《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

(2024新课标Ⅱ,2,5分,易)已知命题$p:\forall x\in \mathbf{R}$,$|x + 1|＞1$;命题$q:\exists x＞0,x^{3}=x$.则 ( )
A.$p$和$q$都是真命题
B.$\neg p$和$q$都是真命题
C.$p$和$\neg q$都是真命题
D.$\neg p$和$\neg q$都是真命题

答案： B 由$\vert x + 1\vert＞1$得$x + 1＞1$或$x + 1＜-1$，即$x＞0$或$x＜-2$，因此命题$p$是假命题，$\neg p$是真命题；
由$x^{3}=x$可得$x(x - 1)(x + 1)=0$，即$x = 0,-1$或$1$，因此$\exists x = 1＞0$，使得$x^{3}=x$，命题$q$是真命题，故选 B.

1.(2023天津,2,5分,易)已知$a,b\in \mathbf{R}$,则“$a^{2}=b^{2}$”是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1. B 由$a^{2}=b^{2}$得$\vert a\vert=\vert b\vert$；
由$a^{2}+b^{2}=2ab$，得$(a - b)^{2}=0$，$\therefore a = b$.
$a = b\Rightarrow\vert a\vert=\vert b\vert$，而由$\vert a\vert=\vert b\vert$不能推出$a = b$.
$\therefore$“$a^{2}=b^{2}$”是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的必要不充分条件.故选 B.

2.(2021天津,2,5分,易)已知$a\in \mathbf{R}$,则“$a＞6$”是“$a^{2}＞36$”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2. A 因为$a＞6\Rightarrow a^{2}＞36$，所以“$a＞6$”是“$a^{2}＞36$”的充分条件.因为$a^{2}＞36\Rightarrow a＞6$或$a＜-6$，所以“$a＞6$”是“$a^{2}＞36$”的不必要条件.故选 A.

3.(2021北京,3,4分,易)设函数$f(x)$的定义域为$[0,1]$,则“$f(x)$在区间$[0,1]$上单调递增”是“$f(x)$在区间$[0,1]$上的最大值为$f(1)$”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案：
3. A 若$f(x)$在$[0,1]$上单调递增，则$f(x)$在$[0,1]$上的最大值为$f(1)$；若$f(x)$在$[0,1]$上的最大值为$f(1)$，则$f(x)$未必在$[0,1]$上单调递增，如图.

4.(2022浙江,4,4分,易)设$x\in \mathbf{R}$,则“$\sin x = 1$”是“$\cos x = 0$”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 4. A 根据$\sin x = 1$解得$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，此时$\cos x=\cos(\frac{\pi}{2}+2k\pi)=\cos\frac{\pi}{2}=0$. 根据$\cos x = 0$解得$x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，此时$\sin x=\sin(\frac{\pi}{2}+k\pi)=\pm1$. 故“$\sin x = 1$”是“$\cos x = 0$”的充分不必要条件，故选 A.

5.(2021浙江,3,4分,易)已知非零向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$,则“$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}$”是“$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 5. B 若$\boldsymbol{c}$与向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$都垂直，则由$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$不一定能得到$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$；若$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$，则由平面向量的数量积的定义知$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$成立，故“$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$”是“$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$”的必要不充分条件. 故选 B.

6.(2023全国甲理,7,5分,中)设甲:$\sin ^{2}\alpha+\sin ^{2}\beta = 1$,乙:$\sin \alpha+\cos \beta = 0$,则 ( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案： 6. B 当$\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta = 1$时，$\sin^{2}\alpha = 1-\sin^{2}\beta$，即$\sin^{2}\alpha=\cos^{2}\beta$，$\therefore\sin\alpha=\pm\cos\beta$，即$\sin\alpha+\cos\beta = 0$或$\sin\alpha-\cos\beta = 0$，故充分性不成立；
当$\sin\alpha+\cos\beta = 0$时，$\sin^{2}\alpha=\cos^{2}\beta$，$\therefore\sin^{2}\alpha = 1-\sin^{2}\beta$，即$\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta = 1$，故必要性成立.
$\therefore$甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选 B.

7.(2020北京,9,4分,中)已知$\alpha,\beta\in \mathbf{R}$,则“存在$k\in \mathbf{Z}$使得$\alpha = k\pi+(-1)^{k}\beta$”是“$\sin \alpha=\sin \beta$”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 7. C 充分性：已知存在$k\in\mathbf{Z}$使得$\alpha=k\pi+(-1)^{k}\beta$，
(i)若$k$为奇数，则$k = 2n + 1,n\in\mathbf{Z}$，此时$\alpha=(2n + 1)\pi-\beta,n\in\mathbf{Z}$，
$\sin\alpha=\sin(2n\pi+\pi-\beta)=\sin(\pi-\beta)=\sin\beta$；
(ii)若$k$为偶数，则$k = 2n,n\in\mathbf{Z}$，此时$\alpha=2n\pi+\beta,n\in\mathbf{Z}$，
$\sin\alpha=\sin(2n\pi+\beta)=\sin\beta$.
由(i)(ii)知，充分性成立.
必要性：若$\sin\alpha=\sin\beta$成立，则角$\alpha$与$\beta$的终边重合或角$\alpha$与$\beta$的终边关于$y$轴对称，即$\alpha=\beta+2m\pi,m\in\mathbf{Z}$或$\alpha+\beta=2m\pi+\pi,m\in\mathbf{Z}$，
即存在$k\in\mathbf{Z}$使得$\alpha=k\pi+(-1)^{k}\beta$，必要性也成立，故选 C.

8.(2023新课标Ⅰ,7,5分,中)记$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和,设甲:$\{ a_{n}\}$为等差数列;乙:$\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$为等差数列,则 ( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案： 8. C 若$\{a_{n}\}$为等差数列，设公差为$d$，则$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d$，
$\therefore S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)d}{2}$，$\therefore\frac{S_{n}}{n}=a_{1}+\frac{n - 1}{2}d$，
当$n\geqslant2$时，$\frac{S_{n - 1}}{n - 1}=a_{1}+\frac{n - 2}{2}d$，
$\therefore\frac{S_{n}}{n}-\frac{S_{n - 1}}{n - 1}=a_{1}+\frac{n - 1}{2}d-a_{1}-\frac{n - 2}{2}d=\frac{1}{2}d$，
$\therefore\{\frac{S_{n}}{n}\}$是以$S_{1}$为首项，$\frac{d}{2}$为公差的等差数列.
若$\{\frac{S_{n}}{n}\}$为等差数列，设公差为$d'$，则$\frac{S_{n}}{n}=S_{1}+(n - 1)d'=a_{1}+(n - 1)d'$，$\therefore S_{n}=na_{1}+n(n - 1)d'$，
当$n\geqslant2$时，$S_{n - 1}=(n - 1)a_{1}+(n - 1)(n - 2)d'$，
两式作差得，$a_{n}=a_{1}+2(n - 1)d'$，又$n = 1$时也满足上式，
$\therefore a_{n}=a_{1}+2(n - 1)d',n\in\mathbf{N}^{*}$，
当$n\geqslant2$时，$a_{n - 1}=a_{1}+2(n - 2)d'$，
$\therefore a_{n}-a_{n - 1}=a_{1}+2(n - 1)d'-a_{1}-2(n - 2)d'=2d'$，
$\therefore\{a_{n}\}$是以$a_{1}$为首项，$2d'$为公差的等差数列.
综上，甲是乙的充要条件，故选 C.