《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1. (2024广东深圳二模,4)已知$a＞0$,且$a\neq 1$,则函数$y=\log _{a}(x+\frac{1}{a})$的图象一定经过(　　)
A. 第一、二象限　　　
　B. 第一、三象限
C. 第二、四象限　　　
　D. 第三、四象限

答案： D：当$x = 0$时，$y=\log_a\frac{1}{a}=-1$。当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数图象经过第二、三、四象限；当$a＞1$时，函数图象经过第一、三、四象限。所以函数$y=\log_a(x+\frac{1}{a})$的图象一定经过第三、四象限。故选D。

2. (2024山东临沂一模,6)已知函数$\text{sgn}(x)=\begin{cases}1,x＞0,\\0,x = 0,\\-1,x＜0,\end{cases}$则“$\text{sgn}(e^{x}-1)+\text{sgn}(-x + 1)=0$”是“$x＞1$”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： B：当$\text{sgn}(e^x - 1)+\text{sgn}(-x + 1)=0$时，取$x = -\frac{1}{2}$，则$e^x - 1＜0$，$-x + 1＞0$，此时$\text{sgn}(e^x - 1)+\text{sgn}(-x + 1)=-1 + 1 = 0$，则$x＞1$不成立，即充分性不成立；当$x＞1$时，$e^x - 1＞0$，$-x + 1＜0$，所以$\text{sgn}(e^x - 1)+\text{sgn}(-x + 1)=1 - 1 = 0$，即必要性成立，所以“$\text{sgn}(e^x - 1)+\text{sgn}(-x + 1)=0$”是“$x＞1$”的必要不充分条件。故选B。

3. (2024广东深圳第一次调研,3)已知函数$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的偶函数,在区间$(0,+\infty )$上单调递增,且对任意的$x_{1},x_{2}$,均有$f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$成立,则下列函数中符合条件的是(　　)
A. $f(x)=\ln |x|$　　　
　B. $f(x)=x^{3}$
C. $f(x)=2^{|x|}$　　　　
　D. $f(x)=|x|$

答案： D：
对于A，$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，A不符合题意；
对于B，$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$，则$f(x)$是奇函数，B不符合题意；
对于C，$f(x_1)f(x_2)=2^{|x_1|}2^{|x_2|}=2^{|x_1|+|x_2|}\neq f(x_1x_2)=2^{|x_1x_2|}$，C不符合题意；
对于D，$f(x_1x_2)=|x_1x_2|=|x_1||x_2|=f(x_1)f(x_2)$，又$f(x)=|x|$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(-x)=|-x|=|x|=f(x)$，所以函数$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的偶函数，当$x＞0$时，$f(x)=x$单调递增，满足题意。故选D。

4. (2024广东六校联考,7)数学上,常用$[x]$表示不大于$x$的最大整数.已知函数$y=\frac{3^{[x]}-1}{3^{[x]}+1}$,则下列正确的是(　　)
A. 函数$y=\frac{3^{[x]}-1}{3^{[x]}+1}$在定义域上是奇函数
B. 函数$y=\frac{3^{[x]}-1}{3^{[x]}+1}$的零点有无数个
C. 函数$y=\frac{3^{[x]}-1}{3^{[x]}+1}$在定义域上的值域是$(-1,1)$
D. 不等式$\frac{3^{[x]}-1}{3^{[x]}+1}\leq 0$的解集是$(-\infty ,0]$

答案： B：令$f(x)=y=\frac{3^{[x]}-1}{3^{[x]}+1}$。
A.$f(1.5)=\frac{3 - 1}{3 + 1}=\frac{1}{2}$，$f(-1.5)=\frac{3^{-2}-1}{3^{-2}+1}=-\frac{4}{5}$，因为$f(-1.5)\neq -f(1.5)$，所以$f(x)$不是奇函数，故A错误。
B.令$f(x)=0$，得$3^{[x]}=1$，$[x]=0$，$x\in[0,1)$，即函数$y=\frac{3^{[x]}-1}{3^{[x]}+1}$的零点有无数个，故B正确。
C.若$f(x)=\frac{1}{3}$，则$\frac{3^{[x]}-1}{3^{[x]}+1}=\frac{1}{3}\Rightarrow3^{[x]}=2$，由题意$3^{[x]}\in A=\{x|x = 3^t,t\in\mathbf{Z}\}$，则$2\notin A$，即函数$y=\frac{3^{[x]}-1}{3^{[x]}+1}$在定义域上的值域不是$(-1,1)$，故C错误。
D.$f(x)\leq0$，$3^{[x]}\leq1$，$[x]\leq0$，$x\in(-\infty,1)$，故D错误。故选B。

5. (2024广东佛山质量检测(二),7)已知$0\lt a\lt 1$且$a\neq \frac{1}{2}$,若函数$f(x)=2\log _{a}x-\log _{(2a)}x$在$(0,+\infty )$上单调递减,则实数$a$的取值范围为(　　)
A. $(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$　　　　　　
　B. $(0,\frac{1}{4})$
C. $(\frac{1}{4},\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2},1)$　　　
　D. $(0,\frac{1}{4})\cup (\frac{1}{2},1)$

答案： D：依题意，$f(x)=\frac{2\ln x}{\ln a}-\frac{\ln x}{\ln(2a)}=\frac{2\ln(2a)-\ln a}{\ln a\cdot\ln(2a)}\cdot\ln x=\frac{\ln(4a)}{\ln a\cdot\ln(2a)}\cdot\ln x$，显然函数$y = \ln x$在$(0,+\infty)$上单调递增，而函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，因此$\frac{\ln(4a)}{\ln a\cdot\ln(2a)}＜0$，而$\ln a＜\ln(2a)＜\ln(4a)$，则$\ln(4a)＜0$或$\begin{cases}\ln a＜0\\\ln(2a)＞0\end{cases}$，解得$0 ＜ a ＜ \frac{1}{4}$或$\frac{1}{2}＜a＜1$，所以实数$a$的取值范围为$(0,\frac{1}{4})\cup(\frac{1}{2},1)$。故选D。

6. (2024浙江杭州二模,7)设集合$M = \{1,-1\},N = \{x|x＞0且x\neq 1\}$,函数$f(x)=a^{x}+\lambda a^{-x}(a＞0且a\neq 1)$,则(　　)
A. $\forall\lambda\in M,\exists a\in N,f(x)$为增函数
B. $\exists\lambda\in M,\forall a\in N,f(x)$为减函数
C. $\forall\lambda\in M,\exists a\in N,f(x)$为奇函数
D. $\exists\lambda\in M,\forall a\in N,f(x)$为偶函数

答案： D：$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$。当$\lambda = 1$时，$f(x)=a^x + a^{-x}$，$f(-x)=a^{-x}+a^x=f(x)$，$f^\prime(x)=a^x\ln a - a^{-x}\ln a=a^{-x}\ln a(a^{2x}-1)$，所以$f(x)$是偶函数，当$0 ＜ a ＜ 1$时，$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增，当$a＞1$时，$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增，故不存在$a$，使得$f(x)$是增函数，且$f(x)$是奇函数；当$\lambda=-1$时，$f(x)=a^x - a^{-x}$，$f(-x)=a^{-x}-a^x=-(a^x - a^{-x})=-f(x)$，$f(x)$是奇函数，当$a＞1$时，$f(x)$为增函数（增 + 增为增），当$0 ＜ a ＜ 1$时，$f(x)$为减函数。综上，选D。

7. (多选)(2024广西柳州三模,9)若$a＞b$,则(　　)
A. $a^{3}-b^{3}＞0$　　　　　
　B. $\ln(a - b)＞0$
C. $e^{a - b}＞1$　　　　　　
　D. $|a|-|b|＞0$

答案： AC：
对于A，因为$y = x^3$在$\mathbf{R}$上单调递增，$a＞b$，所以$a^3＞b^3$，即$a^3 - b^3＞0$，故A正确；
对于B，取$a = 1$，$b = 0$，满足$a＞b$，但$\ln(a - b)=\ln1 = 0$，故B错误；
对于C，因为$a＞b$，所以$a - b＞0$，则$e^{a - b}＞e^0 = 1$，故C正确；
对于D，取$a = 0$，$b=-1$，此时$|a|-|b|=-1＜0$，故D错误。故选AC。

8. (多选)(2024贵州毕节第二次诊断,10)已知$25^{a}=2^{b}=100$,则下列式子中正确的有(　　)
A. $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$　　　　　
　B. $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$
C. $ab＞8$　　　　　　　
　D. $a + 2b＞9$

答案： BCD：由已知可得$a=\log_{25}100$，$\frac{1}{a}=\log_{100}25$，$b=\log_2100$，$\frac{1}{b}=\log_{100}2$，所以$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=2\log_{100}25+\log_{100}2=\log_{100}1250\neq1$，$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\log_{100}25+2\log_{100}2=\log_{100}100 = 1$，故A错误，B正确；$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1\geq2\sqrt{\frac{2}{ab}}$，当且仅当$\frac{1}{a}=\frac{2}{b}$，即$a = 2$，$b = 4$时取等号，显然取不到，所以$ab＞8$，故C正确；$a + 2b=(a + 2b)(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})=5+\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}\geq5 + 2\sqrt{4}=9$，当且仅当$\frac{2b}{a}=\frac{2a}{b}$，即$a = b = 3$时取等号，显然取不到，所以$a + 2b＞9$，故D正确。故选BCD。

9. (2024山东淄博一模,14)设方程$e^{x}+x + e = 0,\ln x+x + e = 0$的根分别为$p,q$,函数$f(x)=e^{x}+(p + q)x$,令$a = f(0),b = f(\frac{1}{2}),c = f(\frac{3}{2})$,则$a,b,c$的大小关系为________.

答案： 答案：$a＞c＞b$
解析：由$e^x+x + e = 0$得$e^x=-x - e$，由$\ln x+x + e = 0$得$\ln x=-x - e$，则直线$y=-x - e$与函数$y = e^x$，$y=\ln x$图象交点的横坐标分别为$p$，$q$。函数$y = e^x$，$y=\ln x$互为反函数，则它们的图象关于直线$y = x$对称，又直线$y=-x - e$垂直于直线$y = x$，因此直线$y=-x - e$与函数$y = e^x$，$y=\ln x$图象的交点关于直线$y = x$对称，即点$(p,q)$在直线$y=-x - e$上，则$p + q=-e$，$f(x)=e^x-ex$，于是$f(0)=1$，$f(\frac{1}{2})=\sqrt{e}-\frac{1}{2}e＜1$，$f(\frac{3}{2})=e^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}e=e(\sqrt{e}-\frac{3}{2})＜3\times\frac{1}{3}=1$，而$f(\frac{3}{2})-f(\frac{1}{2})=e^{\frac{3}{2}}-e-\sqrt{e}=\sqrt{e}(e-\sqrt{e}-1)＞0$，所以$f(0)＞f(\frac{3}{2})＞f(\frac{1}{2})$，即$a＞c＞b$。

(创新知识交汇)(2024广东一模,8)已知集合$A = \{-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{1}{3},2,3\}$,若$a,b,c\in A$且互不相等,则使得指数函数$y = a^{x}$,对数函数$y = \log _{b}x$,幂函数$y = x^{c}$中至少有两个函数在$(0,+\infty )$上单调递增的有序数对$(a,b,c)$的个数是(　　)
A. 16　　　
　B. 24　　
　C. 32　　
　D. 48

答案： B：若$y = a^x$和$y=\log_bx$在$(0,+\infty)$上单调递增，$y = x^c$在$(0,+\infty)$上单调递减，则有序数对$(a,b,c)$有$A_2^2\cdot C_2^1 = 4$个；若$y = a^x$和$y = x^c$在$(0,+\infty)$上单调递增，$y=\log_bx$在$(0,+\infty)$上单调递减，则有序数对$(a,b,c)$有$C_2^1\cdot C_2^1\cdot C_2^1 = 8$个；若$y=\log_bx$和$y = x^c$在$(0,+\infty)$上单调递增，$y = a^x$在$(0,+\infty)$上单调递减，则有序数对$(a,b,c)$有$C_2^1\cdot C_2^1\cdot C_2^1 = 8$个；若$y = a^x$、$y=\log_bx$和$y = x^c$在$(0,+\infty)$上都单调递增，则有序数对$(a,b,c)$有$A_2^2\cdot C_2^1 = 4$个。综上所述，满足题意的有序数对$(a,b,c)$的个数是$4 + 8+8 + 4 = 24$。故选B。