3−3)²×$\frac{1}{5}$+(4−3)²×$\frac{1}{10}$+(5−3)²×$\frac{3}{10}$=4×$\frac{3}{10}$+1×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{1}{10}$+4×$\frac{3}{10}$=$\frac{13}{5}$,
则D(Y)=D(3X+1)=9D(X)=9×$\frac{13}{5}$=$\frac{117}{5}$,故D错误.故选AC.

4. (2024湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏师大附中三校联考,13)已知4件产品中有2件次品,逐个不放回检测,直至能确定所有次品为止,记检测次数为X.则E(X)= ______.

答案： 答案$\frac{8}{3}$
解析　X的可能取值为2,3,
P(X=2)=$\frac{A²+A²}{A}$=$\frac{1}{3}$(检测的两件产品均为正品或均为次品)，
P(X=3)=$\frac{C'CA}{A²}$=$\frac{2}{3}$(只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品，都能确定所有次品)，
∴E(X)=2×$\frac{1}{3}$+3×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$.

1. (2024山东济南一模,17)抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子,所得的点数分别为a,b,记$\left[\frac{b}{a}\right]$的取值为随机变量X,其中$\left[\frac{b}{a}\right]$表示不超过$\frac{b}{a}$的最大整数.
(1)求在X ＞ 0的条件下,X=$\frac{b}{a}$的概率;
(2)求X的分布列及其数学期望.

答案： 解析
(1)记抛掷骰子的样本点为(a,b),
则样本空间为2={(a,b)11≤a≤6,1≤b≤6,a∈Z,b∈Z{,则n
(2)=36,
记事件"A=X＞0",记事件“B=X=[$\frac{b}{a}$]=$\frac{6}{a}$”,
则A=|(a,b)11≤a≤b≤6,a∈Z,b∈Z{,且n(A)=21,
又AB=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)1,
则n(AB)=14,
所以P(BIA)=$\frac{n(AB)}{n(A)}$$\frac{14}{21}$=$\frac{2}{3}$,
即在X＞0的条件下,X=$\frac{b}{a}$的概率为$\frac{2}{3}$.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
P(X=0)=$\frac{36−21}{36}$=$\frac{5}{12}$,P(X=1)=$\frac{12}{36}$=$\frac{1}{3}$,P(X=2)=$\frac{4}{36}$=$\frac{1}{9}$,P(X=3)=$\frac{2}{36}$=$\frac{1}{18}$,P(X=4)=$\frac{1}{36}$,P(X=5)=$\frac{1}{36}$,P(X=
6)=$\frac{1}{36}$,
所以X的分布列为
　　　X01[233456
　　　P　$\frac{5}{12}$　$\frac{1}{3}$　$\frac{1}{9}$　$\frac{1}{18}$　$\frac{1}{36}$　$\frac{1}{36}$　$\frac{1}{36}$
所以E(X)=0×$\frac{5}{12}$+1×$\frac{1}{3}$+2×$\frac{1}{9}$+3×$\frac{1}{18}$+4×$\frac{1}{36}$+5×$\frac{1}{36}$+6×$\frac{1}{36}$=$\frac{41}{36}$.