《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

4.(2024山东烟台、德州二模,7)在$\triangle ABC$中，$AB = 3$，$AC = 2$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{EC}$，$AE$，$CF$交于点$D$，则$|\overrightarrow{CD}|=$（ ）
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
D.$\sqrt{3}$

答案：

5.(2024山西晋城三模,8)如图，圆$O_1$和圆$O_2$外切于点$P$，$A$，$B$分别为圆$O_1$和圆$O_2$上的动点，已知圆$O_1$和圆$O_2$的半径都为1，且$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=-1$，则$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}|^{2}$的最大值为（ ）

A.2
B.4
C.
D.

答案：

6.(多选)(2024江苏苏锡常镇调研二,11)在长方形$ABCD$中，$AB = 8$，$AD = 6$，点$E$，$F$分别为边$BC$和$CD$上两个动点（含端点），且$EF = 5$，设$\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}=\mu\overrightarrow{DC}$，则（ ）
A.$\frac{1}{6}\leq\lambda\leq1$，$\frac{3}{8}\leq\mu\leq1$
B.$\lambda+\mu$为定值
C.$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}$的最小值为50
D.$|\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}|$的最大值为$\sqrt{265}$

答案：

7.(多选)(2024湖南长沙一中一模,10)在梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$AB = AD = CD = 2$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$AC$与$BD$交于点$M$，点$N$在线段$CD$上，则（ ）

A.$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
B.$2S_{\triangle ACD}=3S_{\triangle BCM}$
C.$\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{BN}$为定值8
D.若$\overrightarrow{BN}=\lambda\overrightarrow{BM}+\mu\overrightarrow{BC}$，则$\frac{3}{\lambda}+\frac{3}{2\mu}$的最小值为$\frac{7\sqrt{3}}{2}$

答案：

8.(2024广东深圳第一次调研,13)设点$A(-2,0)$，$B(-\frac{1}{2},0)$，$C(0,1)$，若动点$P$满足$|PA| = 2|PB|$，且$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，则$\lambda + 2\mu$的最大值为________.

答案：

9.(2024安徽六校教育研究会第二次素养测试,13)已知正方形$ABCD$的边长为2，中心为$O$，四个半圆的圆心均为正方形$ABCD$各边的中点（如图），若$P$在$\overset{\frown}{BC}$上，且$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD}$，则$\lambda+\mu$的最大值为________.

答案：

(新定义理解)(2024北京人大附中统练,15)定义平面向量的一种运算$\boldsymbol{a}\odot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|\times|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|\times\sin\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$，其中$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$是$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角，给出下列命题：①若$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = 90^{\circ}$，则$\boldsymbol{a}\odot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}$；②若$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，则$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\odot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = 4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$；③若$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，则$\boldsymbol{a}\odot\boldsymbol{b}\leq2|\boldsymbol{a}|^{2}$；④若$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(-2,2)$，则$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\odot\boldsymbol{b}=\sqrt{10}$.其中真命题的序号是________.

答案：