《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1. (2024 广西部分市第二次联考,6)已知函数$f(x)=2\sin(\omega x+\frac{\pi}{6}) + 1(\omega＞0)$在区间$(0,\pi)$上恰有两个零点,则实数ω的取值范围是 （ ）
A.$(\frac{4}{3},\frac{10}{3})$
B.$[\frac{5}{3},3]$
C.$[\frac{4}{3},\frac{10}{3})$
D.$(\frac{5}{3},3]$

答案： D：因为$0 ＜ x＜\pi,\omega＞0$，所以$\frac{\pi}{6}＜\omega x+\frac{\pi}{6}＜\frac{\pi}{6}+\omega\pi$。因为函数$f(x)$在$(0,\pi)$上恰好有两个零点（即$\sin(\omega x+\frac{\pi}{6}) =-\frac{1}{2}$），所以$\frac{11\pi}{6}＜\frac{\pi}{6}+\omega\pi\leqslant\frac{19\pi}{6}$，解得$\frac{5}{3}＜\omega\leqslant3$。故选D。

2. (2024 江苏南通二模,5)已知函数$y = \sqrt{3}\sin\omega x+\cos\omega x(\omega＞0)$在区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}]$上单调递增,则ω的最大值为 （ ）
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{12}{11}$
D.$\frac{8}{3}$

答案： B：$y = \sqrt{3}\sin\omega x+\cos\omega x=2\sin(\omega x+\frac{\pi}{6})$。因为$\omega＞0,x\in[-\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}]$，所以$\omega x+\frac{\pi}{6}\in[-\frac{\omega\pi}{4}+\frac{\pi}{6},\frac{2\omega\pi}{3}+\frac{\pi}{6}]$。因为$y = \sqrt{3}\sin\omega x+\cos\omega x$在区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}]$上单调递增，所以$\begin{cases}-\frac{\omega\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\geqslant2k\pi-\frac{\pi}{2}\\\frac{2\omega\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}\end{cases},k\in\mathbf{Z}$，解得$\begin{cases}\omega\leqslant\frac{8}{3}-8k\\\omega\leqslant3k + \frac{1}{2}\end{cases},k\in\mathbf{Z}$。由$\omega＞0$得$\begin{cases}\frac{8}{3}-8k＞0\\3k+\frac{1}{2}＞0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k＜\frac{1}{3}\\k＞-\frac{1}{6}\end{cases}$，即$-\frac{1}{6}＜k＜\frac{1}{3}$，又$k\in\mathbf{Z}$，则$k = 0$，故$\omega\leqslant\frac{1}{2}$，即$\omega$的最大值为$\frac{1}{2}$，故选B。

3. (2024 安徽安庆二模,7)已知函数$f(x)=2\cos^{2}\omega x+\sin2\omega x - 1(\omega＞0)$的图象关于点$(\frac{\pi}{4},0)$对称,且$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{3})$上没有最小值,则ω的值为 （ ）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{7}{2}$

答案： B：$f(x)=2\cos^{2}\omega x+\sin2\omega x - 1=\cos2\omega x+\sin2\omega x=\sqrt{2}\sin(2\omega x+\frac{\pi}{4})$。因为$f(x)$的图象关于点$(\frac{\pi}{4},0)$对称，所以$f(\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}\sin(\frac{\omega\pi}{2}+\frac{\pi}{4}) = 0$，故$\frac{\omega\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=k_{0}\pi,k_{0}\in\mathbf{Z}$，即$\omega=2k_{0}-\frac{1}{2},k_{0}\in\mathbf{Z}$。因为$\omega＞0,x\in(0,\frac{\pi}{3})$，所以$2\omega x+\frac{\pi}{4}\in(\frac{\pi}{4},\frac{2\omega\pi}{3}+\frac{\pi}{4})$。因为$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{3})$上没有最小值，所以$\frac{2\omega\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\leqslant\frac{3}{2}\pi$，解得$\omega\leqslant\frac{15}{8}$。由$2k_{0}-\frac{1}{2}\leqslant\frac{15}{8}$解得$k_{0}\leqslant\frac{19}{16}$，又$k_{0}\in\mathbf{Z},\omega＞0$，所以$\omega=\frac{3}{2}$。故选B。

4. (2024 福建九地市质量检测,8)已知函数$f(x)=2\sin\omega x(\sqrt{3}\sin\omega x+\cos\omega x)(\omega＞0)$在$[0,\frac{\pi}{3}]$上单调递增,且对任意的实数$a$,$f(x)$在$(a,a+\pi)$上不单调,则ω的取值范围为 （ ）
A.$(1,\frac{5}{2}]$
B.$(1,\frac{5}{4}]$
C.$(\frac{1}{2},\frac{5}{2}]$
D.$(\frac{1}{2},\frac{5}{4}]$

答案： D：$f(x)=2\sin\omega x(\sqrt{3}\sin\omega x+\cos\omega x)=2\sqrt{3}\sin^{2}\omega x + 2\sin\omega x\cos\omega x=2\sin(2\omega x-\frac{\pi}{3})+\sqrt{3}$。因为$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{3})$上单调递增，所以$2\omega\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\leqslant\frac{\pi}{2}$，所以$\omega\leqslant\frac{5}{4}$。因为对任意的实数$a$，$f(x)$在区间$(a,a + \pi)$上不单调，所以$f(x)$的周期$T＜2\pi$，所以$T=\frac{2\pi}{2\omega}＜2\pi$，所以$\omega＞\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{2}＜\omega\leqslant\frac{5}{4}$，故选D。

5. (多选)(2024 辽宁名校联盟模拟一,10)已知函数$f(x)=2\cos(\omega x+\frac{\pi}{6})+2(\omega＞0)$在区间$[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$上单调递减,且在区间$[0,\pi]$上有且仅有一个零点,则ω的值可以为 （ ）
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{5}{6}$
C.$\frac{11}{12}$
D.$\frac{13}{12}$

答案： BC：由$2k\pi\leqslant\omega x+\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\pi,k\in\mathbf{Z}$得$\frac{2k\pi-\frac{\pi}{6}}{\omega}\leqslant x\leqslant\frac{2k\pi+\frac{5\pi}{6}}{\omega},k\in\mathbf{Z}$。因为函数$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$上单调递减，所以$\begin{cases}\frac{2k\pi-\frac{\pi}{6}}{\omega}\leqslant-\frac{\pi}{6}\\\frac{2k\pi+\frac{5\pi}{6}}{\omega}\geqslant\frac{\pi}{3}\end{cases}(k\in\mathbf{Z})\Rightarrow\begin{cases}\omega\leqslant - 12k + 1\\\omega\leqslant6k+\frac{5}{2}\end{cases}(k\in\mathbf{Z})$。又因为$k\in\mathbf{Z},\omega＞0$，所以$k = 0,0＜\omega\leqslant1$。因为$0\leqslant x\leqslant\pi$，所以$\frac{\pi}{6}\leqslant\omega x+\frac{\pi}{6}\leqslant\omega\pi+\frac{\pi}{6}$。因为$f(x)$在区间$[0,\pi]$上有且仅有一个零点，所以$\cos(\omega x+\frac{\pi}{6})=-1$在$[0,\pi]$上有且仅有一个实数根，所以$\pi\leqslant\omega\pi+\frac{\pi}{6}＜3\pi$，解得$\frac{5}{6}\leqslant\omega＜\frac{17}{6}$。综上，$\frac{5}{6}\leqslant\omega\leqslant1$，故BC正确，AD错误。故选BC。

6. (多选)(2024 江苏、浙江大联考,10)设函数$f(x)=\sqrt{3}\sin\omega x\cos\omega x-\frac{1}{2}\cos2\omega x,\omega＞0$,则下列结论正确的是 （ ）
A.$\forall\omega\in(0,1)$,$f(x)$在$[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}]$上单调递增
B.若$\omega = 1$且$|f(x_{1})-f(x_{2})| = 2$,则$|x_{1}-x_{2}|_{\min}=\pi$
C.若$|f(x)| = 1$在$[0,\pi]$上有且仅有 2 个不同的解,则ω的取值范围为$[\frac{5}{6},\frac{4}{3})$
D.存在$\omega\in(0,1)$,使得$f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度后得到的函数为奇函数

答案： ACD：$f(x)=\sqrt{3}\sin\omega x\cos\omega x-\frac{1}{2}\cos2\omega x=\sin(2\omega x-\frac{\pi}{6})$。A. 由$x\in[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}]$，得$2\omega x-\frac{\pi}{6}\in[-\frac{\omega\pi}{3}-\frac{\pi}{6},\frac{\omega\pi}{2}-\frac{\pi}{6}]$，因为$\omega\in(0,1)$，所以$[-\frac{\omega\pi}{3}-\frac{\pi}{6},\frac{\omega\pi}{2}-\frac{\pi}{6}]\subseteq[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，所以$\forall\omega\in(0,1)$，$f(x)$在$[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}]$上单调递增，故A正确；B. 由$\vert f(x_{1})-f(x_{2})\vert = 2$，可知$\vert x_{1}-x_{2}\vert_{\min}=\frac{T}{2}=\frac{\pi}{2\omega}$，故B错误；C. 由$x\in[0,\pi]$，得$2\omega x-\frac{\pi}{6}\in[-\frac{\pi}{6},2\omega\pi-\frac{\pi}{6}]$，由$\vert\sin(2\omega x-\frac{\pi}{6})\vert = 1$有且仅有$2$个不同的解，可得$\frac{3}{2}\pi\leqslant2\omega\pi-\frac{\pi}{6}＜\frac{5}{2}\pi$，解得$\omega\in[\frac{5}{6},\frac{4}{3})$，故C正确；D. 图象平移后对应的函数为$g(x)=\sin[2\omega(x + \frac{\pi}{6})-\frac{\pi}{6}]=\sin(2\omega x+\frac{\omega\pi}{3}-\frac{\pi}{6})$，可知当$\omega=\frac{1}{2}$时，满足$g(x)$为奇函数，故D正确。故选ACD。

7. (2024 广东一模,13)已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)(\omega＞0)$在区间$(\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{12})$上单调,且满足$f(\frac{\pi}{6})=-1,f(\frac{3\pi}{4}) = 0$,则$\omega =$_______.

答案： 答案：$\frac{6}{7}$
解析：$f(x)_{\min}=f(\frac{\pi}{6})=-1$，$f(x)$在$(\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{12})$上单调，所以$\frac{7\pi}{12}-\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{T}{2}$，所以$T\geqslant\frac{5\pi}{6}$，又$f(\frac{\pi}{6})=-1,f(\frac{3\pi}{4}) = 0$，所以$\frac{T}{4}=\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{6}$，所以$\omega=\frac{6}{7}$。

8. (2024 山东烟台、德州诊断,14)若函数$f(x)=\sin\omega x+\sqrt{3}\cos\omega x - 1$在$[0,2\pi]$上恰有 5 个零点,且在$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{15}]$上单调递增,则正实数ω的取值范围为____________.

答案： 答案：$[\frac{9}{4},\frac{5}{2}]$
解析：$f(x)=2\sin(\omega x+\frac{\pi}{3})-1$，由$f(x)=0$，得$\sin(\omega x+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$，则$\omega x+\frac{\pi}{3}=2k\pi+\frac{\pi}{6},k\in\mathbf{Z}$或$\omega x+\frac{\pi}{3}=2k\pi+\frac{5\pi}{6},k\in\mathbf{Z}$。由$x\in[0,2\pi]$，得$\omega x+\frac{\pi}{3}\in[\frac{\pi}{3},2\pi\omega+\frac{\pi}{3}]$。由$f(x)$在$[0,2\pi]$上恰有$5$个零点，得$\frac{29\pi}{6}\leqslant2\pi\omega+\frac{\pi}{3}＜\frac{37\pi}{6}$，解得$\frac{9}{4}\leqslant\omega＜\frac{35}{12}$。由$-\frac{\pi}{2}\leqslant\omega x+\frac{\pi}{3}\leqslant\frac{\pi}{2}$，得$-\frac{5\pi}{6\omega}\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{6\omega}$，即函数$f(x)$在$[-\frac{5\pi}{6\omega},\frac{\pi}{6\omega}]$上单调递增。因此$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{15}]\subseteq[-\frac{5\pi}{6\omega},\frac{\pi}{6\omega}]$，即$-\frac{5\pi}{6\omega}\leqslant-\frac{\pi}{4}$，且$\frac{\pi}{6\omega}\geqslant\frac{\pi}{15}$，解得$0＜\omega\leqslant\frac{5}{2}$，所以正实数$\omega$的取值范围为$[\frac{9}{4},\frac{5}{2}]$。

9. (2024 福建厦门二模,13)已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)(\omega＞0)$在$[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}]$上单调,$f(\frac{\pi}{6})=f(\frac{4\pi}{3})=-f(-\frac{\pi}{3})$,则ω的可能取值为____________.

答案： 答案：$\frac{12}{7},\frac{3}{5},\frac{9}{5}$
解析：设$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)(\omega＞0)$的最小正周期为$T$。由函数$f(x)$在$[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}]$上单调，得$T=\frac{2\pi}{\omega}\geqslant2[\frac{\pi}{6}-(-\frac{\pi}{3})]=\pi$，所以$0＜\omega\leqslant2$。由$f(\frac{\pi}{6})=-f(-\frac{\pi}{3})$以及函数$f(x)$在$[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}]$上单调，得$f(\frac{\frac{\pi}{6}+(-\frac{\pi}{3})}{2})=f(-\frac{\pi}{12}) = 0$，由$f(\frac{\pi}{6})=f(\frac{4\pi}{3})$，$\frac{4\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$，$T\geqslant\pi$，得$\frac{7\pi}{6}=T$或$\frac{\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3}}{2}=-\frac{\pi}{12}+\frac{T}{4}$或$\frac{\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3}}{2}=-\frac{\pi}{12}+\frac{3T}{4}$。若$\frac{7\pi}{6}=T$，则$\frac{7\pi}{6}=\frac{2\pi}{\omega}$，所以$\omega=\frac{12}{7}$；若$\frac{\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3}}{2}=-\frac{\pi}{12}+\frac{T}{4}$，则$\frac{3\pi}{4}=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{2\omega}$，所以$\omega=\frac{3}{5}$；若$\frac{\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3}}{2}=-\frac{\pi}{12}+\frac{3T}{4}$，则$\frac{3\pi}{4}=-\frac{\pi}{12}+\frac{3\pi}{2\omega}$，所以$\omega=\frac{9}{5}$。故$\omega$的可能取值为$\frac{12}{7},\frac{3}{5},\frac{9}{5}$。