《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

8.(2020新高考I,17,10分,易)在①ac = $\sqrt{3}$,②c$\sin A$ = 3,③c = $\sqrt{3}b$这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且$\sin A$ = $\sqrt{3}\sin B$,C = $\frac{\pi}{6}$,______?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

答案：
解析方案一:选条件①.
由C=$\frac{H}{6}$和余弦定理得$\frac{a²+b²−c}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由sinA=$\sqrt{3}$sinB及正弦定理得a=$\sqrt{3}$b.
于是$\frac{36²+b²−c}{2\sqrt{3}62}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,由此可得b=c.　　　　　　　　(6分)
由①ac=$\sqrt{3}$,解得a=$\sqrt{3}$,b=c=1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=1.　(10分)
方案二:选条件②.
由C=和余弦定理得$\frac{a²+b²−c}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由sinA=$\sqrt{3}$sinB及正弦定理得a=$\sqrt{3}$b.
于是$\frac{3b²+b²−c}{2√3b²}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
由此可得b=c,B=C=$\frac{T}{6}$,A=$\frac{2π}{3}$　　　　　　　　　　(6分)
由②csinA=3,所以c=b=2√3,a=6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2√3.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分)
方案三:选条件③.
由C=$\frac{H}{6}$和余弦定理得$\frac{a²+b²−c}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由sinA=$\sqrt{3}$sinB及正弦定理得a=$\sqrt{3}$b.
于是$\frac{3b²+b²−c}{2√36²}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,由此可得b=c.　　　　　　　　(6分)
由③c=$\sqrt{3}$b,与b=c矛盾
因此，选条件③时问题中的三角形不存在　　　　　(10分)

9.(2023新课标I,17,10分,中)已知在△ABC中,A + B = 3C,2$\sin(A - C)$ = $\sin B$.
(1)求$\sin A$;
(2)设AB = 5,求AB边上的高.

答案：

10.(2023新课标II,17,10分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为$\sqrt{3}$,D为BC的中点,且AD = 1.
(1)若∠ADC = $\frac{\pi}{3}$,求$\tan B$;
(2)若b²+c² = 8,求b,c.

答案：

11.(2021新高考II,18,12分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b = a + 1,c = a + 2.
(1)若2$\sin C$ = 3$\sin A$,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形? 若存在,求a;若不存在,说明理由.

答案：