《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.(2024东北三省三校第二次联考,3)按分层抽样的方法,从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球排成一排,则不同的排列方法为（ ）
A.$C_{25}^{10}A_{10}^{10}$
B.$C_{15}^{6}C_{10}^{4}A_{10}^{10}$
C.$C_{10}^{4}$
D.$A_{6}^{6}A_{4}^{4}$

答案： 根据分层随机抽样的特征知应抽取6个红球,4个黑球.6个红球相同,4个黑球相同，所以抽出10个球排成一排相当于从10个位置中选4个放黑球，其余位置放红球，则不同的排列方法为C故选C.

2.(2024河北邯郸第三次调研,4)在$(x^{3}-\frac{2}{x})^{6}$的展开式中,$\frac{1}{x^{2}}$的系数为（ ）
A.-192
B.-6
C.6
D.192

答案： $(x^{3}-\frac{2}{x})^{6}$的展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{6}^{k}(x^{3})^{6 - k}(-\frac{2}{x})^{k} = (-2)^{k}C_{6}^{k}x^{18 - 4k}$，令$18 - 4k = -2$，得$k = 5$，所以$\frac{1}{x^{2}}$的系数为$-32×6 = -192$.故选A.

3.(2024江西4月教学质量检测,3)已知$(x+\frac{2}{x})^{n}$的展开式中只有第3项的二项式系数最大,则展开式的常数项为（ ）
A.24
B.18
C.12
D.6

答案： 由题知只有$C_{n}^{2}$最大，所以$n = 4$，所以$(x + \frac{2}{x})^{4}$的展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{4}^{k}x^{4 - k}(\frac{2}{x})^{k} = 2^{k}C_{4}^{k}x^{4 - 2k}$，令$4 - 2k = 0$，得$k = 2$，则常数项为$T_{2 + 1} = 2^{2}C_{4}^{2} = 24$.故选A.

4.(2024浙江杭州二模,6)将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动,每个社区至少1名,则不同的分配方法数是（ ）
A.300
B.240
C.150
D.50

答案： 分“1 + 1 + 3”和“1 + 2 + 2”两类，不同的分配方法数是$C_{5}^{3}A_{3}^{3} + \frac{C_{5}^{2}C_{3}^{2}}{A_{2}^{2}}A_{3}^{3} = 60 + 90 = 150$.故选C.

5.(2024福建厦门毕业班第四次质检,6)某校5名同学到A、B、C三家公司实习,每名同学只能去1家公司,每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司,则不同的安排方法共有（ ）
A.18种
B.30种
C.42种
D.60种

答案： A公司只有甲去，不同的安排方法有$C_{4}^{2}C_{2}^{2}A_{2}^{2}$种；A公司除了甲还有1个人去，不同的安排方法有$C_{4}^{1}C_{3}^{2}C_{1}^{1}A_{2}^{2}$种，故不同的安排方法有$C_{4}^{2}C_{2}^{2}A_{2}^{2} + C_{4}^{1}C_{3}^{2}C_{1}^{1}A_{2}^{2} = 30$种.故选B.

6.(2024重庆二诊,6)有男、女教师各1人,男、女学生各2人,从中选派3人参加一项活动,要求其中至少有1名女性,并且至少有1名教师,则不同的选派方案有（ ）
A.10种
B.12种
C.15种
D.20种

答案： 有一名女性时，不同的选派方案有$(C_{1}^{1}C_{2}^{2} + C_{1}^{1}C_{2}^{1}C_{2}^{1} + C_{2}^{1}C_{2}^{1})$种；有2名女性时，不同的选派方案有$(C_{1}^{1}C_{2}^{1}C_{2}^{1} + C_{1}^{1}C_{2}^{2} + C_{2}^{2}C_{2}^{1})$种；有3名女性时，不同的选派方案有$C_{2}^{2}C_{2}^{1}$种，故不同的选派方案有$C_{1}^{1}C_{2}^{2} + C_{1}^{1}C_{2}^{1}C_{2}^{1} + C_{2}^{1}C_{2}^{1} + C_{1}^{1}C_{2}^{1}C_{2}^{1} + C_{1}^{1}C_{2}^{2} + C_{2}^{2}C_{2}^{1} + C_{2}^{2}C_{2}^{1} = 15$种.故选C.

7.(2024安徽江淮十校联考,3)学校食堂的一个窗口共卖5种菜,甲、乙2名同学每人从中选一种或两种,且两人之间不会互相影响,则不同的选法种数为（ ）
A.20
B.25
C.225
D.450

答案： 甲选一种菜时共有5种选法，甲选两种菜时共有$C_{5}^{2} = 10$种选法，根据分类加法计数原理，甲共有15种选法，同理乙也有15种选法，根据分步乘法计数原理，知不同的选法种数为$15×15 = 225$.故选C.

8.(2024山东淄博一模,5)小明设置六位数字的手机密码时,计划将自然对数的底数e = 2.718 28…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻,且相同数字之间有一个数字,则小明可以设置的不同密码种数为（ ）
A.24
B.16
C.12
D.10

答案： 若两个2之间是8，则有282817；282871；728281；128287；172828；712828；828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12种，若两个2之间是1或7，则有272818；818272；212878；878212，共4种，则小明可以设置的密码种数为16，故选B.

9.(2024山东菏泽一模,4)$p:m = 2$，$q:(mx + y)^{5}$的展开式中$x^{2}y^{3}$项的系数等于40，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： $(mx + y)^{5}$的展开式中含$x^{2}y^{3}$的项为$C_{5}^{3}(mx)^{2}y^{3} = C_{5}^{3}m^{2}x^{2}y^{3}$，故$C_{5}^{3}m^{2} = 40$，解得$m = ±2$，故p是q的充分不必要条件.故选A.

10.(2024江苏苏锡常镇调研(一),2)设$(1 + 2x)^{5}=a_{0}+a_{1}x + a_{2}x^{2}+\cdots+a_{5}x^{5}$，则$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{5}=$（ ）
A.-2
B.-1
C.242
D.243

答案： 令$x = 0$，则$a_{0} = 1$；令$x = 1$，则$3^{5} = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$，$∴a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 3^{5} - 1 = 242$.故选C.

11.(2024福建龙岩3月质量检测,5)$(\frac{2x}{y}-1)(x + y)^{7}$的展开式中$x^{5}y^{2}$的系数为（ ）
A.-91
B.-21
C.14
D.49

答案： 因为$(\frac{2x}{y} - 1)(x + y)^{7} = \frac{2x}{y}(x + y)^{7} - (x + y)^{7}$，又因为$(x + y)^{7}$的展开式的通项为$T_{r + 1} = C_{7}^{r}x^{7 - r}y^{r}$，所以$T_{3} = C_{7}^{2}x^{5}y^{2} = 35x^{5}y^{2}$，$T_{2} = C_{7}^{1}x^{6}y^{1} = 21x^{6}y^{1}$，则展开式中$x^{5}y^{2}$的系数为$2×35 - 1×21 = 49$，故选D.

12.(2024辽宁沈阳教学质量监测(三),6)已知$(2x^{2}-\frac{a}{x})^{7}$的展开式中$x^{2}$的系数是280，则实数a的值为（ ）
A.1
B.2
C.±1
D.±2

答案： $(2x^{2} - \frac{a}{x})^{7}$的展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{7}^{k}(2x^{2})^{7 - k}(-\frac{a}{x})^{k} = (-a)^{k}C_{7}^{k}2^{7 - k}x^{14 - 3k}$，令$14 - 3k = 2$，得$k = 4$，则$(-a)^{4}C_{7}^{4}2^{7 - 4} = 280$，解得$a = ±1$.故选C.

13.(2024湖北八市3月联考,5)已知今天是星期三，则$6^{7}-1$天后是（ ）
A.星期一
B.星期二
C.星期三
D.星期五

答案： $6^{7} - 1 = (7 - 1)^{7} - 1 = C_{7}^{0}7^{7} + C_{7}^{1}7^{6}×(-1)^{1} + C_{7}^{2}7^{5}×(-1)^{2} + \cdots + C_{7}^{6}7^{1}×(-1)^{6} + C_{7}^{7}7^{0}×(-1)^{7} - 1 = C_{7}^{0}7^{7} + C_{7}^{1}7^{6}×(-1)^{1} + C_{7}^{2}7^{5}×(-1)^{2} + \cdots + C_{7}^{6}7^{1}×(-1)^{6} - 2$.即$6^{7} - 1$除以7的余数为5，星期三后的第5天是星期一，所以$6^{7} - 1$天后是星期一.故选A.

14.(多选)(2024浙江Z20名校联盟联考,9)已知$(x-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{n}(n\in N^{*})$的展开式中含有常数项,则n的可能取值为（ ）
A.4
B.6
C.8
D.10

答案： $(x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{n}(n\in N^{*})$的展开式的通项为$T_{k + 1} = (-1)^{k}C_{n}^{k}x^{n - k}x^{-\frac{k}{3}} = (-1)^{k}C_{n}^{k}x^{n - \frac{4}{3}k}$，其中$k = 0,1,2,3,\cdots,n$，令$n - \frac{4}{3}k = 0$，则$k = \frac{3}{4}n$，可知n为4的倍数，故B、D错误；当$k = 3$时，n为4；当$k = 6$时，n为8.故选AC.

15.(2024江西重点中学盟校联考,12)$(2x^{2}+x - y)^{5}$的展开式中$x^{5}y^{2}$的系数为_______.

答案： 答案120
解析　因为$x^{5}y^{2} = (x^{2})^{2}y^{2}·x$，所以$(2x^{2} + x - y)^{5}$的展开式中含$x^{5}y^{2}$的项为$C_{5}^{2}(2x^{2})^{2}·C_{3}^{1}x·C_{2}^{2}(-y)^{2} = 120x^{5}y^{2}$，其系数为120.

16.(2024浙江温州一模,14)$(1+\sqrt{2})^{5}+(1-\sqrt{2})^{5}=$_______.

答案： 答案82
解析　$(1 + \sqrt{2})^{5} = (\sqrt{2} + 1)^{5} = C_{5}^{0}1^{0}(\sqrt{2})^{5} + C_{5}^{1}1^{1}(\sqrt{2})^{4} + C_{5}^{2}1^{2}(\sqrt{2})^{3} + C_{5}^{3}1^{3}(\sqrt{2})^{2} + C_{5}^{4}1^{4}(\sqrt{2})^{1} + C_{5}^{5}1^{5}(\sqrt{2})^{0}$①，
$(1 - \sqrt{2})^{5} = [(-\sqrt{2}) + 1]^{5} = C_{5}^{0}1^{0}(-\sqrt{2})^{5} + C_{5}^{1}1^{1}(-\sqrt{2})^{4} + C_{5}^{2}1^{2}(-\sqrt{2})^{3} + C_{5}^{3}1^{3}(-\sqrt{2})^{2} + C_{5}^{4}1^{4}(-\sqrt{2})^{1} + C_{5}^{5}1^{5}(-\sqrt{2})^{0}$②，① + ②得，$2[C_{5}^{1}1^{1}(\sqrt{2})^{4} + C_{5}^{3}1^{3}(\sqrt{2})^{2} + C_{5}^{5}1^{5}(\sqrt{2})^{0}] = 2×(5×4 + 10×2 + 1) = 82$.