《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

6.(2023新课标I,21,12分,难)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xᵢ服从两点分布,且P(Xᵢ = 1)=1 - P(Xᵢ = 0)=qᵢ,i = 1,2,⋯,n,则E($\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$)=$\sum_{i = 1}^{n}q_{i}$.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).

答案： 6解析记A=“第i次投篮的人是甲”,B=“第i次投篮的人是乙”
(1)因为P(B2)=P(AB2)+P(B1B2)=P(A)P(B21A)+P(B)P(B1B!)=0.5×(1−0.6)+0.5×0.8=0.6,
所以第2次投篮的人是乙的概率为0.6.
(2)设P(A)=Pi,则P(B)=1−Pi,所以P(A)=P(AAi+1)+P(B:A)=P(Ai)P(AIA)+P(B)P(A1Bi),
即p=0.6p+(1−0.8)×(1−p;)=0.4p+0.2.
设P计1+λ=$\frac{2}{5}$(p+A),解得λ=$\frac{1}{3}$,则pI1$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{5}$(n$\frac{1}{3}$,因为p=$\frac{1}{2}$,P1$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$,所以{Pi$\frac{1}{3}$是首项为$\frac{1}{6}$,公比为$\frac{2}{5}$
的等比数列,所以p$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$×($\frac{2}{5}$)←−,即p=$\frac{1}{6}$×($\frac{2}{5}$.所以第i次投篮的人是甲的概率为$\frac{1}{6}$×$\frac{2}{5}$−1+31
(3)因为p=$\frac{1}{6}$×$\frac{2}{5}$−1+1,i=1,2,.….,n,
　　　　　　　　　　　　　　　　−(($\frac{2}{5}$
所以当n∈N时,E(Y)=P1+p2+.….+ρn=$\frac{1}{6}$x　　　　+$\frac{n}{3}$=
　　　　　　　　　　　　　　　　　1$\frac{2}{5}$
$\frac{5}{18}${−($\frac{2}{5}$A{+$\frac{n}{3}$,
故E(Y)=$\frac{5}{18}$[1−{$\frac{2}{5}$n]

7.(2021新高考II,21,12分,难)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X = i)=pᵢ(i = 0,1,2,3).
(1)已知p₀ = 0.4,p₁ = 0.3,p₂ = 0.2,p₃ = 0.1,求E(X);
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p₀ + p₁x + p₂x² + p₃x³ = x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p = 1,当E(X)＞1时,p＜1;
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

答案： 7解析
(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.
(2)证法−:由题意得po+p+P2+p3=1,E(X)=p+2p2+3p3,因为po+P1x+p2x²+p3x²=x,
所以po+p2x²+p3x²−(1−p)x=0,
即po+P2x²+p3x²−(po+ρ2+p3)x=0,
即(x−1)[p3x²+(p2+P3)x−Po]=0,
令f(x)=p3x²+(p2+ρ3)x−ρo,
则∮(x)图象的对称轴为直线x=$\frac{P2+P3}{2p}$＜0,
且A
(0)=−p0＜0,
∮
(1)=2p3+P2−Po=P+2p2+3p3−1=E(X)−1.
当E(X)≤1时,f
(1)≤0,f(x)的正实根x0≥1,则原方程的最小正实根p=1;
当E(X)＞1时,f
(1)＞0,∮(x)的正实根x。＜1,则原方程的最小正实根p=x0＜1.
证法二:设∮(x)=p3x²+p2x²+(p1−1)x+po,
由题易知p3+P2+P+P=1,
故f(x)=p3x²+p2x²−(p2+Po+p3)x+Po,
f'(x)=3p3x²+2p2x−(ρ2+Po+p3),
E(X)=0.Po0+1.P+2.p2+3.P3=PI+2p2+3ρ3,
若E(X)≤1,则p1+2p2+3p3≤1,故p2+2ρ3≤Po,
因为f'
(0)=−(p2+p+p3)＜0,
f'
(1)=p2+2p3−Po≤0,
所以f'(x)有两个不同零点x1,x2,且x＜0＜1≤x2,
当x∈(−∞,x)U(x2,+∞)时,f'(x)＞0,
当x∈(x,x2)时,f'(x)＜0,
故f(x)在(−,x),(x2,+∞)上为增函数,
在(x1,x2)上为减函数,
若x2=1,因为∮(x)在(x2,+∞)上为增函数,在(x,x2)上为减函数,且f
(1)=0,
所以在(0,+∞)上,∮(x)≥f(x2)=f
(1)=0,
故1为关于x的方程:po+Px+p2x²+p3x²=x的一个最小正实根,即p=1,故当E(x)≤1时,p=1.
若x2＞1,因为∮
(1)=0且∮(x)在(0,x2)上为减函数,
故1为关于x的方程:Po+px+p2x²+p3x²=x的一个最小正实根.
综上,若E(X)≤1,则p=1.
若E(X)＞1,则p+2p2+3p3＞1,则p2+2p3＞Po,
此时f'
(0)=−(P2+Po+p3)＜0,f'
(1)=P2+2p3−Po＞0,
故f'(x)有两个不同零点x3,x4且x3＜0＜x4＜1,
故∮(x)在(−∞,x3),(x4,+∞)上为增函数,在(x3,x4)上为减函数,
而∮
(1)=0,故∮(x4)＜0,
又∮
(0)=P＞0,所以∮(x)在(0,x4)上存在一个零点x,且x0＜1,所以x0为关于x的方程:Po+pix+p2x²+p3x²=x的一个最小正根,即p＜1,故当E(X)＞1时,p＜1..
(3)意义:若一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代后会临近灭绝，若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后还有继续繁殖的可能.