《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.(2024全国甲理,6,5分,易)设函数$f(x)=\frac{e^{x}+2\sin x}{1 + x^{2}}$，则曲线$y = f(x)$在点$(0,1)$处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： A $f^{\prime}(x)=\frac{(e^{x}+2\cos x)(1 + x^{2})-(e^{x}+2\sin x)2x}{(1 + x^{2})^{2}}$，
$\therefore$曲线$y = f(x)$在点$(0,1)$处的切线的斜率$k = f^{\prime}(0)=3$，
$\therefore$切线的方程为$y = 3x + 1$，
令$x = 0$，得$y = 1$；令$y = 0$，得$x=-\frac{1}{3}$，
$\therefore$曲线$y = f(x)$在点$(0,1)$处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为$S=\frac{1}{2}\times1\times\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{6}$。

2.(2024新课标I,13,5分,中)若曲线$y = e^{x}+x$在点$(0,1)$处的切线也是曲线$y=\ln(x + 1)+a$的切线，则$a =$_______.

答案： 答案$\ln 2$
解析 因为$y = e^{x}+x$，所以$y^{\prime}=e^{x}+1$，
所以曲线$y = e^{x}+x$在$(0,1)$处切线的斜率$k = 2$，
又切线过点$(0,1)$，所以曲线$y = e^{x}+x$在$(0,1)$处切线的方程为$y = 2x + 1$，
对$y=\ln(x + 1)+a$求导得$y^{\prime}=\frac{1}{x + 1}$，由直线$y = 2x + 1$也是曲线$y=\ln(x + 1)+a$的切线，得$\frac{1}{x + 1}=2$，解得$x=-\frac{1}{2}$，将$x=-\frac{1}{2}$代入$y=\ln(x + 1)+a$得$y=a-\ln 2$，
所以曲线$y=\ln(x + 1)+a$与直线$y = 2x + 1$相切的切点坐标为$\left(-\frac{1}{2},a-\ln 2\right)$，代入$y = 2x + 1$，解得$a=\ln 2$。

1.(2020课标I理,6,5分,易)函数$f(x)=x^{4}-2x^{3}$的图象在点$(1,f(1))$处的切线方程为（ ）
A.$y=-2x - 1$
B.$y=-2x + 1$
C.$y = 2x-3$
D.$y = 2x + 1$

答案： B $f^{\prime}(x)=4x^{3}-6x^{2}$，则$f^{\prime}(1)=4 - 6=-2$，易知$f(1)=1 - 2=-1$，由点斜式可得函数$f(x)$的图象在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y-(-1)=-2(x - 1)$，即$y=-2x + 1$。故选B。

2.(2023全国甲文,8,5分,易)曲线$y=\frac{e^{x}}{x + 1}$在点$(1,\frac{e}{2})$处的切线方程为（ ）
A.$y=\frac{e}{4}x$
B.$y=\frac{e}{2}x$
C.$y=\frac{e}{4}x+\frac{e}{4}$
D.$y=\frac{e}{2}x+\frac{3e}{4}$

答案： C 由$y=\frac{e^{x}}{x + 1}$，可得$y^{\prime}=\frac{xe^{x}}{(x + 1)^{2}}$，则$y^{\prime}\vert_{x = 1}=\frac{e}{4}$，$\therefore$曲线在点$\left(1,\frac{e}{2}\right)$处的切线方程为$y-\frac{e}{2}=\frac{e}{4}(x - 1)$，即$y=\frac{e}{4}x+\frac{e}{4}$，故选C。

3.(2021新高考I,7,5分,中)若过点$(a,b)$可以作曲线$y = e^{x}$的两条切线，则（ ）
A.$e^{b}\lt a$
B.$e^{a}\lt b$
C.$0\lt a\lt e^{b}$
D.$0\lt b\lt e^{a}$

答案：
D 设切点坐标为$(x_{0},y_{0})$，则$y_{0}=e^{x_{0}}$。
对$y = e^{x}$求导得$y^{\prime}=e^{x}$，则切线斜率$k = e^{x_{0}}$，
切线方程为$y - e^{x_{0}}=e^{x_{0}}(x - x_{0})$，
因为切线过点$(a,b)$，所以$b - e^{x_{0}}=e^{x_{0}}(a - x_{0})$，
即$e^{x_{0}}(a - x_{0}+1)-b = 0(*)$。
由题意知方程$(*)$有两个解。（不能直接求方程$(*)$的解，考虑其对应函数有两个零点，利用导数法求解）
设$g(x)=e^{x}(a - x + 1)-b$，则$g^{\prime}(x)=e^{x}(a - x)$，
令$g^{\prime}(x)＞0$，得$x＜a$，令$g^{\prime}(x)＜0$，得$x＞a$，
故函数$g(x)$在$x = a$处取得极大值，也是最大值。
要使$g(x)$有两个零点，则必有$g(a)＞0$，即$e^{a}(a - a + 1)-b＞0$，
即$b＜e^{a}$。结合选项知选D。
小题速解
当$x\to-\infty$时，曲线$y = e^{x}$的切线的斜率$k＞0$且$k$趋向于$0$，当$x\to+\infty$时，曲线$y = e^{x}$的切线的斜率$k＞0$且$k$趋向于$\infty$，结合图象可知，两切线的交点应该在$x$轴上方，且在曲线$y = e^{x}$的下方，$\therefore0＜b＜e^{a}$，故选D。

4.(2021全国甲理,13,5分,易)曲线$y=\frac{2x - 1}{x + 2}$在点$(-1,-3)$处的切线方程为_______.

答案： 答案$y = 5x + 2$
解析$y=\frac{2(x + 2)-5}{x + 2}=2-\frac{5}{x + 2}$，所以$y^{\prime}=\frac{5}{(x + 2)^{2}}$，
所以$k=y^{\prime}\vert_{x=-1}=5$，从而切线方程为$y + 3=5(x + 1)$，即$y = 5x + 2$。

5.(2020课标III文,15,5分,易)设函数$f(x)=\frac{e^{x}}{x + a}$。若$f'(1)=\frac{e}{4}$，则$a =$_______.

答案： 答案$1$
解析$f^{\prime}(x)=\frac{(x + a - 1)e^{x}}{(x + a)^{2}}$，则$f^{\prime}(1)=\frac{ae}{(a + 1)^{2}}=\frac{e}{4}$，解得$a = 1$。

6.(2022新高考I,15,5分,中)若曲线$y=(x + a)\cdot e^{x}$有两条过坐标原点的切线，则$a$的取值范围是______________.

答案： 答案$(-\infty,-4)\cup(0,+\infty)$
解析 设$f(x)=y=(x + a)e^{x}$，则$f^{\prime}(x)=(x + a + 1)e^{x}$，
设切点为$(x_{0},(x_{0}+a)e^{x_{0}})$，
因此切线方程为$y-(x_{0}+a)e^{x_{0}}=(x_{0}+a + 1)e^{x_{0}}(x - x_{0})$，
$\because$切线过原点$(0,0)$，$\therefore-(x_{0}+a)e^{x_{0}}=(x_{0}+a + 1)e^{x_{0}}\cdot(-x_{0})$，
整理得$x_{0}^{2}+ax_{0}-a = 0$，由切线有两条，得关于$x_{0}$的方程$x_{0}^{2}+ax_{0}-a = 0$有两不等实根，故$\Delta=a^{2}+4a＞0$，解得$a＞0$或$a＜-4$。

7.(2022新高考II,14,5分,中)曲线$y=\ln|x|$过坐标原点的两条切线的方程为________，________.

答案： 答案$y=\frac{1}{e}x;y=-\frac{1}{e}x$（不分先后）
解析 由题意可知，函数的定义域为$\{x|x\neq0\}$。易证函数$y=\ln|x|$为偶函数，当$x＞0$时，$y=\ln x$，设切点坐标为$(x_{0},\ln x_{0})$，
$\because y^{\prime}=\frac{1}{x}$，$\therefore$切线斜率$k=y^{\prime}\vert_{x = x_{0}}=\frac{1}{x_{0}}$，
故切线方程为$y-\ln x_{0}=\frac{1}{x_{0}}(x - x_{0})$，又知切线过原点$(0,0)$，
$\therefore-\ln x_{0}=-1$，$\therefore x_{0}=e$，故切线方程为$y - 1=\frac{1}{e}(x - e)$，即$y=\frac{1}{e}x$。由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为$y=-\frac{1}{e}x$，故过坐标原点的两条切线方程为$y=\frac{1}{e}x$和$y=-\frac{1}{e}x$。

8.(2021新高考II,16,5分,难)已知函数$f(x)=|e^{x}-1|$，$x_{1}\lt0$，$x_{2}\gt0$，函数$f(x)$的图象在点$A(x_{1},f(x_{1}))$和点$B(x_{2},f(x_{2}))$处的两条切线互相垂直，且分别交$y$轴于$M$，$N$两点，则$\frac{|AM|}{|BN|}$的取值范围是_______.

答案： 答案$(0,1)$
解析 当$x＞0$时，$f(x)=e^{x}-1$，$f^{\prime}(x)=e^{x}$，则$k_{BN}=e^{x_{2}}$。
当$x＜0$时，$f(x)=1 - e^{x}$，$f^{\prime}(x)=-e^{x}$，$k_{AM}=-e^{x_{1}}$，
由切线垂直可知$k_{AM}\cdot k_{BN}=-e^{x_{1}}\cdot e^{x_{2}}=-1$，得$x_{1}+x_{2}=0$，
设$k_{BN}=k$，则$k_{AM}=-\frac{1}{k}$，
则$\frac{|AM|}{|BN|}=\frac{\sqrt{1+\left(-\frac{1}{k}\right)^{2}}|0 - x_{1}|}{\sqrt{1 + k^{2}}|x_{2}-0|}=\frac{1}{k}=\frac{1}{e^{x_{2}}}$，
$\because x_{2}＞0$，$\therefore\frac{1}{e^{x_{2}}}\in(0,1)$。
故$\frac{|AM|}{|BM|}$的取值范围是$(0,1)$。

9.(2022全国甲文,20,12分,中)已知函数$f(x)=x^{3}-x$，$g(x)=x^{2}+a$，曲线$y = f(x)$在点$(x_{1},f(x_{1}))$处的切线也是曲线$y = g(x)$的切线.
(1)若$x_{1}=-1$，求$a$；
(2)求$a$的取值范围.

答案： 解析 解法一：由题意可知$f^{\prime}(x)=3x^{2}-1$，$f(x_{1})=x_{1}^{3}-x_{1}$，
则曲线$y = f(x)$在点$(x_{1},f(x_{1}))$处的切线方程为$y-(x_{1}^{3}-x_{1})=(3x_{1}^{2}-1)(x - x_{1})$，即$y=(3x_{1}^{2}-1)x-2x_{1}^{3}$。
因为曲线$y = f(x)$在点$(x_{1},f(x_{1}))$处的切线也是曲线$y = g(x)$的切线，所以$\begin{cases}y=(3x_{1}^{2}-1)x-2x_{1}^{3}\\y=x^{2}+a\end{cases}$有且仅有一组解，
即方程$x^{2}-(3x_{1}^{2}-1)x+2x_{1}^{3}+a = 0$有两个相等的实数根，
从而$\Delta=(3x_{1}^{2}-1)^{2}-4(2x_{1}^{3}+a)=0\Leftrightarrow4a=9x_{1}^{4}-8x_{1}^{3}-6x_{1}^{2}+1$。
(1)若$x_{1}=-1$，则$4a = 12\Leftrightarrow a = 3$。
(2)$4a=9x_{1}^{4}-8x_{1}^{3}-6x_{1}^{2}+1$，
令$h(x)=9x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+1$，
则$h^{\prime}(x)=36x^{3}-24x^{2}-12x=12x(x - 1)(3x + 1)$，
令$h^{\prime}(x)＞0$，得$-\frac{1}{3}＜x＜0$或$x＞1$，
令$h^{\prime}(x)＜0$，得$x＜-\frac{1}{3}$或$0＜x＜1$，
所以$h(x)$在$\left(-\frac{1}{3},0\right)$和$(1,+\infty)$上单调递增，在$\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right)$和$(0,1)$上单调递减，
又$h(1)=-4$，$h\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{20}{27}$，所以$h(x)\geqslant-4$，
所以$a\geqslant-1$。
解法二：由题意可知$f^{\prime}(x)=3x^{2}-1$，$f(x_{1})=x_{1}^{3}-x_{1}$，则曲线$y = f(x)$在点$(x_{1},f(x_{1}))$处的切线方程为$y-(x_{1}^{3}-x_{1})=(3x_{1}^{2}-1)\cdot(x - x_{1})$，即$y=(3x_{1}^{2}-1)x-2x_{1}^{3}$①，
设公切线与曲线$y = g(x)$的切点为$(x_{2},x_{2}^{2}+a)$，
又$g^{\prime}(x_{2})=2x_{2}$，
则切线可表示为$y-(x_{2}^{2}+a)=2x_{2}(x - x_{2})$，
即$y=2x_{2}x-x_{2}^{2}+a$②，
因为①②表示同一直线方程，所以$\begin{cases}3x_{1}^{2}-1=2x_{2}\\-2x_{1}^{3}=-x_{2}^{2}+a\end{cases}$，
则$(3x_{1}^{2}-1)^{2}-8x_{1}^{3}=4a\Leftrightarrow4a=9x_{1}^{4}-8x_{1}^{3}-6x_{1}^{2}+1$。
下面同解法一。