《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

6.(2021全国乙,文17,理17,12分,中)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
|旧设备| 9.8 | 10.3 | 10.0 | 10.2 | 9.9 | 9.8 | 10.0 | 10.1 | 10.2 | 9.7 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|新设备| 10.1 | 10.4 | 10.1 | 10.0 | 10.1 | 10.3 | 10.6 | 10.5 | 10.4 | 10.5 |
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为$\overline{x}$和$\overline{y}$，样本方差分别记为$s_{1}^{2}$和$s_{2}^{2}$.
(1)求$\overline{x},\overline{y},s_{1}^{2},s_{2}^{2}$；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果$\overline{y}-\overline{x}\geq2\sqrt{\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}$，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).

答案： 6 解析
(1)$\overline{x}=\frac{1}{10}(9.8 + 10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0$.
$\overline{y}=\frac{1}{10}(10.1 + 10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3$.
$s_{1}^{2}=\frac{1}{10}[(9.8 - 10.0)^{2}+(10.3 - 10.0)^{2}+(10.0 - 10.0)^{2}+(10.2 - 10.0)^{2}+(9.9 - 10.0)^{2}+(9.8 - 10.0)^{2}+(10.0 - 10.0)^{2}+(10.1 - 10.0)^{2}+(10.2 - 10.0)^{2}+(9.7 - 10.0)^{2}]=0.036$.
$s_{2}^{2}=\frac{1}{10}[(10.1 - 10.3)^{2}+(10.4 - 10.3)^{2}+(10.1 - 10.3)^{2}+(10.0 - 10.3)^{2}+(10.1 - 10.3)^{2}+(10.3 - 10.3)^{2}+(10.6 - 10.3)^{2}+(10.5 - 10.3)^{2}+(10.4 - 10.3)^{2}+(10.5 - 10.3)^{2}]=0.04$.
(2)由
(1)得$\overline{y}-\overline{x}=0.3$，$s_{1}^{2}+s_{2}^{2}=0.076$，
从而$(\overline{y}-\overline{x})^{2}=0.09$，$(2\sqrt{\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}})^{2}=\frac{2}{5}(s_{1}^{2}+s_{2}^{2})=0.0304$.
所以$(\overline{y}-\overline{x})^{2}\gt(2\sqrt{\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}})^{2}$，又$\overline{y}\gt\overline{x}$，故$\overline{y}-\overline{x}\gt2\sqrt{\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}$，
因此新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

7.(2023新课标II,19,12分,中)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值$c$，将该指标大于$c$的人判定为阳性,小于或等于$c$的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为$p(c)$；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为$q(c)$.假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率$p(c)=0.5\%$时,求临界值$c$和误诊率$q(c)$；
(2)设函数$f(c)=p(c)+q(c)$.当$c\in[95,105]$时,求$f(c)$的解析式,并求$f(c)$在区间$[95,105]$的最小值.

答案： 7 解析
(1)由题意知$(c - 95)\times0.002 = 0.5\%$，（1分）
得$c = 97.5$，（2分）
$q(c)=0.01\times2.5+5\times0.002 = 0.035 = 3.5\%$.（4分）
(2)当$c\in[95,100]$时，
$f(c)=p(c)+q(c)=(c - 95)\times0.002+(100 - c)\times0.01+5\times0.002=-0.008c + 0.82\geq0.02$.（7分）
当$c\in(100,105]$时，
$f(c)=p(c)+q(c)=5\times0.002+(c - 100)\times0.012+(105 - c)\times0.002=0.01c - 0.98\gt0.02$.
$\therefore f(c)=\begin{cases}-0.008c + 0.82,95\leq c\leq100\\0.01c - 0.98,100\lt c\leq105\end{cases}$，（9分）
由于$f(c)$在区间$[95,100]$单调递减，在区间$(100,105]$单调递增，（评分细则：该理由一定要写，不写扣分）（10分）
$\therefore f(c)_{\min}=f(100)=0.02$.（12分）