《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.（2023全国甲理，5，5分，中）设等比数列$\{ a_{n}\}$的各项均为正数，前n项和为$S_{n}$，若$a_{1}=1$，$S_{5}=5S_{3}-4$，则$S_{4}=$（ ）
A.$\frac{15}{8}$
B.$\frac{65}{8}$
C.15
D.40

答案： 设等比数列|an{的公比为q(q＞0),由题意可知q≠1.
∵S5=5S3−4,
∴$\frac{a,(1−q²)}{1−q}$=5.$\frac{a(1−q²)}{1−q}$−4,
∴q⁴−5q²+4=0,解得q²=4或q²=1,
∴q=2,
∴S4=$\frac{a(1−q²)}{1−q}$=$\frac{1−2}{1−2}$=15,故选C.

2.（2022全国乙，文10，理8，5分，中）已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前3项和为168，$a_{2}-a_{5}=42$，则$a_{6}=$（ ）
A.14
B.12
C.6
D.3

答案： 解法一:设|an{的公比为q,
则{aa2−+aas2+=aa31=(qa−(q²1)+=q+4q2²²,)①=168,②
得①$\frac{q(1−q²)}{1+q+q²}$=$\frac{q(1−q)(1+q+q²)}{1+q+q²}$=q(1−q)=$\frac{1}{4}$,4q²−4q+1=
0,即(2q−1)²=0,
∴q=$\frac{1}{2}$,代入①得a1=96,故a6=aq²=
96×$\frac{1}{32}$=3,故选D.
解法二:设等比数列|an{的公比为q,前n项和为Sn,
由a2−as=42,得q≠1.
由题意得{S3=$\frac{a(1−q²)}{1−q}$=168,①
　　　a2−a5=ag(1−q²)=42,②
$\frac{1}{2}$得$\frac{1}{q(1−q)}$4,即4q²−4q+1=0,
∴(2q−1)²=0,得q=$\frac{1}{2}$,代入①得a1=96,
∴a6=aq²=96×$\frac{1}{2}$)⁵=3;,故选D

3.（2020课标Ⅱ理，6，5分，中）数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，$a_{m + n}=a_{m}a_{n}$。若$a_{k + 1}+a_{k + 2}+\cdots +a_{k + 10}=2^{15}-2^{5}$，则$k=$（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 由am+n=aman,令m=1可得an+=aIan=2an,
∴数列lan是公比为2的等比数列，
∴a=2×2−¹=2n,则ak+1+ak+2+...+ak+1o=2+¹+2k+²+...+2+¹⁰=$\frac{2k+(1−20)}{1−2}$=2k+¹¹−2k+¹=2¹⁵_2⁵,
∴k=4.故选C.

4.（2023全国甲文，13，5分，易）记$S_{n}$为等比数列$\{ a_{n}\}$的前n项和.若$8S_{6}=7S_{3}$，则$\{ a_{n}\}$的公比为_______.

答案： 答案$\frac{1}{2}$
解析设等比数列|an|的公比为q,q≠1,
∵8S6=7S33,
∴8×$\frac{a,(1−q°)}{1−q}$=7×$\frac{a(1−q²)}{1−q}$,
∴8(1−q°)=7(1−q²),即8(1+q²)=7,
解得q=$\frac{1}{2}$

5.（2023全国乙理，15，5分，中）已知$\{ a_{n}\}$为等比数列，$a_{2}a_{4}a_{5}=a_{3}a_{6}$，$a_{9}a_{10}=-8$，则$a_{7}=$_______.

答案： 答案−2
解析　由等比数列的性质得a4a5=a3a6≠0,
∵a2a4as=a3a6,
∴a2=1.
又
∵a9a10=−8,
∴a2q².a2q²=−8,
∴a²qs=−8,
∴q=−8,
∴(q²)²=−8,
∴q⁵=−2,
∴a=a2q²=1×(−2)=−2.

6.（2023北京，14，5分，中）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列$\{ a_{n}\}$，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且$a_{1}=1$，$a_{5}=12$，$a_{9}=192$，则$a_{7}=$_______；数列$\{ a_{n}\}$所有项的和为_______.

答案： 答案48;384
解析数列an|共有9项,前3项成等差数列,设公差为d (d＞0),后7项成等比数列,设公比为q(g＞1),则a2=1+d,a3=1+2d,as=a.q²=(1+2d).q²=12①,a=a3.q²=(1+2d).q²=192②,由①②解得q=2,d=1,则a7=a3.q²=3×2²=48,a+a2+...+a=1+2+3+6+12+24+48+96+192=1+2+$\frac{3(1−2)}{1−2}$=384.

7.（2020新高考Ⅱ，18，12分，易）已知公比大于1的等比数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{2}+a_{4}=20$，$a_{3}=8$.
（1）求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）求$a_{1}a_{2}-a_{2}a_{3}+\cdots +(-1)^{n - 1}a_{n}a_{n + 1}$.

答案：

8.（2022新高考Ⅱ，17，10分，中）已知$\{ a_{n}\}$是等差数列，$\{ b_{n}\}$是公比为2的等比数列，且$a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=b_{4}-a_{4}$.
（1）证明：$a_{1}=b_{1}$；
（2）求集合$\{ k|b_{k}=a_{m}+a_{1},1\leqslant m\leqslant 500\}$中元素的个数.

答案：

1.（2021全国甲文，9，5分，中）记$S_{n}$为等比数列$\{ a_{n}\}$的前n项和.若$S_{2}=4$，$S_{4}=6$，则$S_{6}=$（ ）
A.7
B.8
C.9
D.10

答案：

2.（2023新课标Ⅱ，8，5分，中）记$S_{n}$为等比数列$\{ a_{n}\}$的前n项和，若$S_{4}=-5$，$S_{6}=21S_{2}$，则$S_{8}=$（ ）
A.120
B.85
C.-85
D.-120

答案：