《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

2. (2024辽宁葫芦岛一模,8)已知Q为圆$A:(x - 1)^{2}+y^{2}=1$上动点,直线$l_{1}:mx - ny + 3m + 2n = 0$和直线$l_{2}:nx + my - 6m + n = 0(m,n\in\mathbf{R},m^{2}+n^{2}\neq0)$的交点为P,则|PQ|的最大值是 ( )
A. $6+\sqrt{5}$
B. $4-\sqrt{5}$
C. $5+\sqrt{5}$
D. $1+\sqrt{5}$

答案：
A 由$l_{1}:mx - ny+3m + 2n = 0$，$l_{2}:nx + my-6m + n = 0$，
得$m\times n+(-n)\times m = 0$，故$l_{1}\perp l_{2}$，
易知$l_{1}$过定点$B(-3,2)$，$l_{2}$过定点$C(-1,6)$，则线段$BC$的中点坐标为$M(-2,4)$，
$|BC|=\sqrt{(-3 + 1)^{2}+(2 - 6)^{2}}=2\sqrt{5}$，则$\frac{|BC|}{2}=\sqrt{5}$，
故点$P$在以$BC$为直径的圆上，且该圆圆心为$M(-2,4)$，半径$r_{1}=\sqrt{5}$，
又$Q$在圆$A:(x - 1)^{2}+y^{2}=1$上，
则该圆 圆心为$A(1,0)$，半径$r_{2}=1$，
又$|AM|=\sqrt{(1 + 2)^{2}+4^{2}}=5$，则
$|PQ|_{\max}=5+r_{1}+r_{2}=5+\sqrt{5}+1=6+\sqrt{5}$. 故选 A.

3. (多选)(2024广东汕头一模,11)如图,OA是连接河岸AB与OC的一座古桥,因保护古迹与发展的需要,现规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求：
①新桥BC与河岸AB垂直;
②保护区的边界为一个圆,该圆与BC相切,且圆心M在线段OA上;
③古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.
经测量,点A、C分别位于点O正北方向60 m、正东方向170 m 处,$\tan\angle BCO=\frac{4}{3}$.根据图中所给的平面直角坐标系,下列结论中,正确的是 ( )

A. 新桥BC的长为150 m
B. 圆心M可以在点A处
C. 圆心M到点O的距离至多为35 m
D. 当OM长为20 m时,圆形保护区的面积最大

答案： AC 由题知$C(170,0)$，$A(0,60)$，直线$BC$的斜率$k_{BC}=-\frac{4}{3}$，则直线$BC$的方程为$y=-\frac{4}{3}(x - 170)$，
由$AB\perp BC$得$k_{AB}=-\frac{1}{k_{BC}}=\frac{3}{4}$，则直线$AB$的方程为$y=\frac{3}{4}x+60$，由$\begin{cases}y=-\frac{4}{3}(x - 170),\\y=\frac{3}{4}x+60,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 80,\\y = 120,\end{cases}$
则$B(80,120)$，$|BC|=\sqrt{(80 - 170)^{2}+120^{2}}=150(m)$，A 正确；
设$OM = t$，则$M(0,t)(0\leq t\leq60)$，
圆$M$的半径为$r=\frac{|3t - 680|}{5}$，由$0\leq t\leq60$，得$r = 136-\frac{3}{5}t$，
由要求③知$\begin{cases}r - t\geq80,\\r-(60 - t)\geq80,\end{cases}$则$\begin{cases}136-\frac{3}{5}t - t\geq80,\\136-\frac{3}{5}t-(60 - t)\geq80,\end{cases}$
解得$10\leq t\leq35$，则$10\leq|OM|\leq35$，B 错误，C 正确；
由$r = 136-\frac{3}{5}t(10\leq t\leq35)$可知，当$t = 10$，即$OM$长为$10\ m$时，圆$M$的半径$r$最大，圆形保护区的面积最大，D 错误.
故选 AC.

4. (2024大湾区二模,14)在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点O(0,0)和点A(0,4),与x轴正半轴相交于点B.若在第一象限内的圆弧AB上存在点P,使$\cos\angle OPA=\frac{2\sqrt{5}}{5}$,则圆C的标准方程为____________.

答案：
答案：$(x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}=20$
解析：如图，由同弧所对的圆周角相等，可得$\angle OPA=\angle OBA$，
$\therefore\cos\angle OPA=\cos\angle OBA=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\because\angle OBA\in(0,\frac{\pi}{2})$，
$\therefore\sin\angle OBA=\sqrt{1 - (\cos\angle OBA)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
在$Rt\triangle AOB$中，$\sin\angle OBA=\frac{|OA|}{|AB|}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，且$|OA| = 4$，$\therefore|AB|=4\sqrt{5}$，$\therefore|OB|=\sqrt{|AB|^{2}-|OA|^{2}}=8$，$\therefore B(8,0)$，
$\because\angle AOB=\frac{\pi}{2}$，$\therefore AB$为圆$C$的直径，$\therefore$圆$C$的半径为$2\sqrt{5}$.
又$\because$圆心$C$为$AB$的中点，$\therefore C(4,2)$，
$\therefore$圆$C$的标准方程为$(x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}=20$.

5. (2024湖北黄冈中学四模,13)已知圆$C:x^{2}+(y - 2)^{2}=1$和圆$D:x^{2}+y^{2}-6x - 10y + 30 = 0$,M、N分别是圆C、D上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是________.

答案：
答案：$\sqrt{58}-3$
解析：由题知，圆$C$的半径为$r_{1}=1$，圆心为$C(0,2)$，圆$D$的半径为$r_{2}=2$，圆心为$D(3,5)$.
作$C$关于$x$轴的对称点$C'$，则$C'(0,-2)$，连接$C'D$与$x$轴交于点$P$，则$|PM|+|PN|$的最小值为$|PC|+|PD|-(r_{1}+r_{2})$. 由$C'(0,-2)$，$D(3,5)$易得直线$C'D$的方程为$y=\frac{7}{3}x - 2$，则$P(\frac{6}{7},0)$，由两点间距离公式得$|PC|=\frac{2\sqrt{58}}{7}$，$|PD|=\frac{5\sqrt{58}}{7}$，
则$|PC|+|PD|-(r_{1}+r_{2})=\sqrt{58}-3$，
即$|PM|+|PN|$的最小值为$\sqrt{58}-3$.

6. (2024安徽师大附中二模,14)若实数x,y满足$x^{2}+y^{2}=25$,则$\sqrt{50 + 8x + 6y}+\sqrt{50 + 8x - 6y}$的最大值为________.

答案：
答案：$6\sqrt{10}$
解析：解法一：设$m=\sqrt{50 + 8x+6y}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+8x + 6y+25}=\sqrt{(x + 4)^{2}+(y + 3)^{2}}$，则$m$表示点$(x,y)$与点$(-4,-3)$间的距离，
设$n=\sqrt{50 + 8x-6y}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+8x - 6y+25}=\sqrt{(x + 4)^{2}+(y - 3)^{2}}$，则$n$表示点$(x,y)$与点$(-4,3)$间的距离，如图所示.
$|BQ| = |AQ|=\sqrt{3^{2}+(5 + 4)^{2}}=3\sqrt{10}$，又因为$|AB| = 6$，所以$\cos\angle AQB=\frac{|AQ|^{2}+|BQ|^{2}-|AB|^{2}}{2|AQ||BQ|}=\frac{4}{5}$，
因为$\angle AQB=\angle APB$，
所以$\cos\angle APB=\frac{m^{2}+n^{2}-|AB|^{2}}{2mn}=\frac{4}{5}$，整理得$mn=\frac{5(m + n)^{2}}{18}-10$，因为$mn\leq(\frac{m + n}{2})^{2}$，所以$mn=\frac{5(m + n)^{2}}{18}-10\leq(\frac{m + n}{2})^{2}$，所以$m + n\leq6\sqrt{10}$，当且仅当$m = n$时取等. 故答案为$6\sqrt{10}$.
解法二：设$\boldsymbol{a}=(m,n)$，$\boldsymbol{b}=(1,1)$，
则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=m + n\leq|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{m^{2}+n^{2}}$，当且仅当$m = n\geq0$时等号成立，
故$\sqrt{50 + 8x+6y}+\sqrt{50 + 8x-6y}\leq\sqrt{2}\cdot\sqrt{16x + 100}$，当且仅当$\sqrt{50 + 8x+6y}=\sqrt{50 + 8x-6y}$时取等，
又$x^{2}+y^{2}=25$，所以$|x|\leq5$，
所以$\sqrt{2}\cdot\sqrt{16x + 100}\leq\sqrt{2}\cdot\sqrt{16\times5+100}=6\sqrt{10}$，
当且仅当$x = 5$，$y = 0$时等号同时成立. 故答案为$6\sqrt{10}$.

1. (多想少算)(2024黑龙江双鸭山第三十一中学等校二模,6)已知点P是圆$C:(x - 2)^{2}+(y - \sqrt{3})^{2}=1$上的动点,点A(1,0),B(0,$\sqrt{3}$),则当$\angle PAB$最大时,$\sin\angle PAB$ = ( )
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. 1
C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
D. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

答案：
B 圆$C:(x - 2)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=1$的圆心为$C(2,\sqrt{3})$，半径为$1$，当点$P$位于如图所示的位置时$\angle PAB$最大，$PA$与圆$C$相切，连接$CP$，$AC$，则$PC\perp PA$，
易知$|AC|=\sqrt{(2 - 1)^{2}+(\sqrt{3}-0)^{2}}=2$，$|AB| = |BC| = 2$，
故$\angle CAP = 30^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\angle PAB = 90^{\circ}$，$\sin\angle PAB = 1$.
故选 B.

2. (新定义理解)(2024江苏苏锡常镇一调,7)莱莫恩(Lemoine)定理指出:过$\triangle ABC$的三个顶点A,B,C作它的外接圆的切线,分别和BC,CA,AB所在直线交于点P,Q,R,则P,Q,R三点在同一条直线上,这条直线被称为三角形的Lemoine线.在平面直角坐标系xOy中,若三角形的三个顶点坐标分别为A(0,1),B(2,0),C(0,-4),则该三角形的Lemoine线的方程为 ( )
A. $2x - 3y - 2 = 0$
B. $2x + 3y - 8 = 0$
C. $3x + 2y - 22 = 0$
D. $2x - 3y - 32 = 0$

答案： B 设$\triangle ABC$的外接圆方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0$，$D^{2}+E^{2}-4F\gt0$，则有$\begin{cases}1 + E+F = 0,\\4 + 2D+F = 0,\\16-4E+F = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D = 0,\\E = 3,\\F=-4,\end{cases}$
$\therefore$外接圆方程为$x^{2}+y^{2}+3y - 4 = 0$，即$x^{2}+(y+\frac{3}{2})^{2}=\frac{25}{4}$，
易知在$A$处的切线方程为$y = 1$，在$C$处的切线方程为$y=-4$.
直线$BC:\frac{x}{2}-\frac{y}{4}=1$，令$y = 1$，得$x=\frac{5}{2}$，$\therefore P(\frac{5}{2},1)$，
直线$AB:\frac{x}{2}+y = 1$，令$y=-4$，得$x = 10$，$\therefore R(10,-4)$，
则该三角形的 Lemoine 线的方程为$\frac{y + 4}{1 + 4}=\frac{x - 10}{\frac{5}{2}-10}$，即$2x + 3y-8 = 0$，故选 B.

3. (概念深度理解)(2024浙江丽水、湖州、衢州教学质量检测,13)已知圆$C:mx^{2}+(2m - 1)y^{2}-2ax - a - 2 = 0$,若对于任意的$a\in\mathbf{R}$,存在一条直线被圆C所截得的弦长为定值n,则$m + n$ = ________.

答案： 答案：$\sqrt{7}+1$
解析：由题意得$m = 2m - 1(x^{2},y^{2}$的系数相等$)$，$m = 1$. 则圆$C$为$(x - a)^{2}+y^{2}=(a+\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}$. 存在一条直线$x=-\frac{1}{2}$被此圆截得弦长为定值$2\times\frac{\sqrt{7}}{2}=\sqrt{7}$，那么$n=\sqrt{7}$，故$m + n=1+\sqrt{7}$.