《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.(2022全国甲,文2,理2,5分,易)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
则　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

答案： 1 B
解法一：根据散点图，讲座前问卷答题正确率的10个数据中，小于或等于$70\%$的有5个，这意味着中位数必然大于$70\%$，故选项A错误.
讲座后问卷答题正确率的10个数据中，有1个为$80\%$，4个为$85\%$，其余数据大于或等于$90\%$，经估算知，平均数大于$85\%$，故选项B正确.
从散点图可以看出，与讲座后的正确率的数据相比，讲座前正确率的数据更为分散，故标准差更大，故选项C错误.
从散点图可直接看出，讲座前正确率的极差更大，故选项D错误.
解法二：根据散点图可知，讲座前问卷答题正确率的中位数为$\frac{1}{2}(70\%+75\%)\gt70\%$，故选项A错误.
由散点图中数据计算知，讲座后问卷答题正确率的平均数为$89.5\%$，故选项B正确.
从散点图可以看出，与讲座后问卷答题的正确率数据相比，讲座前问卷答题的正确率数据更为分散，故标准差更大，选项C错误.
由散点图中数据计算可知，讲座前的正确率极差为$95\% - 60\% = 35\%$，讲座后问卷答题正确率的极差为$100\% - 80\% = 20\%$，故选项D错误.

2.(2021全国甲,文2,理2,5分,易)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

答案： 2 C：该地农户家庭年收入低于$4.5$万元的农户比率估计值为$(0.02 + 0.04)\times100\% = 6\%$，故A正确；
该地农户家庭年收入不低于$10.5$万元的农户比率估计值为$(0.04+0.02\times3)\times100\% = 10\%$，故B正确；
该地农户家庭年收入介于$4.5$万元至$8.5$万元之间的比率估计值为$(0.10 + 0.14+0.20\times2)\times100\% = 64\%\gt50\%$，故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为$3\times0.02+4\times0.04+5\times0.10+6\times0.14+7\times0.20+8\times0.20+9\times0.10+10\times0.10+11\times0.04+12\times0.02+13\times0.02+14\times0.02 = 7.68$（万元），超过$6.5$万元，故C错误.
综上，结论中不正确的是C.
小题速解：观察题中直方图可知，有$70\%$的数据集中在$6.5$万元以后，所以平均数应超过$6.5$万元，故C错误.

3.(多选)(2021新高考I,9,5分,易)有一组样本数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$，由这组数据得到新样本数据$y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}$，其中$y_{i}=x_{i}+c(i = 1,2,\cdots,n)$，$c$为非零常数,则　　　　　　　　　　(　　　)
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同

答案： 3 CD
A项，设$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，则$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}y_{i}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}+c)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}+c$，所以$\overline{y}=\overline{x}+c$，因为$c\neq0$，所以$\overline{x}\neq\overline{y}$，所以A选项错误.
B项，因为$y_{i}=x_{i}+c(i = 1,2,\cdots,n)$，所以$y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}$的中位数是$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的中位数加$c$，所以B选项错误.
C项，设$s_{1}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}$，$s_{2}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}$，
所以$s_{2}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}+c-\overline{x}-c)^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}$，
所以$s_{1}^{2}=s_{2}^{2}$，
所以两组数据的方差相同，从而这两组数据的标准差相同，所以C选项正确.
D项，设$x_{1}\lt x_{2}\lt\cdots\lt x_{n}$，则第一组数据的极差为$x_{n}-x_{1}$，设$y_{1}\lt y_{2}\lt\cdots\lt y_{n}$，则第二组数据的极差为$y_{n}-y_{1}=(x_{n}+c)-(x_{1}+c)=x_{n}-x_{1}$，所以两组数据的极差相同，所以D选项正确，故选CD.

4.(多选)(2021新高考II,9,5分,易)下列统计量中可用于度量样本$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$离散程度的有(　　　)
A.$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的标准差
B.$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的中位数
C.$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的极差
D.$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的平均数

答案： 4 AC：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势. 故选AC.

5.(多选)(2023新课标I,9,5分,中)有一组样本数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$，其中$x_{1}$是最小值,$x_{6}$是最大值,则　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数等于$x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$的平均数
B.$x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的中位数等于$x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$的中位数
C.$x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的标准差不小于$x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$的标准差
D.$x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的极差不大于$x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$的极差

答案： 5 BD：对于A，如$1,2,2,2,2,4$的平均数不等于$2,2,2,2$的平均数，故A错误；
对于B，不妨设$x_{2}\leq x_{3}\leq x_{4}\leq x_{5}$，则$x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的中位数为$\frac{x_{3}+x_{4}}{2}$，$x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$的中位数为$\frac{x_{3}+x_{4}}{2}$，故B正确；
对于C，$x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$的数据波动性更大，故C错误；
对于D，不妨设$x_{2}\leq x_{3}\leq x_{4}\leq x_{5}$，则$x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq x_{4}\leq x_{5}\leq x_{6}$，所以$x_{5}-x_{2}\leq x_{6}-x_{1}$，故D正确.
故选BD.