《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.(2023天津,6,5分,易)已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$.若$a_{1}=2,a_{n + 1}=2S_{n}+2(n\in\mathbf{N}^{*})$,则$a_{4}=$ ( )
A.16
B.32
C.54
D.162

答案：

2.(2022全国乙理,4,5分,中)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列$\{ b_{n}\}$:$b_{1}=1+\frac{1}{\alpha_{1}}$,$b_{2}=1+\frac{1}{\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}}}$,$b_{3}=1+\frac{1}{\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}+\frac{1}{\alpha_{3}}}}$,…,依此类推,其中$\alpha_{k}\in\mathbf{N}^{*}(k = 1,2,\cdots)$.则 ( )
A.$b_{1}\lt b_{5}$
B.$b_{3}\lt b_{8}$
C.$b_{6}\lt b_{2}$
D.$b_{4}\lt b_{7}$

答案：

3.(2021北京,10,4分,中)已知$\{ a_{n}\}$是各项均为整数的递增数列,且$a_{1}\geqslant3$.若$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=100$,则$n$的最大值为 ( )
A.9
B.10
C.11
D.12

答案：

4.(2021浙江,10,4分,难)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1,a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{1+\sqrt{a_{n}}}(n\in\mathbf{N}^{*})$.记数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,则 ( )
A.$\frac{3}{2}\lt S_{100}\lt3$
B.$3\lt S_{100}\lt4$
C.$4\lt S_{100}\lt\frac{9}{2}$
D.$\frac{9}{2}\lt S_{100}\lt5$

答案：

5.(2020课标Ⅱ理,12,5分,难)0 - 1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdots$满足$a_{i}\in\{ 0,1\} (i = 1,2,\cdots)$,且存在正整数$m$,使得$a_{i + m}=a_{i}(i = 1,2,\cdots)$成立,则称其为0 - 1周期序列,并称满足$a_{i + m}=a_{i}(i = 1,2,\cdots)$的最小正整数$m$为这个序列的周期.对于周期为$m$的0 - 1序列$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdots$,$C(k)=\frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}a_{i}a_{i + k}(k = 1,2,\cdots,m - 1)$是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0 - 1序列中,满足$C(k)\leqslant\frac{1}{5}(k = 1,2,3,4)$的序列是 ( )
A.11010…
B.11011…
C.10001…
D.11001…

答案：

6.(2022北京,15,5分,难)已知数列$\{ a_{n}\}$的各项均为正数,其前$n$项和$S_{n}$满足$a_{n}\cdot S_{n}=9(n = 1,2,\cdots)$.给出下列四个结论:
①$\{ a_{n}\}$的第2项小于3;②$\{ a_{n}\}$为等比数列;
③$\{ a_{n}\}$为递减数列;④$\{ a_{n}\}$中存在小于$\frac{1}{100}$的项.
其中所有正确结论的序号是_______.

答案：

7.(2023全国甲理,17,12分,中)记$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和,已知$a_{2}=1,2S_{n}=na_{n}$.
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2)求数列$\left\{\frac{a_{n + 1}}{2^{n}}\right\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案：