《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

(2024全国甲理,18,12分,易)记$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和,已知$4S_{n}=3a_{n}+4$.
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2)设$b_{n}=(-1)^{n - 1}na_{n}$,求数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案：

1.(多选)(2021新高考II,12,5分,难)设正整数$n=a_{0}\cdot 2^{0}+a_{1}\cdot 2^{1}+\cdots +a_{k - 1}\cdot 2^{k - 1}+a_{k}\cdot 2^{k}$,其中$a_{i}\in\{0,1\}$,记$\omega(n)=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}$,则　(　　　)
A.$\omega(2n)=\omega(n)$
B.$\omega(2n + 3)=\omega(n)+1$
C.$\omega(8n + 5)=\omega(4n + 3)$
D.$\omega(2^{n}-1)=n$

答案：

2.(2021新高考I,16,5分,难)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为$20\ \text{dm}\times12\ \text{dm}$的长方形纸,对折1次共可以得到$10\ \text{dm}\times12\ \text{dm},20\ \text{dm}\times6\ \text{dm}$两种规格的图形,它们的面积之和$S_{1}=240\ \text{dm}^{2}$,对折2次共可以得到$5\ \text{dm}\times12\ \text{dm},10\ \text{dm}\times6\ \text{dm},20\ \text{dm}\times3\ \text{dm}$三种规格的图形,它们的面积之和$S_{2}=180\ \text{dm}^{2}$,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______;如果对折$n$次,那么$\sum_{k = 1}^{n}S_{k}=$______$\text{dm}^{2}$.

答案：

3.(2021新高考I,17,10分,易)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1,a_{n + 1}=\begin{cases}a_{n}+1,n为奇数,\\a_{n}+2,n为偶数.\end{cases}$
(1)记$b_{n}=a_{2n}$,写出$b_{1},b_{2}$,并求数列$\{ b_{n}\}$的通项公式;
(2)求$\{ a_{n}\}$的前20项和.

答案：

4.(2020新高考I,18,12分,中)已知公比大于1的等比数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{2}+a_{4}=20,a_{3}=8$.
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2)记$b_{m}$为$\{ a_{n}\}$在区间$(0,m](m\in\mathbf{N}^{*})$中的项的个数,求数列$\{ b_{m}\}$的前100项和$S_{100}$.

答案：