《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

3.(2021天津,8,5分,中)已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$的右焦点与抛物线$y^{2}=2px(p＞0)$的焦点重合。抛物线的准线交双曲线于$A,B$两点，交双曲线的渐近线于$C,D$两点。若$|CD|=\sqrt{2}|AB|$，则双曲线的离心率为(　　)
A.$\sqrt{2}$　
　B.$\sqrt{3}$　
　C.2　
　D.3

答案： A 第一步：求$\vert AB\vert$。
由已知可得抛物线的准线过双曲线的左焦点，$\therefore$抛物线的准线方程为$x = -c$，将其与双曲线方程联立可得两交点坐标为$\left(-c,\frac{b^{2}}{a}\right)$，$\left(-c,-\frac{b^{2}}{a}\right)$，$\therefore\vert AB\vert=\frac{2b^{2}}{a}$，
第二步：求$\vert CD\vert$，从而得到$b$，$c$的关系。
将$x = -c$与双曲线的两渐近线方程$y=\pm\frac{b}{a}x$分别联立可得两交点坐标为$\left(-c,\frac{bc}{a}\right)$，$\left(-c,-\frac{bc}{a}\right)$，$\therefore\vert CD\vert=\frac{2bc}{a}$，
$\because\vert CD\vert=\sqrt{2}\vert AB\vert$，$\therefore\frac{2bc}{a}=\sqrt{2}\cdot\frac{2b^{2}}{a}$，即$c=\sqrt{2}b$，
第三步：求离心率。
又$\because b^{2}=c^{2}-a^{2}$，$\therefore a = b$，$\therefore e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，故选A。

4.(2020课标II,文9,理8,5分,中)设$O$为坐标原点，直线$x = a$与双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$的两条渐近线分别交于$D,E$两点。若$\triangle ODE$的面积为8，则$C$的焦距的最小值为(　　)
A.4　
　B.8　
　C.16　
　D.32

答案： B 直线$x = a$与双曲线$C$的两条渐近线$y=\pm\frac{b}{a}x$分别交于$D$、$E$两点，则$\vert DE\vert=\vert y_{D}-y_{E}\vert = 2b$，所以$S_{\triangle ODE}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot2b = ab$，即$ab = 8$。
所以$c^{2}=a^{2}+b^{2}\geqslant2ab = 16$（当且仅当$a = b$时取等号），即$c_{\min}=4$，所以双曲线的焦距$2c$的最小值为$8$，故选B。

5.(2023全国乙,文12,理11,5分,中)设$A,B$为双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$上两点，下列四个点中，可以为线段$AB$中点的是(　　)
A.(1,1)　
　B.(-1,2)　
　C.(1,3)　
　D.(-1,-4)

答案： D 解法一：由双曲线方程$x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$知$a = 1$，$b = 3$，则其渐近线方程为$y=\pm3x$。
观察选项知，四个点均在双曲线外，$\therefore$点$A$，$B$分别在双曲线的两支上，所以$-3\lt k_{AB}\lt3$。
设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，
则$\begin{cases}x_{1}^{2}-\frac{y_{1}^{2}}{9}=1\\x_{2}^{2}-\frac{y_{2}^{2}}{9}=1\end{cases}$作差得$(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})-\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{9}=0$，
则$k_{AB}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{9(x_{1}+x_{2})}{y_{1}+y_{2}}$。
对于A，$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=2\\y_{1}+y_{2}=2\end{cases}$，则$k_{AB}=9$，
$\because k_{AB}=9\gt3$，$\therefore$A不满足题意。
对于B，$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-2\\y_{1}+y_{2}=4\end{cases}$，则$k_{AB}=-\frac{9}{2}$，
$\because k_{AB}=-\frac{9}{2}\lt - 3$，$\therefore$B不满足题意。
对于C，$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=2\\y_{1}+y_{2}=6\end{cases}$，则$k_{AB}=3$，$\therefore$C不满足题意。
对于D，$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-2\\y_{1}+y_{2}=-8\end{cases}$，则$k_{AB}=\frac{9}{4}$，
则直线$AB$的方程为$y + 4=\frac{9}{4}(x + 1)$，
即$y=\frac{9}{4}x-\frac{7}{4}$。
由$\begin{cases}y=\frac{9}{4}x-\frac{7}{4}\\x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1\end{cases}$消去$y$，得$63x^{2}+126x - 193 = 0$，
$\because\Delta=126^{2}-4\times63\times(-193)\gt0$，且$x_{1}x_{2}\lt0$，
$\therefore$直线$AB$与双曲线的两支分别相交，$\therefore$D满足题意。故选D。
解法二：设$AB$的中点为$P(m,n)$，则可假设以$P$为中点的两个点$A(m + x,n + y)$，$B(m - x,n - y)$在双曲线上，
则$\begin{cases}(m + x)^{2}-\frac{(n + y)^{2}}{9}=1①\\(m - x)^{2}-\frac{(n - y)^{2}}{9}=1②\end{cases}$，
$① + ②$得$x^{2}+m^{2}-\frac{y^{2}+n^{2}}{9}=1③$，
$① - ②$得$mx-\frac{ny}{9}=0$，即$9mx = ny④$。
考虑参数替换，由④设$\begin{cases}x = kn\\y = 9km\end{cases}(k\neq0)$，
代入③得$k^{2}n^{2}+m^{2}-\frac{81k^{2}m^{2}+n^{2}}{9}=1$，
化简得$(1 - 9k^{2})\left(m^{2}-\frac{n^{2}}{9}\right)=1$，
$\because k\neq0$，$\therefore1 - 9k^{2}\lt1$，
因此当$\begin{cases}m^{2}-\frac{n^{2}}{9}\gt1\\0\lt1 - 9k^{2}\lt1\end{cases}$或$\begin{cases}m^{2}-\frac{n^{2}}{9}\lt0\\1 - 9k^{2}\lt0\end{cases}$时，
存在$k$以及满足要求的点$A$，$B$。
结合选项可知，A、B、C、D四个选项对应的$m^{2}-\frac{n^{2}}{9}$的值分别为$\frac{8}{9}$，$\frac{5}{9}$，$0$，$-\frac{7}{9}$，因此正确选项为D。

6.(多选)(2020新高考I,9,5分,易)已知曲线$C:mx^{2}+ny^{2}=1$。(　　)
A.若$m＞n＞0$，则$C$是椭圆，其焦点在$y$轴上
B.若$m = n＞0$，则$C$是圆，其半径为$\sqrt{n}$
C.若$mn＜0$，则$C$是双曲线，其渐近线方程为$y=\pm\sqrt{-\frac{m}{n}}x$
D.若$m = 0$，$n＞0$，则$C$是两条直线

答案： ACD A选项中，若$m\gt n\gt0$，则方程$mx^{2}+ny^{2}=1$可变形为$\frac{x^{2}}{\frac{1}{m}}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{n}}=1$，因为$m\gt n\gt0$，所以$0\lt\frac{1}{m}\lt\frac{1}{n}$，所以此曲线表示椭圆，且焦点在$y$轴上（易错：容易认为焦点在$x$轴上），所以A正确。
B选项中，若$m = n\gt0$，则方程$mx^{2}+ny^{2}=1$可变形为$x^{2}+y^{2}=\frac{1}{n}$，所以此曲线表示圆，半径为$\frac{1}{\sqrt{n}}$，所以B不正确。
C选项中，若$mn\lt0$，则此曲线应为双曲线，$mx^{2}+ny^{2}=0$可化为$y^{2}=-\frac{mx^{2}}{n}$，即$y=\pm\sqrt{-\frac{m}{n}}x$，即双曲线的渐近线方程为$y=\pm\sqrt{-\frac{m}{n}}x$，所以C正确。
D选项中，若$m = 0$，$n\gt0$，则方程$mx^{2}+ny^{2}=1$可化为$y^{2}=\frac{1}{n}(x\in R)$，即$y=\pm\frac{1}{\sqrt{n}}$，表示两条直线，所以D正确。
故选ACD。

7.(2022全国甲理,14,5分,易)若双曲线$y^{2}-\frac{x^{2}}{m^{2}} = 1(m＞0)$的渐近线与圆$x^{2}+y^{2}-4y + 3 = 0$相切，则$m=$________。

答案： 答案$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析　易得双曲线的渐近线方程为$y=\pm\frac{x}{m}(m\gt0)$，
圆的方程可化为$x^{2}+(y - 2)^{2}=1$，其半径$r = 1$，
$\because$渐近线与圆相切，$\therefore$圆心$(0,2)$到渐近线的距离等于$r$，
$\therefore\frac{2}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{m}\right)^{2}}}=1$，$\therefore m^{2}=\frac{1}{3}$，又$m\gt0$，$\therefore m=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

8.(2021新高考II,13,5分,易)已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$，离心率$e = 2$，则双曲线$C$的渐近线方程为________，________。

答案： 答案$y=\sqrt{3}x$；$y = -\sqrt{3}x$
解析　因为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt0,b\gt0)$的离心率为$2$，
所以$e=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}=2$，所以$\frac{b^{2}}{a^{2}}=3$，
所以该双曲线的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\sqrt{3}x$。

9.(2020课标I理,15,5分,中)已知$F$为双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$的右焦点，$A$为$C$的右顶点，$B$为$C$上的点，且$BF$垂直于$x$轴。若$AB$的斜率为3，则$C$的离心率为________。

答案： 答案$2$
解析　由$A$为$C$的右顶点得$A(a,0)$，由$F(c,0)$，$B$是$C$上的点，且$BF\perp x$轴得$B\left(c,\frac{b^{2}}{a}\right)$。
$\because AB$的斜率为$3$，
$\therefore\frac{\frac{b^{2}}{a}}{c - a}=3$，即$\frac{c^{2}-a^{2}}{a(c - a)}=\frac{c + a}{a}=e + 1 = 3$，$\therefore e = 2$。

10.(2022浙江,16,4分,中)已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$的左焦点为$F$，过$F$且斜率为$\frac{b}{4a}$的直线交双曲线于点$A(x_1,y_1)$，交双曲线的渐近线于点$B(x_2,y_2)$且$x_1＜0＜x_2$。若$|FB| = 3|FA|$，则双曲线的离心率是________。

答案：
答案$\frac{3\sqrt{6}}{4}$
解析　如图所示，

由题意得双曲线左焦点为$F(-c,0)$，点$B$所在的渐近线方程为$y=\frac{b}{a}x$，过$F$且斜率为$\frac{b}{4a}$的直线方程为$y=\frac{b}{4a}(x + c)$，
联立$\begin{cases}y=\frac{b}{4a}(x + c)\\y=\frac{b}{a}x\end{cases}$得$B\left(\frac{c}{3},\frac{bc}{3a}\right)$，
由$\vert FB\vert = 3\vert FA\vert$，可得$A\left(-\frac{5}{9}c,\frac{bc}{9a}\right)$，又$A$在双曲线上，
所以$\frac{25c^{2}}{81a^{2}}-\frac{b^{2}c^{2}}{81a^{2}b^{2}}=1$，化简得$\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{27}{8}$，则$e=\frac{3\sqrt{6}}{4}$。

11.(2022全国甲文,15,5分,中)记双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$的离心率为$e$，写出满足条件“直线$y = 2x$与$C$无公共点”的$e$的一个值________。

答案： 答案$2$（答案不唯一，在$(1,\sqrt{5}]$范围内取值均可）
解析　欲使直线$y = 2x$与双曲线$C$无公共点，则$0\lt\frac{b}{a}\leqslant2$，
所以$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}}\in(1,\sqrt{5}]$。
所以当$e\in(1,\sqrt{5}]$时，直线$y = 2x$与双曲线$C$无公共点。答案不唯一，可取$e = 2$。

12.(2023新课标I,16,5分,中)已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，点$A$在$C$上，点$B$在$y$轴上，$\overrightarrow{F_1A}\perp\overrightarrow{F_1B}$，$\overrightarrow{F_2A}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{F_2B}$，则$C$的离心率为________。

答案：
答案$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
解析　解法一：如图，由题可知$\vert F_{1}B\vert=\vert F_{2}B\vert$。
设$\vert F_{1}B\vert=\vert F_{2}B\vert = m(m\gt0)$，
$\because\overrightarrow{F_{2}A}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{F_{2}B}$，$\therefore A$，$F_{2}$，$B$三点共线，$\vert F_{2}A\vert=\frac{2m}{3}$，
$\therefore\vert AB\vert=\vert F_{2}A\vert+\vert F_{2}B\vert=\frac{5m}{3}$，
$\therefore\vert F_{1}A\vert=\sqrt{\vert AB\vert^{2}-\vert F_{1}B\vert^{2}}=\sqrt{\frac{25m^{2}}{9}-m^{2}}=\frac{4m}{3}$，
又$2a=\vert F_{1}A\vert-\vert F_{2}A\vert=\frac{2m}{3}$，$\therefore m = 3a$。$\therefore\vert F_{1}A\vert = 4a$，$\vert F_{2}A\vert = 2a$，$\vert AB\vert = 5a$，又$\vert F_{1}F_{2}\vert = 2c$，$\cos\angle F_{1}AB=\frac{\vert F_{1}A\vert}{\vert AB\vert}=\frac{4}{5}$，
$\therefore\frac{\vert F_{1}A\vert^{2}+\vert F_{2}A\vert^{2}-\vert F_{1}F_{2}\vert^{2}}{2\vert F_{1}A\vert\vert F_{2}A\vert}=\frac{16a^{2}+4a^{2}-4c^{2}}{2\times4a\times2a}=\frac{4}{5}$，
整理得$\frac{5}{4}-\frac{e^{2}}{4}=\frac{4}{5}$，即$e^{2}=\frac{9}{5}$。$\because e\gt1$，$\therefore e=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。

解法二：依题意，设$\vert AF_{2}\vert = 2m$，则$\vert BF_{2}\vert = 3m=\vert BF_{1}\vert$，$\vert AF_{1}\vert = 2a + 2m$，
在$Rt\triangle ABF_{1}$中，$9m^{2}+(2a + 2m)^{2}=25m^{2}$，则$(a + 3m)(a - m)=0$，故$a = m$或$a=-3m$（舍去），
$\therefore\vert AF_{1}\vert = 4a$，$\vert AF_{2}\vert = 2a$，$\vert BF_{2}\vert=\vert BF_{1}\vert = 3a$，则$\vert AB\vert = 5a$，
故$\cos\angle F_{1}AF_{2}=\frac{\vert AF_{1}\vert}{5a}=\frac{4a}{5a}=\frac{4}{5}$，
$\therefore$在$\triangle AF_{1}F_{2}$中，$\cos\angle F_{1}AF_{2}=\frac{16a^{2}+4a^{2}-4c^{2}}{2\times4a\times2a}=\frac{4}{5}$，整理得$5c^{2}=9a^{2}$，故$e=\frac{c}{a}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。