《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.(2024山东四月联考,3)已知圆锥的底面圆的半径为1,其侧面展开图是一个圆心角为$\frac{\pi}{2}$的扇形,则该圆锥的母线长为(　　　)
A.$\frac{5}{2}$　　
　B.3　　　
　C.$\frac{7}{2}$　　
　D.4

答案： D：设母线长为$l$，由题意得$\frac{\pi}{2}l = 2\pi\times1$，则$l = 4$。

2.(2024广东湛江二模,2)如图,这是一件西周晚期的青铜器,其盛酒的部分可近似视为一个圆台(设上、下底面的半径分别为$a$厘米,$b$厘米,高为$c$厘米),则该青铜器的容积约为(取$\pi = 3$)　　　　　　　　　　　　　　(　　　)


A.$c(a^{2}+ac+b^{2})$立方厘米
B.$c(a^{2}-ac+b^{2})$立方厘米
C.$c(a^{2}+ab+b^{2})$立方厘米
D.$c(a^{2}-ab+b^{2})$立方厘米

答案： C：该青铜器的容积约为$\frac{\pi}{3}c(a^{2}+ab + b^{2})=c(a^{2}+ab + b^{2})$立方厘米。

3.(2024广西4月模拟,6)已知轴截面为正方形的圆柱$MM'$的体积与球$O$的体积之比为$\frac{3}{2}$,则圆柱$MM'$的表面积与球$O$的表面积之比为(　　　)
A.1　　　
　B.$\frac{3}{2}$　　
　C.2　　　
　D.$\frac{5}{2}$

答案： B：设圆柱$MM'$的底面半径为$r$，球$O$的半径为$R$，则圆柱$MM'$的高为$2r$，由$\frac{\pi r^{2}\cdot2r}{\frac{4\pi R^{3}}{3}}=\frac{3r^{3}}{2R^{3}}=\frac{3}{2}$，得$\frac{r}{R}=1$，所以圆柱$MM'$的表面积与球$O$的表面积之比为$\frac{2\pi r^{2}+4\pi r^{2}}{4\pi R^{2}}=\frac{3}{2}$。

4.(2024广东广州一模,4)已知正四棱台$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的上、下底面边长分别为1和2,且$BB_{1}\perp DD_{1}$,则该棱台的体积为　　　　(　　　)
A.$\frac{7\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　
　B.$\frac{7\sqrt{2}}{6}$
C.$\frac{7}{6}$　　　　　　　　
　D.$\frac{7}{2}$

答案：
B：如图，将正四棱台$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$补形为正四棱锥$P - ABCD$，记$O_{1}$，$O$分别为正四棱台上、下底面的中心，连接$B_{1}D_{1}$，$BD$，$PO$，由题意，得$\triangle PBD$，$\triangle PB_{1}D_{1}$均为等腰直角三角形，$PO\perp BD$，$PO\perp B_{1}D_{1}$，$PO_{1}=\frac{1}{2}B_{1}D_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$PO=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，所以$O_{1}O = PO - PO_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以正四棱台$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的体积$V=\frac{1}{3}\times(1^{2}+\sqrt{1^{2}\times2^{2}}+2^{2})\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{6}$，故选B。
　　　　　　

5.(2024安徽池州二模,5)已知圆锥的高为3,若圆锥的内切球半径为1,则该圆锥的表面积为(　　　)
A.$6\pi$　　
　B.$6\sqrt{3}\pi$　
　C.$9\pi$　　
　D.$12\pi$

答案：
C：圆锥与其内切球的轴截面如图所示，由已知得$O_{1}D = 1$，$SO_{1}=2$，$\angle O_{1}DS = 90^{\circ}$，可知$\angle O_{1}SD = 30^{\circ}$，则$\angle ASB = 60^{\circ}$，所以圆锥的轴截面为等边三角形，因为$SO = 3$，所以圆锥底面圆的半径$AO=\sqrt{3}$，母线$SA = 2\sqrt{3}$，则圆锥的表面积为$S=\pi\times(\sqrt{3})^{2}+\pi\times\sqrt{3}\times2\sqrt{3}=9\pi$，故选C。
　　　　　　　　　　　　　　

6.(2024湖南邵阳二模,6)已知三棱锥$P - ABC$中,$PA\perp$平面$ABC$,$\angle ABC = 60^{\circ},PA = AC = 2$,则此三棱锥外接球的表面积为　　　(　　　)
A.$\frac{14\pi}{3}$　　
　B.$\frac{28\pi}{3}$　　
　C.$10\pi$　　
　D.$5\pi$

答案：
B：设$\triangle ABC$外接圆的圆心为$O_{1}$，三棱锥$P - ABC$外接球的球心为$O$，连接$AO_{1}$，$OO_{1}$，$OA$，则$OO_{1}\perp$平面$ABC$。
因为$PA\perp$平面$ABC$，所以$PA// OO_{1}$。
作$OF\perp PA$，又$\angle FAO_{1}=\angle OO_{1}A = 90^{\circ}$，所以四边形$OFAO_{1}$是矩形，所以$AF = OO_{1}$。
　　　　　　　　　　　　　　
连接$OP$，则$OP = OA$，则$AF=\frac{1}{2}PA$，即$OO_{1}=\frac{1}{2}PA$。
设$\triangle ABC$的外接圆的半径为$r$，三棱锥外接球的半径为$R$。由正弦定理得$2r=\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{2}{\sin60^{\circ}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$，可得$r = \frac{2}{\sqrt{3}}$。
所以$R=\sqrt{(\frac{PA}{2})^{2}+r^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\frac{2}{\sqrt{3}})^{2}}=\sqrt{\frac{7}{3}}$，则外接球的表面积为$S = 4\pi R^{2}=4\pi\times(\sqrt{\frac{7}{3}})^{2}=\frac{28}{3}\pi$。故选B。

7.(2024福建莆田二模,4)柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体,具有严格对称,结构等价的特点.六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性.将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体(如图2).若正八面体外接球的体积为$\frac{4\pi}{3}$,则此正八面体的表面积为　　　　　　　(　　　)

A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$　　
　B.$\sqrt{3}$　　
　C.$2\sqrt{3}$　　
　D.$4\sqrt{3}$

答案：
D：如图，连接$AC$，$BD$，$PE$，设$AC\cap BD = O$，根据正八面体的对称性可知，$PE$过点$O$，$PO\perp$平面$ABCD$，又$AO\subset$平面$ABCD$，所以$PO\perp AO$。
设正八面体的棱长为$a$，易知$OA=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，则$OP=\sqrt{PA^{2}-OA^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，同理$OE=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，则正八面体的外接球球心为$O$，且外接球半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
由$\frac{4\pi}{3}(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{3}=\frac{4\pi}{3}$可得$a=\sqrt{2}$。
故该八面体的表面积$S = 8\times\frac{1}{2}a^{2}\sin60^{\circ}=4\sqrt{3}$。故选D。
　　　　　　　　　　　　　

8.(2024广东深圳一模,6)已知某圆台的上、下底面半径分别为$r_{1},r_{2}$,且$r_{2}=2r_{1}$,若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切,则该圆台的体积为　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$\frac{28\pi}{3}$　　
　B.$\frac{40\pi}{3}$　　
　C.$\frac{56\pi}{3}$　
　D.$\frac{112\pi}{3}$

答案：
C：如图，设圆台、下底面圆心分别为$O_{1}$，$O_{2}$，则圆台内切球的球心$O$一定在$O_{1}O_{2}$的中点处，设球$O$与母线$AB$切于$M$点，所以$OM\perp AB$，所以$OM = OO_{1}=OO_{2}=2$，所以$\triangle AOO_{1}$与$\triangle AOM$全等，所以$AM = r_{1}$，同理$BM = r_{2}$，所以$AB = r_{1}+r_{2}=3r_{1}$，过$A$作$AG\perp BO_{2}$，垂足为$G$，则$BG = r_{2}-r_{1}=r_{1}$，$AG = O_{1}O_{2}=4$，所以$AG^{2}=AB^{2}-BG^{2}$，所以$16=(3r_{1})^{2}-r_{1}^{2}=8r_{1}^{2}$，所以$r_{1}=\sqrt{2}$，所以$r_{2}=2\sqrt{2}$，所以该圆台的体积为$\frac{1}{3}(2\pi + 8\pi+4\pi)\times4=\frac{56\pi}{3}$。故选C。
　　　　　　　　　　　　　

9.(2024重庆二诊,13)将一个半径为$\frac{3}{2}$cm的铁球熔化后,浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的底面边长分别为1cm和2cm,则它的高为________cm.

答案： 答案：$\frac{27}{14}\pi$
解析：铁球的体积为$\frac{4}{3}\pi(\frac{3}{2})^{3}=\frac{9}{2}\pi\ cm^{3}$。设正四棱台形状的铁锭的高为$h\ cm$。由题意得$\frac{9}{2}\pi=\frac{1}{3}(1 + 4+\sqrt{1\times4})h$，解得$h=\frac{27}{14}\pi$。