《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1. (2024浙江金丽衢十二校第二次联考,2)若复数$z$满足$z + 2\overline{z}=3 - 2\text{i}$,则$|z|$为 ( )
A.2
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.5

答案： C：设$z = a + bi,a,b\in\mathbf{R}$，则$\overline{z}=a - bi$，所以$z + 2\overline{z}=3a - bi = 3 - 2i$，则$a = 1,b = 2$，所以$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{5}$。故选C。

2. (2024河北唐山一模,1)已知$\text{i}$为虚数单位,复数$z=\frac{2}{1 + \text{i}}$,则$z\cdot\overline{z}=$ ( )
A.$1 + \text{i}$
B.$1 - \text{i}$
C.$\sqrt{2}$
D.2

答案： D：$z=\frac{2(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = 1 - i$，所以$\overline{z}=1 + i$，$z\cdot\overline{z}=(1 + i)(1 - i)=1 - i^{2}=2$。故选D。

3. (2024湖南衡阳名校联合体联考一,2)已知复数$z=(a + b\text{i})\text{i}(a,b\in\mathbf{R},\text{i}$为虚数单位)的共轭复数为$\overline{z}$,则$\overline{z}$为纯虚数的充分必要条件为 ( )
A.$a^{2}+b^{2}\neq0$
B.$ab = 0$
C.$a = 0,b\neq0$
D.$a\neq0,b = 0$

答案： D：$z=(a + bi)i=-b + ai(a,b\in\mathbf{R})$。由$\overline{z}=-b - ai$为纯虚数，得$-b = 0$且$-a\neq0$，即$a\neq0$且$b = 0$。故选D。

4. (2024湖南师大附中模拟(二),2)已知$z$是虚数,$z^{2}+2z$是实数,则$z$的 ( )
A.实部为1
B.实部为 - 1
C.虚部为1
D.虚部为 - 1

答案： B：设虚数$z = a + bi(a,b\in\mathbf{R},b\neq0)$，则$z^{2}+2z=(a + bi)^{2}+2(a + bi)=a^{2}-b^{2}+2a + 2b(a + 1)i$，由$z^{2}+2z$是实数，得$2b(a + 1)=0$，得$a=-1$，故选B。

5. (2024湖南岳阳质检(三),2)若虚数单位$\text{i}$是关于$x$的方程$ax^{3}+bx^{2}+2x + 1 = 0(a,b\in\mathbf{R})$的一个根,则$|a + b\text{i}|=$ ( )
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$\sqrt{5}$
D.5

答案： C：依题意，知$ai^{3}+bi^{2}+2i + 1 = 0$，即$(2 - a)i+(1 - b)=0$，又$a,b\in\mathbf{R}$，则$a = 2,b = 1$，所以$|a + bi|=|2 + i|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$。故选C。

6. (2024黑龙江齐齐哈尔一模,2)已知$a\in\mathbf{R}$,若$z=\frac{a+\text{i}}{2\text{i}-1}$为纯虚数,则$a=$ ( )
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.1
D.$\frac{1}{2}$

答案： B：由$z=\frac{(a + i)(-2i - 1)}{(2i - 1)(-2i - 1)}=\frac{2 - a-(2a + 1)i}{5}$为纯虚数得$\begin{cases}\frac{2 - a}{5}=0\\\frac{-(2a + 1)}{5}\neq0\end{cases}$，解得$a = 2$，故选B。

7. (2024河北部分学校联考,2)已知复数$z_{1}=\frac{2}{1 + \text{i}}$,$z_{2}=2\text{i}$,则$|z_{1}-z_{2}|=$ ( )
A.10
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{2}$
D.1

答案： B：$z_{1}-z_{2}=\frac{2}{1 + i}-2i=\frac{2(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}-2i=1 - 3i$，所以$|z_{1}-z_{2}|=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}$。故选B。

8. (2024辽宁辽阳一模,2)复数$z=(2 - \text{i})(|4 - 3\text{i}|+\text{i})$的共轭复数为 ( )
A.$11 + 3\text{i}$
B.$51 + 23\text{i}$
C.$9 + 3\text{i}$
D.$49 + 23\text{i}$

答案： A：$z=(2 - i)(|4 - 3i|+i)=(2 - i)(5 + i)=11 - 3i$，则$\overline{z}=11 + 3i$，故选A。

9. (2024浙江Z20名校联盟第二次联考,2)已知$1 + 2\text{i}$是关于$x$的实系数一元二次方程$x^{2}-2x + m = 0$的一个根,则$m=$ ( )
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： D：将$1 + 2i$代入方程得$(1 + 2i)^{2}-2(1 + 2i)+m = 0$，整理得$m - 5 = 0$，则$m = 5$。故选D。

10. (2024山东潍坊一模,12)已知$\text{i}$是虚数单位,若复数$z$满足$(2 + \text{i})z=\text{i}$,则$\frac{z}{2 - \text{i}}=$_______.

答案： 答案：$\frac{i}{5}$
解析：$(2 + i)z = i\Rightarrow z=\frac{i}{2 + i}$，故$\frac{z}{2 - i}=\frac{i}{(2 + i)(2 - i)}=\frac{i}{4 - i^{2}}=\frac{i}{5}$。

1. (2024江西重点中学协作体联考,2)在复平面内,复数$z$对应的点在第三象限,则复数$z\cdot(1 + \text{i})^{2024}$对应的点在 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： C：因为$(1 + i)^{2024}=[(1 + i)^{2}]^{1012}=(2i)^{1012}=2^{1012}(i^{2})^{506}=2^{1012}$，且复数$z$对应的点在第三象限，则$z\cdot(1 + i)^{2024}=2^{1012}\cdot z$对应的点也在第三象限。故选C。

2. (2024湖南九校联盟第二次联考,3)关于复数$z$与其共轭复数$\overline{z}$,下列结论正确的是 ( )
A.在复平面内,表示复数$z$和$\overline{z}$的点关于虚轴对称
B.$z\cdot\overline{z}＞0$
C.$z+\overline{z}$必为实数,$z-\overline{z}$必为纯虚数
D.若复数$z$为实系数一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的一根,则$\overline{z}$也必是该方程的根

答案： D：对于A，表示复数$z$和$\overline{z}$的点关于实轴对称，A错误；对于B和C，当$z = 0$时均不成立，故BC错误；对于D，若方程$ax^{2}+bx + c = 0$的$\Delta\geq0$可得$z$为实数，则$z=\overline{z}$，符合题意；若$\Delta\lt0$，则方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个复数根为$\frac{-b\pm\sqrt{4ac - b^{2}}i}{2a}$，此时两根互为共轭复数，因此D正确。故选D。

3. (多选)(2024江苏徐州新高考适应性测试,9)已知复数$z$在复平面内对应的点为$(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$,则 ( )
A.$|z| = 1$
B.$z+\overline{z}=1$
C.$z^{2}+z + 1 = 0$
D.$z^{2024}=\overline{z}$

答案： ACD：由题可知$z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$|z|=\sqrt{(-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} = 1$，故A正确；$\overline{z}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$z+\overline{z}=-1$，故B错误；$z^{2}+z + 1=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{2}-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i + 1 = 0$，C正确；$z^{3}=z^{2}\cdot z=(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)\cdot(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=1$，所以$z^{2024}=z^{2022}\cdot z^{2}=(z^{3})^{674}\cdot z^{2}=z^{2}=\overline{z}$，故D正确。故选ACD。

4. (多选)(2024湖南长沙长郡中学一模,9)已知$\text{i}$为虚数单位,复数$z=\frac{2}{\text{i}(3 + \text{i}^{3})}$,下列说法正确的是 ( )
A.$|\overline{z}|=\frac{\sqrt{10}}{5}$
B.复数$z$在复平面内对应的点位于第四象限
C.$\frac{3}{5}\text{i}-\overline{z}＜0$
D.$z+\frac{1}{5}$为纯虚数

答案： ABC：$z=\frac{2}{i(3 + i^{3})}=\frac{2}{i(3 - i)}=\frac{2}{1 + 3i}=\frac{2(1 - 3i)}{10}=\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i$，故$\overline{z}=\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i$，故$|\overline{z}|=\frac{\sqrt{10}}{5}$，故A正确。$z$在复平面内对应的点为$(\frac{1}{5},-\frac{3}{5})$，它在第四象限，故B正确。$\frac{3}{5}i-\overline{z}=\frac{3}{5}i-\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i=-\frac{1}{5}\lt0$，故C正确。$z+\frac{1}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i=\frac{2}{5}-\frac{3}{5}i$，不是纯虚数，故D错误。故选ABC。