《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

7.(2024浙江温州三模,12)设随机变量$\xi$服从正态分布N(2，1)，若P($\xi$＞a + 1)=P($\xi$＜a)，则a =_______.

答案： 答案$\frac{3}{2}$
解析　由题意知$\frac{a+l+a}{2}$=2,所以a=$\frac{3}{2}$.

8.(2024福建质检,12)某企业生产一种零部件,其质量指标介于(49.6，50.4)的为优品,技术改造前,该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布N(50，0.16)；技术改造后,该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布N(50，0.04).那么,该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为_______.（若X~N($\mu$，$\sigma^2$)，则P(|X - $\mu$|＜$\sigma$) = 0.6827，P(|X - $\mu$|＜2$\sigma$) = 0.9545，P(|X - $\mu$|＜3$\sigma$) = 0.9973）

答案： 答案0.2718
解析　技术改造前,μ!=50,σ1=0.4,则其优品率为P(49.6＜X＜50.4)=P(μ−σ＜X＜μ1+σ)=P(1X−μ1＜σ)=0.6827,技术改造后,μ2=50,σ2=0.2,则其优品率为P(49.6＜X＜50.4)=P(μ2−2σ2＜X＜μ+2σ2)=P(1X−μ21＜2σ2)=0.9545,所以优品率之差为0.9545−0.6827=0.2718.

1.(2024广东佛山质量检测二,17)如图,在一条无限长的轨道上,一个质点在随机外力的作用下,从位置0出发,每次等可能地向左或向右移动一个单位,设移动n次后质点位于位置$X_n$.
（1）求P($X_4$= - 2)；
（2）求E($X_n$)；
（3）指出质点最有可能位于哪个位置,并说明理由.

答案：
解析设质点n次移动中向右移动的次数为Y,则Y~B(n,$\frac{1}{2}$),xn=−(n−Y)=2−n.　　　　　　　　　(3分)
(1)P(X=−2)=P(Y=1)=C$\frac{1}{2}${$\frac{1}{2}$)3=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$.(7分)

若n为偶数,C中间的一项C取得最大值,即Y=$\frac{n}{2}$概率最大,此时Xn=0,所以质点最有可能位于位置0;　　　(13分)
若n为奇数,C中间的两项C,C取得最大值,即Y=$\frac{n+1}{2}$或Y=$\frac{n−1}{2}$概率最大,此时Xn=1或−1,所以质点最有可能位于位置1或−1.　　　　　　　　　　　　　　　　(15分)

2.(2024湖南衡阳第二次联考,16)某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛，一共收到500篇作品,由评委会给每篇作品打分,下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分:82，70，58，79，61，82，79，61，58.
（1）计算样本平均数$\overline{x}$和样本方差$s^2$；
（2）若这次征文比赛作品的得分X服从正态分布N($\mu$，$\sigma^2$)，其中$\mu$和$\sigma^2$的估计值分别为样本平均数$\overline{x}$和样本方差$s^2$，该报社计划给得分在前50名的作品作者评奖,则评奖的分数线约为多少分?
参考数据：P(|X - $\mu$|＜1.3$\sigma$)≈0.8，P(|X - $\mu$|＜1.6$\sigma$)≈0.9.

答案： 解析
(1)由题意可得,x=$\frac{1}{9}$x(82+70+58+79+61+82+79+611+58)=70,s²=$\frac{1}{9}$x[(82−70)²+(70−70)²+(58−70)²+(79−70)²+(61−70)²+(82−70)²+(79−70)²+(61−70)²+(58−70)²]=100,所以样本平均数为70,样本方差为100.
(2)因为得分X服从正态分布N(μ,σ²),且μ=x=70,σ²=S²=100,则g=10,所以X~N(70,10²),又P(1X−μl＜1.3σ)≈0.8,1X−701＜13=57＜X＜83,所以P(57＜X＜83)≈0.8,又P(1X−μl＜1.6σ)≈0.9,1X−701＜16=54＜X＜86,所以P(54＜X＜86)≈0.9,由题知评奖作品总共50篇，获奖率为$\frac{50}{500}$=0.1,因为P(57＜X＜83)≈0.8,则1−P(57＜X＜83)≈0.2,所以P(X＜57)=P(X＞83)−0.1,即分数线约为83分.