《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

3. (新定义理解)(2024山东泰安一模,19)已知各项均不为0的递增数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,且$a_{1}=2,a_{2}=4,a_{n}a_{n + 1}=2S_{n}(S_{n + 1}+S_{n - 1}-2S_{n})(n\in N^{*},且n\geqslant2)$.
(1)求数列$\{\frac{1}{S_{n}}\}$的前$n$项和$T_{n}$.
(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“$G -$数列”.证明:
①对任意$k\leqslant5$且$k\in N^{*}$,存在“$G -$数列”$\{ b_{n}\}$,使得$b_{k}\leqslant a_{k}\leqslant b_{k + 1}$成立;
②当$k\geqslant6$且$k\in N^{*}$时,不存在“$G -$数列”$\{ c_{n}\}$,使得$c_{m}\leqslant a_{m}\leqslant c_{m + 1}$对任意正整数$m\leqslant k$成立.

答案：

4. (新定义理解)(2024河南洛平许济质量检测,19)
定义1 进位制:进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十二进一,就是十二进制;满六十进一,就是六十进制;等等.也就是说,“满几进一”就是几进制,几进制的基数就是几,一般地,若$k$是一个大于1的整数,那么以$k$为基数的$k$进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式$a_{n}a_{n - 1}\cdots a_{1}a_{0(k)}(a_{n},a_{n - 1},\cdots,a_{1},a_{0}\in N,0 ＜ a_{n}＜k,0\leqslant a_{n - 1},\cdots,a_{1},a_{0}＜k)$.$k$进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式.如$7342_{(8)} = 7\times8^{3}+3\times8^{2}+4\times8^{1}+2\times8^{0}$.
定义2 三角形数:形如$1 + 2+3+\cdots+m$,即$\frac{1}{2}m\cdot(m + 1)(m\in N^{*})$的数叫做三角形数.
(1)若\underbrace{aa\cdots a}_{n个a}_{(9)}是三角形数,试写出一个满足条件的$a$的值;
(2)若$11111_{(k)}$是完全平方数,求$k$的值;
,设数列$\{ c_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,证明:当$n＞3$时,$S_{n}＞\frac{9n^{2}-7n}{2}$.

答案：