《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1. (2024辽宁辽阳一模,1)若P为椭圆$C:\frac{x^{2}}{121}+\frac{y^{2}}{96}=1$上一点，$F_{1},F_{2}$为C的两个焦点，且$|PF_{2}| = 8$，则$|PF_{1}|=$ （ ）
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16

答案： 由椭圆方程可知$a = 11$，则$\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert=22$，又$\vert PF_{2}\vert = 8$，所以$\vert PF_{1}\vert = 14$。故选C。

2. (2024湖北七市州3月调研,4)已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{m}+y^{2}=1$，则“$m = 2$”是“椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$”的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： 由$m = 2$可得椭圆$C:\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$，此时离心率为$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2 - 1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，充分性成立；
若椭圆$C$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当$m\lt1$时，可得离心率为$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{1 - m}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$m=\frac{1}{2}$，必要性不成立；
综上可知，“$m = 2$”是“椭圆$C$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$”的充分不必要条件。故选A。

3. (2024东北三省三校一模,4)已知平面直角坐标系$xOy$中，椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左顶点和上顶点分别为A，B，过椭圆C左焦点F且平行于直线AB的直线交y轴于点D. 若$\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{DB}$，则椭圆C的离心率为 （ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{2}{3}$

答案： $\because DF// AB$，$\therefore\frac{\vert OD\vert}{\vert OB\vert}=\frac{\vert OF\vert}{\vert OA\vert}=\frac{2}{3}$，又$\vert OF\vert = c$，$\vert OA\vert = a$，$\therefore e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$。故选D。

4. (2024广东一模,6)已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，P为椭圆C上一点，且$|PF_{1}| = 4|PF_{2}|$，则椭圆C的离心率的取值范围是 （ ）
A. $[\frac{1}{5},\frac{2}{5}]$
B. $[\frac{2}{5},\frac{3}{5}]$
C. $[\frac{2}{5},1)$
D. $[\frac{3}{5},1)$

答案： 因为$\vert PF_{1}\vert = 4\vert PF_{2}\vert$，$\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 2a$，
所以$4\vert PF_{2}\vert+\vert PF_{2}\vert = 2a$，故$\vert PF_{2}\vert=\frac{2a}{5}$，$\vert PF_{1}\vert=\frac{8a}{5}$，
因为$\vert PF_{1}\vert\in[a - c,a + c]$，所以$a - c\leqslant\frac{8a}{5}\leqslant a + c$，
$1 - e\leqslant\frac{8}{5}\leqslant1 + e$，解得$e\geqslant\frac{3}{5}$，又因为椭圆离心率$e\in(0,1)$，所以$e\in[\frac{3}{5},1)$。故选D。

5. (2024贵州六校联盟联考(三),8)已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，过点$F_{2}$的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若$|F_{2}Q|:|F_{1}P|:|F_{1}Q| = 1:3:5$，则该椭圆的离心率为 （ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案：
由$\vert F_{2}Q\vert:\vert F_{1}P\vert:\vert F_{1}Q\vert = 1:3:5$，设$\vert F_{2}Q\vert = x$，$\vert F_{1}P\vert = 3x$，$\vert F_{1}Q\vert = 5x$，
由椭圆的定义可知，$\vert F_{1}Q\vert+\vert F_{2}Q\vert=\vert F_{1}P\vert+\vert F_{2}P\vert = 6x$，
所以$\vert F_{1}P\vert=\vert F_{2}P\vert = 3x$，所以点$P$在短轴端点处，如图，
在$\triangle F_{1}PQ$中，$\vert F_{1}P\vert = 3x$，$\vert PQ\vert = 4x$，$\vert F_{1}Q\vert = 5x$，$\vert F_{1}P\vert^{2}+\vert PQ\vert^{2}=\vert F_{1}Q\vert^{2}$，
所以$PF_{1}\perp PF_{2}$，又因为$\vert PF_{1}\vert=\vert PF_{2}\vert$，则$\vert PF_{1}\vert=\sqrt{2}\vert OF_{1}\vert$，即$a=\sqrt{2}c$，所以椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。故选A。

6. (2024湖南长沙雅礼中学月考八,7)已知点O为坐标原点，椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，点P在椭圆上，设线段$PF_{1}$的中点为M，且$|OF_{2}| = |OM|$，则$\triangle PF_{1}F_{2}$的面积为 （ ）
A. $\sqrt{15}$
B. $\frac{\sqrt{15}}{2}$
C. $3\sqrt{7}$
D. $4\sqrt{15}$

答案：
由题意可得$a = 3$，$b=\sqrt{5}$，$c = 2$，如图，因为$O$，$M$分别是$F_{1}F_{2}$和$PF_{1}$的中点，所以$\vert PF_{2}\vert = 2\vert OM\vert = 2\vert OF_{2}\vert = 2c = 4$，
根据椭圆定义，可得$\vert PF_{1}\vert = 2a-\vert PF_{2}\vert = 2$，
又因为$\vert F_{1}F_{2}\vert = 2c = 4$，
所以$\cos\angle PF_{2}F_{1}=\frac{\vert PF_{2}\vert^{2}+\vert F_{1}F_{2}\vert^{2}-\vert PF_{1}\vert^{2}}{2\vert PF_{2}\vert\vert F_{1}F_{2}\vert}=\frac{7}{8}$，
所以$\sin\angle PF_{2}F_{1}=\sqrt{1-\cos^{2}\angle PF_{2}F_{1}}=\frac{\sqrt{15}}{8}$，
则$\triangle PF_{1}F_{2}$的面积为$\frac{1}{2}\vert PF_{2}\vert\vert F_{1}F_{2}\vert\cdot\sin\angle PF_{2}F_{1}=\sqrt{15}$
故选A。

7. (多选)(2024湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏南京师大附中联考,9)设椭圆$C:\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，P是C上的动点，则下列结论正确的是 （ ）
A. 椭圆C的离心率$e=\frac{3}{5}$
B. $|PF_{1}|+|PF_{2}| = 10$
C. $\triangle PF_{1}F_{2}$面积的最大值为 12
D. $|PF_{1}|$的最小值为$\frac{16}{5}$

答案： 对于A，由椭圆方程得$a = 5$，$b = 4$，所以$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}} = 3$，所以离心率为$e=\frac{3}{5}$，故A中结论正确；
对于B，由椭圆定义可知$\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 2a = 10$，故B中结论错误；
对于C，当$P$位于椭圆的上顶点或下顶点时，$\triangle PF_{1}F_{2}$面积最大，最大值为$\frac{1}{2}\times2c\times b = bc = 12$，故C中结论正确；
对于D，$a - c\leqslant\vert PF_{1}\vert\leqslant a + c$，所以$\vert PF_{1}\vert$的最小值为$2$，故D中结论错误。故选AC。

8. (多选)(2024黑龙江双鸭山二模,9)已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，上顶点为P，若过$F_{1}$且倾斜角为$30^{\circ}$的直线l交椭圆C于A，B两点，则 （ ）
A. C的离心率为$\frac{1}{2}$
B. $\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}} = 2$
C. 点$F_{2}$到直线l的距离为$\sqrt{3}$
D. $\triangle PAB$的周长为 8

答案：
由题知，$a = 2$，$b=\sqrt{3}$，$c = 1$，所以离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，A正确；
由$P$为椭圆上顶点可知，$\vert PF_{1}\vert=\vert PF_{2}\vert=\vert F_{1}F_{2}\vert = 2$，所以$\triangle PF_{1}F_{2}$为等边三角形，$\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=\vert\overrightarrow{PF_{1}}\vert\cdot\vert\overrightarrow{PF_{2}}\vert\cos60^{\circ}=2$，B正确；
因为直线$l$的倾斜角为$30^{\circ}$，且经过点$F_{1}(-1,0)$，则直线$l$的方程为$x-\sqrt{3}y + 1 = 0$，又$F_{2}(1,0)$，
所以点$F_{2}$到直线$l$的距离$d=\frac{\vert1 + 1\vert}{\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}}=1$，C错误；
由B知直线$l$为$\angle PF_{1}F_{2}$的平分线所在直线，则点$P$，$F_{2}$关于直线$l$对称，所以$\triangle PAB$的周长即为$\triangle F_{2}AB$的周长。
$\triangle F_{2}AB$的周长$=\vert BF_{1}\vert+\vert BF_{2}\vert+\vert AF_{1}\vert+\vert AF_{2}\vert = 4a = 8$，即$\triangle PAB$的周长为$8$，D正确。故选ABD。

9. (多选)(2024湖南长沙联考,10)某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆. 测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为$d_{1}$，远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为$d_{2}$，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则 （ ）
A. 轨道的焦距为$d_{2}-d_{1}$
B. 轨道的离心率为$\frac{d_{2}-d_{1}}{d_{2}+d_{1}}$
C. 轨道的短轴长为$2\sqrt{d_{1}d_{2}}$
D. 当$\frac{d_{1}}{d_{2}}$越大时，轨道越接近圆形

答案： 设长半轴长为$a$，半焦距为$c$。由题知$\begin{cases}a - c = d_{1}\\a + c = d_{2}\end{cases}$，解得$a=\frac{d_{1}+d_{2}}{2}$，$c=\frac{d_{2}-d_{1}}{2}$
对于A，因为轨道的焦距为$2c = d_{2}-d_{1}$，所以A错误，
对于B，因为离心率为$\frac{c}{a}=\frac{d_{2}-d_{1}}{d_{2}+d_{1}}$，所以B正确，
对于C，因为轨道的短轴长为$2\sqrt{a^{2}-c^{2}}=2\sqrt{(\frac{d_{1}+d_{2}}{2})^{2}-(\frac{d_{1}-d_{2}}{2})^{2}}=2\sqrt{d_{1}d_{2}}$，所以C正确，
对于D，因为$\frac{d_{2}-d_{1}}{d_{2}+d_{1}}=\frac{1-\frac{d_{1}}{d_{2}}}{1+\frac{d_{1}}{d_{2}}}=-1+\frac{2}{1+\frac{d_{1}}{d_{2}}}$，则$\frac{d_{1}}{d_{2}}$越大时，离心率越小（提示：离心率越小，$c$越小，则$a$，$b$相差越小），则轨道越圆，所以D错误。故选BC。