《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1. (2024广东深圳一模,1)若角α的终边过点(4,3),则sin(α+$\frac{\pi}{2}$)= （ ）
A. $\frac{4}{5}$
B. $-\frac{4}{5}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $-\frac{3}{5}$

答案： $\because$角$\alpha$的终边过点$(4,3)$，$\therefore\cos\alpha=\frac{4}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\frac{4}{5}$，$\therefore\sin(\alpha+\frac{\pi}{2})=\cos\alpha=\frac{4}{5}$. 故选 A.

2. (2024浙江宁波二模,2)若α为锐角,sinα=$\frac{4}{5}$,则sin(α+$\frac{\pi}{3}$)= （ ）
A. $\frac{4 + 3\sqrt{3}}{10}$
B. $\frac{4 - 3\sqrt{3}}{10}$
C. $\frac{3 + 4\sqrt{3}}{10}$
D. $\frac{3 - 4\sqrt{3}}{10}$

答案： 因为$\alpha$为锐角，$\sin\alpha=\frac{4}{5}$，所以$\cos\alpha=\frac{3}{5}$，$\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})=\sin\alpha\cos\frac{\pi}{3}+\cos\alpha\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha=\frac{1}{2}\times\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{3}{5}=\frac{4 + 3\sqrt{3}}{10}$. 故选 A.

3. (2024湖南长沙师大附中月考,5)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-1,t),若sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,则tan(α - $\frac{\pi}{4}$)= （ ）
A. -3
B. $-\frac{1}{3}$
C. 3
D. $\frac{1}{3}$

答案： 由三角函数的定义可知$\frac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，解得$t = 2$，所以角$\alpha$终边上一点为$(-1,2)$，$\tan\alpha=\frac{2}{-1}=-2$，$\tan(\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan\alpha - 1}{1 + \tan\alpha}=3$，故选 C.

4. (2024甘肃二诊,7)计算$\frac{1}{2\cos\frac{3}{5}\pi}+\frac{\cos\frac{2}{5}\pi}{\cos\frac{4}{5}\pi}=$ （ ）
A. 2
B. $-\frac{1}{2}$
C. -1
D. -2

答案： $\begin{aligned}&\frac{1}{2\cos\frac{3\pi}{5}}+\frac{\cos\frac{2\pi}{5}}{\cos\frac{4\pi}{5}}=\frac{1}{-2\cos\frac{2\pi}{5}}+\frac{\cos\frac{2\pi}{5}}{\cos\frac{4\pi}{5}}\\=&\frac{-\cos\frac{4\pi}{5}+2\cos^{2}\frac{2\pi}{5}}{2\cos\frac{2\pi}{5}\cos\frac{4\pi}{5}}=\frac{-(2\cos^{2}\frac{2\pi}{5}-1)+2\cos^{2}\frac{2\pi}{5}}{2\cos\frac{2\pi}{5}\cos\frac{4\pi}{5}}\\=&\frac{1}{-2\cos\frac{2\pi}{5}\cdot\cos\frac{1}{5}\pi}=-\frac{\sin\frac{1}{5}\pi}{2\sin\frac{1}{5}\pi\cos\frac{1}{5}\pi\cos\frac{2}{5}\pi}\\=&-\frac{\sin\frac{1}{5}\pi}{\sin\frac{2}{5}\pi\cos\frac{2}{5}\pi}=-\frac{\sin\frac{1}{5}\pi}{\frac{1}{2}\sin\frac{4}{5}\pi}=-\frac{-2\sin\frac{1}{5}\pi}{\sin\frac{1}{5}\pi}=-2\end{aligned}$
故选 D.

5. (2024山东新高考联合质量测评,7)已知$\frac{\cos2\theta}{\cos(\frac{\pi}{4}-\theta)}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$,则sin2θ= （ ）
A. $-\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $-\frac{7}{16}$
D. $\frac{7}{16}$

答案： $\frac{\cos2\theta}{\cos(\frac{\pi}{4}-\theta)}=\frac{\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\theta+\cos\theta)}=\sqrt{2}(\cos\theta-\sin\theta)=\frac{3\sqrt{2}}{4}$，即$\cos\theta-\sin\theta=\frac{3}{4}$，两边平方得$\cos^{2}\theta - 2\sin\theta\cos\theta+\sin^{2}\theta=1-\sin2\theta=\frac{9}{16}$，解得$\sin2\theta=\frac{7}{16}$. 故选 D.

6. (2024安徽皖北协作区联考,6)已知tan(α - β)=$\frac{3}{4}$,sin(α - β)=3cos(α + β),则tanα - tanβ= （ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{6}{5}$
D. $\frac{5}{3}$

答案： $\sin(\alpha-\beta)=3\cos(\alpha+\beta)$，所以$\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=3\cos\alpha\cos\beta-3\sin\alpha\sin\beta$. 两边同除以$\cos\alpha\cos\beta$得$\tan\alpha-\tan\beta=3 - 3\tan\alpha\tan\beta$. 由$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{3}{4}$，得$3 + 3\tan\alpha\tan\beta=4(\tan\alpha-\tan\beta)$，则$\tan\alpha-\tan\beta=3-[4(\tan\alpha-\tan\beta)-3]$，解得$\tan\alpha-\tan\beta=\frac{6}{5}$.选C

7. (2024河北石家庄二模,7)已知α∈(0,$\frac{\pi}{2}$),且cos(α - $\frac{\pi}{4}$)=2cos2α,则tan(α + $\frac{\pi}{4}$)= （ ）
A. $\sqrt{3}$
B. $\sqrt{5}$
C. $\sqrt{7}$
D. $\sqrt{15}$

答案： $\because\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=2\cos2\alpha$，$\therefore\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha+\sin\alpha)=2(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha)=2(\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha-\sin\alpha)$，$\because\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，$\therefore\cos\alpha+\sin\alpha＞0$，$\therefore\frac{\sqrt{2}}{2}=2(\cos\alpha-\sin\alpha)$，$\cos\alpha-\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{4}$，两边平方得$1 - 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{8}$，$\therefore\sin2\alpha=\frac{7}{8}$，$\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha+\sin\alpha)=2\sqrt{1-\sin^{2}2\alpha}=\frac{\sqrt{15}}{4}$，则$\cos\alpha+\sin\alpha=\frac{\sqrt{30}}{4}$，$\therefore\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}=\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=\frac{\frac{\sqrt{30}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}=\sqrt{15}$. 故选 D.

8. (2024湖南长沙长郡中学二模,7)已知sinα - cosα=$\frac{1}{5}$,0≤α≤π,则sin(2α - $\frac{\pi}{4}$)= （ ）
A. $-\frac{17\sqrt{2}}{50}$
B. $\frac{17\sqrt{2}}{50}$
C. $-\frac{31\sqrt{2}}{50}$
D. $\frac{31\sqrt{2}}{50}$

答案： 将$\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{1}{5}$平方得$1 - 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{25}$，所以$2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{24}{25}$，则$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，$(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=1 + 2\sin\alpha\cos\alpha=1+\frac{24}{25}=\frac{49}{25}$，从而$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{5}$. 联立$\begin{cases}\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{1}{5}\\\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{5}\end{cases}$解得$\begin{cases}\sin\alpha=\frac{4}{5}\\\cos\alpha=\frac{3}{5}\end{cases}$. 所以$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{24}{25}$，$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=(\frac{3}{5})^{2}-(\frac{4}{5})^{2}=-\frac{7}{25}$. 故$\sin(2\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin2\alpha-\cos2\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}\times[\frac{24}{25}-(-\frac{7}{25})]=\frac{31\sqrt{2}}{50}$.
故选D

9. (2024福建莆田二模,7)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,把它的终边绕原点逆时针旋转角β后经过点($\frac{4}{5}$,$\frac{3}{5}$)(tanβ=$\frac{5}{12}$,β∈(0,$\frac{\pi}{2}$)),则sinα= （ ）
A. $\frac{16}{65}$
B. $\frac{33}{65}$
C. $\frac{56}{65}$
D. $\frac{63}{65}$

答案： 因为$\tan\beta=\frac{5}{12}$，$\beta\in(0,\frac{\pi}{2})$，所以$\tan\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{5}{12}$，则$\sin\beta=\frac{5}{12}\cos\beta$，又$\sin^{2}\beta+\cos^{2}\beta=1$，所以$\cos^{2}\beta=\frac{144}{169}$，由$\beta\in(0,\frac{\pi}{2})$得$\cos\beta=\frac{12}{13}$，则$\sin\beta=\frac{5}{13}$，由题意可知角$\alpha+\beta$的终边经过点$(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$，则$\sin(\alpha+\beta)=\frac{3}{5}$，$\cos(\alpha+\beta)=\frac{4}{5}$，所以$\sin\alpha=\sin[(\alpha+\beta)-\beta]=\sin(\alpha+\beta)\cos\beta-\cos(\alpha+\beta)\sin\beta=\frac{3}{5}\times\frac{12}{13}-\frac{4}{5}\times\frac{5}{13}=\frac{16}{65}$. 故选 A.

10. (2024广东广州二模,12)已知复数z = $\frac{2\cos\theta + i\sin\theta}{1 + i}$(θ∈R)的实部为0,则tan2θ=_______.

答案： 答案：$\frac{4}{3}$
解析：$z=\frac{(2\cos\theta+i\sin\theta)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}=\frac{2\cos\theta+\sin\theta+(\sin\theta-2\cos\theta)i}{2}$的实部为$0$，所以$\frac{2\cos\theta+\sin\theta}{2}=0$，即$2\cos\theta+\sin\theta=0$，$\tan\theta=-2$，则$\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}=\frac{2\times(-2)}{1-(-2)^{2}}=\frac{4}{3}$.

11. (2024广东揭阳二模,13)已知sin²α=sin2α,则tanα=_______,tan(α + $\frac{\pi}{4}$)=_______.

答案： 答案：$0$或$2$；$1$或$-3$
解析：由题意得$\sin^{2}\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$，得$\sin\alpha=0$或$\sin\alpha-2\cos\alpha=0$，即$\tan\alpha=0$或$2$，所以$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha}=1$或$-3$.

1. (2024江苏南通二模,8)若cosα,cos(α - $\frac{\pi}{6}$),cos(α + $\frac{\pi}{3}$)成等比数列,则sin2α= （ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
B. $-\frac{\sqrt{3}}{6}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $-\frac{1}{4}$

答案： 由$\cos\alpha$，$\cos(\alpha-\frac{\pi}{6})$，$\cos(\alpha+\frac{\pi}{3})$成等比数列，得$\cos^{2}(\alpha-\frac{\pi}{6})=\cos\alpha\cos(\alpha+\frac{\pi}{3})$，即$\frac{1}{2}[1+\cos(2\alpha-\frac{\pi}{3})]=\cos\alpha(\frac{1}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1+\cos2\alpha}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\sin2\alpha$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cos2\alpha+\frac{\sqrt{3}}{4}\sin2\alpha=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cos2\alpha-\frac{\sqrt{3}}{4}\sin2\alpha$，所以$\sin2\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{6}$. 故选 B.