《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

6. (多选)(2024黑龙江顶级名校开学考,9)下列说法正确的是(　　　)
A. 若a＞b,则a²＞b²
B. 若a＞b,则a - 2＞b - 3
C. 若ac²＞bc²,则a＞b
D. 若a＞b＞0,m＞0,则$\frac{b}{a}$＜$\frac{b + m}{a + m}$

答案： 对于 A，令$a = 2$，$b = -2$，满足$a＞b$，但$a^{2}=b^{2}$，故 A 错误；对于 B，$\because a＞b$，$\therefore a - 2＞b - 2$，而$b - 2＞b - 3$，$\therefore a - 2＞b - 3$，故 B 正确；对于 C，$\because ac^{2}＞bc^{2}$，且$c^{2}＞0$，$\therefore a＞b$，故 C 正确；对于 D，$\frac{b + m}{a + m}-\frac{b}{a}=\frac{ab+ma - ab - mb}{a(a + m)}=\frac{m(a - b)}{a(a + m)}$，$\because a＞b＞0$，$m＞0$，$\therefore a + m＞0$，$a - b＞0$，$\therefore\frac{m(a - b)}{a(a + m)}＞0$，即$\frac{b}{a}＜\frac{b + m}{a + m}$，故 D 正确，故选 BCD.

7. (多选)(2024湖北襄阳四校联考,10)若x,y＞0,且x + 2y = 1,则(　　　)
A. xy≤$\frac{1}{8}$
B. $\sqrt{x}$+$\sqrt{2y}$≤$\sqrt{2}$
C. $\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$≥10
D. x²+4y²≥$\frac{1}{2}$

答案： 由$x$，$y＞0$，$1=x + 2y\geqslant2\sqrt{2xy}$可得$xy\leqslant\frac{1}{8}$，当且仅当$x = 2y=\frac{1}{2}$时等号成立，故 A 正确；$\sqrt{x}+\sqrt{2y}=\sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{2y})^{2}}=\sqrt{x + 2y+2\sqrt{2xy}}$，$\because x + 2y = 1$，$xy\leqslant\frac{1}{8}$，$\therefore\sqrt{x + 2y+2\sqrt{2xy}}=\sqrt{1+2\sqrt{2\times\frac{1}{8}}}=\sqrt{2}$，当且仅当$x = 2y=\frac{1}{2}$时，等号成立，故 B 正确；$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=(\frac{1}{x}+\frac{2}{y})\cdot(x + 2y)=5+\frac{2y}{x}+\frac{2x}{y}\geqslant5+2\sqrt{\frac{2y}{x}\cdot\frac{2x}{y}} = 9$，当且仅当$x = y=\frac{1}{3}$时等号成立，故 C 错误；$\because x + 2y = 1$，$\therefore(x + 2y)^{2}=1$，即$x^{2}+4xy + 4y^{2}=1$，$\therefore x^{2}+4y^{2}=1 - 4yx\geqslant1-4\times\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$，当且仅当$x = 2y=\frac{1}{2}$时，等号成立，故 D 正确，故选 ABD.

8. (2024河南中原名校联考,12)若关于x的不等式0≤ax²+bx + c≤2(a＞0)的解集为{x|-1≤x≤3},则3a + b + 2c的取值范围是________.

答案： 答案$[\frac{3}{2},4]$
解析 因为不等式$0\leqslant ax^{2}+bx + c\leqslant2(a＞0)$的解集为$\{x|-1\leqslant x\leqslant3\}$，所以二次函数$f(x)=ax^{2}+bx + c$的图象的对称轴为直线$x = 1$，且需满足$\begin{cases}f(-1)=2\\f(3)=2\\f(1)\geqslant0\end{cases}$，即$\begin{cases}a - b + c = 2\\9a+3b + c = 2\\a + b + c\geqslant0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=-2a\\c=-3a + 2\end{cases}$，所以$a + b + c=a-2a-3a + 2\geqslant0\Rightarrow a\leqslant\frac{1}{2}$，所以$a\in(0,\frac{1}{2}]$，所以$3a + b + 2c=3a-2a-6a + 4=4 - 5a\in[\frac{3}{2},4]$.

1. (2024东北三省四市教研联合体模拟,5)已知函数f(x)=3log₂($\sqrt{x²+1}$-x),正数a,b满足f(a)+f(3b - 1)=0,则$\frac{3b + a}{ab}$的最小值为(　　　)
A. 6
B. 8
C. 12
D. 24

答案： 因为$\sqrt{x^{2}+1}-x＞\sqrt{x^{2}}-x\geqslant x - x = 0$，所以$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$.
因为$f(x)=3\log _{2}(\sqrt{x^{2}+1}-x)=3\log _{2}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}$，所以$f(x)$为减函数，
因为$f(-x)=3\log _{2}(\sqrt{x^{2}+1}+x)$，所以$f(x)=-f(-x)$，则$f(x)$为奇函数，
因为$f(a)+f(3b - 1)=0$，所以$f(a)=f(1 - 3b)$，$a = 1 - 3b$，即$a + 3b = 1$，所以$\frac{3b + a}{ab}=\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=(\frac{3}{a}+\frac{1}{b})(a + 3b)=\frac{9b}{a}+\frac{a}{b}+6$.
因为$\frac{9b}{a}+\frac{a}{b}\geqslant2\sqrt{\frac{9b}{a}\cdot\frac{a}{b}} = 6$，
所以$\frac{3b + a}{ab}=\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=(\frac{3}{a}+\frac{1}{b})(a + 3b)=\frac{9b}{a}+\frac{a}{b}+6\geqslant12$（当且仅当$a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{6}$时，等号成立）. 则$\frac{3b + a}{ab}$的最小值为 12. 故选 C.

2. (2024湖南师大附中二模,6)已知实数a＞b＞0,则下列选项可作为a - b＜1的充分条件的是(　　　)
A. $\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$=1
B. $\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2}$
C. 2ᵃ-2ᵇ=1
D. log₂a - log₂b = 1

答案： 由$a＞b＞0$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=1$得$a - b=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=\sqrt{a}+\sqrt{b}=(1+\sqrt{b}+\sqrt{b})=1 + 2\sqrt{b}＞1$，A 错误；取$a = 2$，$b = 1$，满足$a＞b＞0$，且$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，但$a - b = 1$，B 错误；设$2^{a}=m＞1$，$2^{b}=n＞1$，$m - n = 1$，则$m=n + 1$，$\frac{m}{n}=\frac{n + 1}{n}=1+\frac{1}{n}＜2$，所以$\log _{2}\frac{m}{n}=\log _{2}m-\log _{2}n＜1$，即$a - b＜1$，C 正确；$\log _{2}a-\log _{2}b=\log _{2}\frac{a}{b}=1$，$\frac{a}{b}=2$，$a = 2b$，所以$a - b = b$，$b＜1$不一定成立，D 错误. 故选 C.

3. (2024浙江镇海中学期末,8)设实数x,y满足x ＞$\frac{3}{2}$,y＞3,不等式k(2x - 3)(y - 3)≤8x³+y³-12x²-3y²恒成立,则实数k的最大值为(　　　)
A. 12
B. 24
C. 2$\sqrt{3}$
D. 4$\sqrt{3}$

答案： 因为实数$x$，$y$满足$x＞\frac{3}{2}$，$y＞3$，所以$x-\frac{3}{2}＞0$，$y - 3＞0$.
由题意知$k\leqslant\frac{4x^{2}(2x - 3)+y^{2}(y - 3)}{(2x - 3)(y - 3)}$，$\because\frac{4x^{2}(2x - 3)+y^{2}(y - 3)}{(2x - 3)(y - 3)}=\frac{4x^{2}}{y - 3}+\frac{y^{2}}{2x - 3}\geqslant\frac{(2x + y)^{2}}{2x + y - 6}=(2x + y - 6)+\frac{36}{2x + y - 6}+12\geqslant2\sqrt{36}+12 = 24$，当且仅当$\begin{cases}\frac{2x}{y - 3}=\frac{y}{2x - 3}\\2x + y - 6=\frac{36}{2x + y - 6}\end{cases}$，即$\begin{cases}x = 3\\y = 6\end{cases}$时，等号成立，所以$k\leqslant24$，即实数$k$的最大值为 24，故选 B.

4. (2024山东淄博二模,8)记max{x,y,z}表示x,y,z中最大的数.已知x,y均为正实数,则max{$\frac{2}{x}$,$\frac{1}{y}$,x²+4y²}的最小值为(　　　)
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. 2
D. 4

答案： 记$\max\{\frac{2}{x},\frac{1}{y},x^{2}+4y^{2}\}=t$，显然$3t\geqslant\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+x^{2}+4y^{2}\geqslant2\sqrt{\frac{2}{xy}}+2\cdot x\cdot2y=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{xy}}+4xy$，
又$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{xy}}+4xy=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{xy}}+4xy\geqslant3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{xy}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{xy}}\cdot4xy}=6$，
当且仅当$x = 2y$，$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{xy}}=4xy$，即$x = 1$，$y=\frac{1}{2}$时，等号成立，所以$3t\geqslant6$，$t\geqslant2$. 所以$\max\{\frac{2}{x},\frac{1}{y},x^{2}+4y^{2}\}$的最小值为 2.

5. (多选)(2024山东青岛二中二模,10)已知正实数a,b,c,且a＞b＞c,x,y,z为自然数,则满足$\frac{x}{a - b}$+$\frac{y}{b - c}$+$\frac{z}{c - a}$＞0恒成立的x,y,z可以是(　　　)
A. x = 1,y = 1,z = 4
B. x = 1,y = 2,z = 5
C. x = 2,y = 2,z = 7
D. x = 1,y = 3,z = 9

答案： 要满足$\frac{x}{a - b}+\frac{y}{b - c}+\frac{z}{c - a}＞0$，只需满足$\frac{x}{a - b}+\frac{y}{b - c}＞\frac{z}{a - c}$，
其中$a$，$b$，$c$为正实数，且$a＞b＞c$，$x$，$y$，$z$为自然数，
$\frac{x}{a - b}+\frac{y}{b - c}=\frac{(a - b)+(b - c)}{a - c}(\frac{x}{a - b}+\frac{y}{b - c})=\frac{x}{a - c}+\frac{(b - c)x}{(a - b)(a - c)}+\frac{(a - b)y}{(a - c)(b - c)}+\frac{y}{a - c}\geqslant\frac{x}{a - c}+\frac{y}{a - c}+2\sqrt{\frac{(b - c)x}{(a - b)(a - c)}\cdot\frac{(a - b)y}{(a - c)(b - c)}}=\frac{x}{a - c}+\frac{y}{a - c}+\frac{2\sqrt{xy}}{a - c}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}}{a - c}$，当且仅当$\frac{(b - c)x}{(a - b)(a - c)}=\frac{(a - b)y}{(a - c)(b - c)}$，即$(b - c)^{2}x=(a - b)^{2}y$时，等号成立，
故只需$\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}}{a - c}＞\frac{z}{a - c}$，故只需$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}＞z$即可.
A 选项，$x = 1$，$y = 1$，$z = 4$时，$(\sqrt{1}+\sqrt{1})^{2}=4$，A 错误；
B 选项，$x = 1$，$y = 2$，$z = 5$时，$(\sqrt{1}+\sqrt{2})^{2}=3 + 2\sqrt{2}＞5$，B 正确；
C 选项，$x = 2$，$y = 2$，$z = 7$时，$(\sqrt{2}+\sqrt{2})^{2}=8＞7$，C 正确；
D 选项，$x = 1$，$y = 3$，$z = 9$时，$(\sqrt{1}+\sqrt{3})^{2}=4 + 2\sqrt{3}＜9$，D 错误. 故选 BC.

6. (多选)(2024湖北四调,10)已知a＞b＞0,a + b = 1,则下列结论正确的有(　　　)
A. $\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$的最大值为$\sqrt{2}$
B. 2²ᵃ+2²ᵇ⁺¹的最小值为4$\sqrt{2}$
C. $\frac{1}{2a + b}$+$\frac{4}{a + 2b}$的最小值为3
D. a+sinb＜1

答案： 因为$a＞b＞0$，$a + b = 1$，所以$0＜b＜\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}＜a＜1$. 对于 A，$(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2})^{2}\leqslant\frac{a + b}{2}=\frac{1}{2}$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时取得最大值$\sqrt{2}$，而$a＞b＞0$，故取不到等号，A 错误；
对于 B，$2^{2a}+2^{2b + 1}\geqslant2\sqrt{2^{2a}\cdot2^{2b + 1}}=2\sqrt{2^{2a+2b + 1}}=2\sqrt{2^{3}}=4\sqrt{2}$，当且仅当$2^{2a}=2^{2b + 1}$，即当$a=\frac{3}{4}$，$b=\frac{1}{4}$时取等号，B 正确；
对于 C，$\frac{1}{2a + b}+\frac{4}{a + 2b}=\frac{1}{3}(\frac{1}{2a + b}+\frac{4}{a + 2b})[(2a + b)+(a + 2b)]=\frac{1}{3}[5+\frac{a + 2b}{2a + b}+\frac{4(2a + b)}{a + 2b}]\geqslant\frac{1}{3}(5 + 2\sqrt{4}) = 3$，当且仅当$\frac{a + 2b}{2a + b}=\frac{4(2a + b)}{a + 2b}$，即$a = 0$，$b = 1$时等号成立，而$a＞b＞0$，所以取不到最值，C 错误；
对于 D，因为$a + b = 1$，所以$a = 1 - b$，所以$a+\sin b=1 - b+\sin b$，设$h(b)=1 - b+\sin b$，$0＜b＜\frac{1}{2}$，则$h'(b)=-1+\cos b＜0$，所以$h(b)$在$(0,\frac{1}{2})$上单调递减，所以$h(b)＜h(0)=1$，所以$1 - b+\sin b＜1$，即$a+\sin b＜1$，故 D 正确，故选 BD.

7. (2024重庆八中适应性考试,14)对任意的正实数a,b,c,满足b + c = 1,则$\frac{8ab²+a}{bc}$+$\frac{16}{a + 1}$的最小值为________.

答案： 答案$16\sqrt{2}-8$
解析 $\frac{8ab^{2}+a}{bc}+\frac{16}{a + 1}=\frac{a(8b^{2}+1)}{bc}+\frac{16}{a + 1}=\frac{a[8b^{2}+(b + c)^{2}]}{bc}+\frac{16}{a + 1}=\frac{a(9b^{2}+c^{2}+2bc)}{bc}+\frac{16}{a + 1}=a(\frac{9b}{c}+\frac{c}{b}+2)+\frac{16}{a + 1}\geqslant a(2\sqrt{\frac{9b}{c}\cdot\frac{c}{b}}+2)+\frac{16}{a + 1}=8a+\frac{16}{a + 1}=8(a + 1)+\frac{16}{a + 1}-8\geqslant2\sqrt{8(a + 1)\cdot\frac{16}{a + 1}}-8=16\sqrt{2}-8$，当且仅当$a=\sqrt{2}-1$，$c = 3b$时取等号. 故$\frac{8ab^{2}+a}{bc}+\frac{16}{a + 1}$的最小值为$16\sqrt{2}-8$.

1. (创新知识交汇)(2024江苏苏锡常镇二模,4)已知随机变量ξ~N(1,σ²),且P(ξ≤0)=P(ξ≥a),则$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{a - x}$(0＜x＜a)的最小值为(　　　)
A. 9
B. $\frac{9}{2}$
C. 4
D. 6

答案： 因为随机变量$\xi\sim N(1,\sigma^{2})$，且$P(\xi\leqslant0)=P(\xi\geqslant a)$，所以$\frac{a}{2}=1$（提示：正态曲线关于直线$x = 1$对称），解得$a = 2$，
$\frac{1}{x}+\frac{4}{a - x}=\frac{1}{x}+\frac{4}{2 - x}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{4}{2 - x})[x+(2 - x)]=\frac{1}{2}(1 + 4+\frac{2 - x}{x}+\frac{4x}{2 - x})\geqslant\frac{1}{2}(5 + 2\sqrt{\frac{2 - x}{x}\cdot\frac{4x}{2 - x}})=\frac{9}{2}$，当且仅当$x=\frac{2}{3}$时，等号成立，所以$\frac{1}{x}+\frac{4}{a - x}(0＜x＜a)$的最小值为$\frac{9}{2}$. 故选 B.

2. (创新考法)(2024湖北宜荆荆适应性考试,6)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m²)分别为x,y,z,且x＞y＞z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m²)分别为a,b,c,且a＜b＜c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是(　　　)
A. ax + by + cz
B. az + by + cx
C. ay + bz + cx
D. ay + bx + cz

答案： $ax+by + cz-(az+by + cx)=a(x - z)+c(z - x)=(a - c)(x - z)$.$\because x＞y＞z$，$a＜b＜c$，$\therefore a - c＜0$，$x - z＞0$，$\therefore ax+by + cz＜az+by + cx$.
同理，$ay + bz+cx-(ay + bx + cz)=b(z - x)+c(x - z)=(b - c)(z - x)＞0$，$\therefore ay + bz+cx＞ay + bx + cz$，
故只需再比较$ax+by + cz$与$ay + bx + cz$的大小即可.
$(ax+by + cz)-(ay + bx + cz)=a(x - y)+b(y - x)=(a - b)(x - y)$，
$\because a - b＜0$，$x - y＞0$，$\therefore(a - b)(x - y)＜0$，$\therefore ax+by + cz＜ay + bx + cz$，
$\therefore$在不同的方案中，最低的总费用是$(ax+by + cz)$元，故选 A.
小题巧解
用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间，且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间，这样所需总费用最低，最低总费用为$(ax+by + cz)$元. 故选 A.