《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

5.(2021新高考I,18,12分,中)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题? 并说明理由.

答案： 5解析
(1)由题易知X的所有可能取值为0,20,100,P(X=0)=1−0.8=0.2,
P(X=20)=0.8×(1−0.6)=0.32,
P(X=100)=0.8×0.6=0.48,
所以X的分布列为
　　　　　X　　　　0　　　　20　　　　100
　　　　　P　　　　0.2　　　0.32　　　0.48
(2)由
(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.假设小明先回答B类问题，其累计得分为Y,则Y的所有可能取值为0,80,100,
P(Y=0)=1−0.6=0.4,
P(Y=80)=0.6×(1−0.8)=0.12,
P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,
所以Y的分布列为
　　　　　Y　　　　0　　　　80　　　　100
　　　　　P　　　　0.4　　　0.12　　　0.48
所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,
所以E(Y)＞E(X),
所以小明应选择先回答B类问题.