《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

17.(2024福建漳州第二次质量检测,14)在$(\sqrt{x}-\frac{2}{x})^{n}$的展开式中,第三项为常数项,展开式中二项式系数和为a，所有项的系数和为b，则$a - b=$_______.

答案： 答案63
解析　$(\sqrt{x} - \frac{2}{x})^{n}$的展开式中，第三项为$C_{n}^{2}(\sqrt{x})^{n - 2}(-\frac{2}{x})^{2} = 4C_{n}^{2}x^{\frac{n - 6}{2}}$，则有$n = 6$，所以$(\sqrt{x} - \frac{2}{x})^{6}$的展开式中二项式系数和$a = 2^{6} = 64$，令$x = 1$，得所有项的系数和$b = (-1)^{6} = 1$，则$a - b = 64 - 1 = 63$.

1.(2024浙江金华十校模拟,7)金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教,把这6个老师分配到3个学校,要求每个学校安排2名教师,且管理型教师不安排在同一个学校,则不同的分配方案有（ ）
A.72种
B.48种
C.36种
D.24种

答案： 解法一(间接法)：不考虑管理型教师的要求，共有$\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}A_{3}^{3} = 90$种安排，其中管理型教师在同一个学校的安排有$C_{3}^{1}\frac{C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}A_{2}^{2} = 18$种，故不同的分配方案有$90 - 18 = 72$种，故选A.
解法二(直接法)：先安排2名管理型教师有$A_{3}^{2} = 6$种安排，然后安排4名教学型教师有$C_{4}^{2}A_{2}^{2} = 12$种安排，故不同的分配方案有$6×12 = 72$种，故选A.

2.(2024广东深圳二模,6)已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名,丙不是前三名,则这六名同学获得的名次情况可能有（ ）
A.72种
B.96种
C.144种
D.288种

答案： 由题意，丙可能是4，5，6名，有3种情况，
若甲是第一名，则获得的名次情况可能有$C_{3}^{1}A_{4}^{4} = 72$种，
若乙是第一名，则获得的名次情况可能有$C_{3}^{1}A_{4}^{4} = 72$种，
所以所有符合条件的名次情况可能有$72 + 72 = 144$种.故选C.

3.(2024山东临沂一模,6)将1到30这30个正整数分成甲、乙两组,每组各15个数,使得甲组的中位数比乙组的中位数小2,则不同的分组方法数是（ ）
A.$2(C_{13}^{7})^{2}$
B.$2C_{13}^{7}C_{14}^{7}$
C.$2C_{14}^{6}C_{14}^{7}$
D.$2(C_{14}^{7})^{2}$

答案： 甲组、乙组均为15个数，其中位数为从小到大排列的第8个数，即小于中位数的有7个数，大于中位数的也有7个数，
依题意可得甲组的中位数为14或15，
若甲组的中位数为14，则乙组的中位数为16，此时从1~13中选7个数放到甲组，剩下的6个数放到乙组，再从17~30中选7个数放到甲组，其余数均在乙组(含15)，此时有$C_{13}^{7}C_{14}^{7}$种分组方法；
若甲组的中位数为15，则乙组的中位数为17，此时从1~14中选7个数放到甲组，剩下的7个数放到乙组，再从18~30中选7个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有$C_{14}^{7}C_{13}^{7}$种分组方法.
若甲组的中位数为16，则乙组的中位数为18，此时甲组中大于16的数有7个、乙组中大于18的数有7个，从而得到大于16的数至少有$7 + 7 + 1 = 15$个，显然不符合题意，故舍去，同理可得，甲组的中位数不能大于15.
若甲组的中位数为13，则乙组的中位数为15，此时甲组中小于13的数有7个、乙组中小于15的数有7个，从而得到小于15的数至少有$7 + 7 + 1 = 15$个，显然不符合题意，故舍去，同理可得，甲组的中位数不能小于14.
综上，可得不同的分组方法数是$2C_{13}^{7}C_{14}^{7}$种.故选B.

4.(2024福建厦门第二次质量检测,8)设集合$A = \{-1,0,1\}$，$B = \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})|x_{i}\in A,i = 1,2,3,4,5\}$，那么集合B中满足$1\leq|x_{1}|+|x_{2}|+|x_{3}|+|x_{4}|+|x_{5}|\leq3$的元素的个数为（ ）
A.60
B.100
C.120
D.130

答案： 由题意知集合B中满足$1\leq|x_{1}| + |x_{2}| + |x_{3}| + |x_{4}| + |x_{5}| \leq 3$的元素的个数，即指$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$中取值为$-1$或$1$的个数和为1或2或3，故满足条件的元素的个数为$C_{5}^{1}×2 + C_{5}^{2}×2^{2} + C_{5}^{3}×2^{3} = 10 + 40 + 80 = 130$，故选D.

5.(2024湖南常德一模,7)已知$(2x - 3)^{9}=a_{0}+a_{1}(x - 1)+a_{2}(x - 1)^{2}+\cdots+a_{8}(x - 1)^{8}+a_{9}(x - 1)^{9}$，则$a_{0}+2a_{1}+3a_{2}+\cdots+9a_{8}+10a_{9}=$（ ）
A.9
B.10
C.18
D.19

答案： 由$(2x - 3)^{9} = a_{0} + a_{1}(x - 1) + a_{2}(x - 1)^{2} + \cdots + a_{8}(x - 1)^{8} + a_{9}(x - 1)^{9}$得，$(x - 1)(2x - 3)^{9} = a_{0}(x - 1) + a_{1}(x - 1)^{2} + a_{2}(x - 1)^{3} + \cdots + a_{8}(x - 1)^{9} + a_{9}(x - 1)^{10}$，
对两边求导得$(2x - 3)^{9} + 18(x - 1)(2x - 3)^{8} = a_{0} + 2a_{1}(x - 1) + 3a_{2}(x - 1)^{2} + \cdots + 9a_{8}(x - 1)^{8} + 10a_{9}(x - 1)^{9}$，
令$x = 2$，得$(2×2 - 3)^{9} + 18×(2 - 1)×(2×2 - 3)^{8} = a_{0} + 2a_{1} + 3a_{2} + \cdots + 9a_{8} + 10a_{9}$，得$a_{0} + 2a_{1} + 3a_{2} + \cdots + 9a_{8} + 10a_{9} = 19$，故选D.

6.(2024江苏南通第二次适应性调研,3)若$(1 + x)^{2}+(1 + x)^{3}+\cdots+(1 + x)^{10}=a_{0}+a_{1}x + a_{2}x^{2}+\cdots+a_{10}x^{10}$，则$a_{2}$等于（ ）
A.49
B.55
C.120
D.165

答案： 因为$(1 + x)^{n}$的展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{n}^{k}x^{k}(0\leq k\leq n$且$k\in N)$，
又$(1 + x)^{2} + (1 + x)^{3} + \cdots + (1 + x)^{10} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \cdots + a_{10}x^{10}$，所以$a_{2} = C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + C_{6}^{2} + C_{7}^{2} + C_{8}^{2} + C_{9}^{2} + C_{10}^{2}$
$= C_{3}^{3} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + C_{6}^{2} + C_{7}^{2} + C_{8}^{2} + C_{9}^{2} + C_{10}^{2}$
$= C_{4}^{3} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + C_{6}^{2} + C_{7}^{2} + C_{8}^{2} + C_{9}^{2} + C_{10}^{2} = \cdots$
$= C_{10}^{3} + C_{10}^{2} = C_{11}^{3} = \frac{11×10×9}{3×2×1} = 165$.故选D.

7.(2024湖南九校联盟第二次联考,6)某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%，某人存入大额存款$a_{0}$元，按照复利计算10年后得到的本利和为a，下列各数中与$\frac{a}{a_{0}}$最接近的是（ ）
A.1.31
B.1.32
C.1.33
D.1.34

答案： 存入大额存款$a_{0}$元，按照复利计算，可得每年年末本利和是以$a_{0}$为首项，$(1 + 3\%)$为公比的等比数列，所以$a_{0}(1 + 3\%)^{10} = a$，可得$\frac{a}{a_{0}} = (1 + 3\%)^{10} = C_{10}^{0} + C_{10}^{1}×0.03 + C_{10}^{2}×0.03^{2} + \cdots + C_{10}^{10}0.03^{10} \approx C_{10}^{0} + C_{10}^{1}×0.03 + C_{10}^{2}×0.03^{2} = 1 + 0.3 + 0.0405 = 1.3405 \approx 1.34$.(提示：$C_{10}^{3}×0.03^{3}$及其后边几项，数值过小，可忽略不计，此方法常用来进行数的估算)故选D.

8.(2024浙江台州第二次教学质量评估,7)房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为24 cm×11 cm×5 cm，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到12 cm×11 cm×5 cm，24 cm×$\frac{11}{2}$ cm×5 cm，24 cm×11 cm×$\frac{5}{2}$ cm三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取,再对第2次所截得的长方体进行第3次截取,则共可得到体积为165 $cm^{3}$的不同规格长方体的个数为（ ）

A.8
B.10
C.12
D.16

答案： 第一类：只选长、宽、高中的某一种棱进行截取，不同规格长方体的个数为$C_{3}^{1} = 3$，
第二类：选长、宽、高中的某两种棱进行截取，不同规格长方体的个数为$2C_{3}^{2} = 6$，
第三类：选长、宽、高三种棱进行截取，不同规格长方体的个数为1.
故不同规格长方体的个数为$3 + 6 + 1 = 10$.

9.(2024安徽蚌埠第四次教学质量检查,13)2024年3月5日,李强总理在政府工作报告中强调“大力推进现代化产业体系建设,加快发展新质生产力”.新质生产力代表一种生产力的跃迁,它是科技创新在其中发挥主导作用的生产力,具有高效能、高效率、高质量的特征,为了让同学们对新质生产力有更多的了解,某中学利用周五下午课外活动时间同时开设了四场公益讲座,主题分别是“新能源与新材料的广泛应用”“AI+医疗的发展趋势”“低空经济的前景展望”“从人工智能、工业互联网到大数据”.已知甲、乙、丙、丁四人从中一共选择两场去学习,则甲、乙两人不参加同一个讲座的选择共有_______种（用数字作答）.

答案： 答案48
解析　由题意可知，先排甲、乙两人，有$4×3 = 12$种；
再排丙、丁，每人均有2个选择，则有$2×2 = 4$种，
所以符合条件的选择共有$12×4 = 48$种.

（概念深度理解）（多选）（2024山东济南一模,11）下列等式中正确的是（ ）
A.$\sum_{k = 1}^{8}C_{8}^{k}=2^{8}$
B.$\sum_{k = 2}^{8}C_{k}^{2}=C_{9}^{3}$
C.$\sum_{k = 2}^{8}\frac{k - 1}{k!}=1-\frac{1}{8!}$
D.$\sum_{k = 0}^{8}(C_{8}^{k})^{2}=C_{16}^{8}$

答案： 对于A，$(1 + x)^{8} = C_{8}^{0} + C_{8}^{1}x + C_{8}^{2}x^{2} + \cdots + C_{8}^{8}x^{8}$，
令$x = 1$，得$2^{8} = 1 + C_{8}^{1} + C_{8}^{2} + \cdots + C_{8}^{8} = 1 + \sum_{k = 1}^{8}C_{8}^{k}$，则$\sum_{k = 1}^{8}C_{8}^{k} = 2^{8} - 1$，故A错误.
对于B，因为$C_{n}^{2} + C_{n + 1}^{2} = C_{n + 2}^{3}$，所以$\sum_{k = 2}^{8}C_{k}^{2} = C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + \cdots + C_{8}^{2}$
$= C_{3}^{3} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + \cdots + C_{8}^{2} = C_{4}^{3} + C_{4}^{2} + \cdots + C_{8}^{2} = \cdots = C_{8}^{3} + C_{8}^{2} = C_{9}^{3}$，故B正确.对于C，因为$\frac{1}{(k - 1)!} - \frac{1}{k!} = \frac{k! - (k - 1)!}{k!(k - 1)!} = \frac{(k - 1)!(k - 1)}{k!(k - 1)!} = \frac{k - 1}{k!}$，所以$\sum_{k = 2}^{8}\frac{k - 1}{k!} = \sum_{k = 2}^{8}[\frac{1}{(k - 1)!} - \frac{1}{k!}] = \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{7!} - \frac{1}{8!} = 1 - \frac{1}{8!}$，故C正确.
对于D，$(1 + x)^{16} = (1 + x)^{8}(1 + x)^{8}$，对于$(1 + x)^{16}$，其含有$x^{8}$的项的系数为$C_{16}^{8}$，对于$(1 + x)^{8}(1 + x)^{8}$，要得到含有$x^{8}$的项的系数，需从第一个式子取出$k(0\leq k\leq 8,k\in N)$个$x$，再从第二个式子取出$8 - k$个$x$，它们对应的系数和为$\sum_{k = 0}^{8}C_{8}^{k}C_{8}^{8 - k} = \sum_{k = 0}^{8}(C_{8}^{k})^{2}$，所以$\sum_{k = 0}^{8}(C_{8}^{k})^{2} = C_{16}^{8}$，故D正确.故选项为BCD.