《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.（多思少算、回归教材）（2024新课标Ⅰ，7，5分，中）当$x\in[0,2\pi]$时，曲线$y = \sin x$与$y = 2\sin\left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right)$的交点个数为（ ）
A.3
B.4
C.6
D.8

答案：

在同一直角坐标系中，画出 $y = \sin x(x\in[0,2\pi])$ 与 $y = 2\sin(3x - \frac{\pi}{6})(x\in[0,2\pi])$ 的图象，由图象可知，两曲线有6个交点.故选C.

2.（多思少算）（多选）（2024新课标Ⅱ，9，6分，易）对于函数$f(x)=\sin 2x$和$g(x)=\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right)$，下列说法中正确的有（ ）
A.$f(x)$与$g(x)$有相同的零点
B.$f(x)$与$g(x)$有相同的最大值
C.$f(x)$与$g(x)$有相同的最小正周期
D.$f(x)$与$g(x)$的图象有相同的对称轴

答案： BC 令 $f(x)=0$，得 $\sin 2x = 0$，$\therefore 2x = k\pi(k\in\mathbf{Z})$，解得 $x = \frac{k\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$.
令 $g(x)=0$，得 $\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = 0$，$\therefore 2x - \frac{\pi}{4} = k_1\pi(k_1\in\mathbf{Z})$，解得 $x = \frac{k_1\pi}{2}+\frac{\pi}{8}(k_1\in\mathbf{Z})$.
因此 $f(x)$ 与 $g(x)$ 没有相同的零点，选项A错误.
$f(x)$ 与 $g(x)$ 的最大值都是1，选项B正确.
$f(x)$ 与 $g(x)$ 的最小正周期都是 $T = \frac{2\pi}{2}=\pi$，选项C正确.
由 $2x = k_2\pi+\frac{\pi}{2}(k_2\in\mathbf{Z})$ 得 $x = \frac{k_2\pi}{2}+\frac{\pi}{4}(k_2\in\mathbf{Z})$，
$\therefore f(x)$ 图象的对称轴方程为 $x = \frac{k_2\pi}{2}+\frac{\pi}{4}(k_2\in\mathbf{Z})$.
由 $2x - \frac{\pi}{4} = k_3\pi+\frac{\pi}{2}(k_3\in\mathbf{Z})$ 得 $x = \frac{k_3\pi}{2}+\frac{3\pi}{8}(k_3\in\mathbf{Z})$，
$\therefore g(x)$ 图象的对称轴方程为 $x = \frac{k_3\pi}{2}+\frac{3\pi}{8}(k_3\in\mathbf{Z})$.
因此，选项D错误，故选BC.

1.（2021全国乙理，7，5分，中）把函数$y = f(x)$图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\dfrac{1}{2}$倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移$\dfrac{\pi}{3}$个单位长度，得到函数$y=\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$的图象，则$f(x)=$（ ）
A.$\sin\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{7\pi}{12}\right)$
B.$\sin\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{12}\right)$
C.$\sin\left(2x-\dfrac{7\pi}{12}\right)$
D.$\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{12}\right)$

答案： B 将函数 $y = \sin(x - \frac{\pi}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度可得函数 $y = \sin[(x+\frac{\pi}{3})-\frac{\pi}{4}]=\sin(x+\frac{\pi}{12})$ 的图象，再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数 $y = f(x)$ 的图象，则 $f(x)=\sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12})$，故选B.

2.（2023全国甲，文12，理10，5分，中）函数$y = f(x)$的图象由函数$y=\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)$的图象向左平移$\dfrac{\pi}{6}$个单位长度得到，则$y = f(x)$的图象与直线$y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}$的交点个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
C 函数 $y = \cos(2x+\frac{\pi}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度得 $y = \cos[2(x+\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{6}]=\cos(2x+\frac{\pi}{2})=-\sin 2x$ 的图象，即 $f(x)=-\sin 2x$ 的图象，
画出函数 $y = f(x)$ 与 $y = \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ 的图象如图，可得它们有3个交点，故选C.

3.（多选）（2020新高考Ⅰ，10，5分，中）函数$y = \sin(\omega x+\varphi)$的部分图象如图所示，则$\sin(\omega x + \varphi)=$（ ）

A.$\sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)$
B.$\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-2x\right)$
C.$\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$
D.$\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}-2x\right)$

答案： BC 由题图可知，$\frac{T}{2}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$，$\therefore T = \pi$，由 $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$ 可知，$\frac{2\pi}{|\omega|}=\pi$，$\therefore |\omega| = 2$，不妨取 $\omega = 2$，则 $f(x)=\sin(2x+\varphi)$，又 $\because$ 图象过 $(\frac{\pi}{6},0)$，$\therefore \sin(\frac{\pi}{3}+\varphi)=0$，又 $\because \frac{\pi}{6}$ 是 $f(x)$ 的下降零点，$\therefore \frac{\pi}{3}+\varphi=\pi + 2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，$\therefore \varphi=\frac{2\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，不妨取 $\varphi=\frac{2\pi}{3}$，则 $f(x)=\sin(2x+\frac{2\pi}{3})=\sin[(2x+\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{2}]=\cos(2x+\frac{\pi}{6})$，$f(x)=\sin(2x+\frac{2\pi}{3})=\sin[\pi - (\frac{\pi}{3}-2x)]=\sin(\frac{\pi}{3}-2x)$，故选BC.

4.（2023新课标Ⅱ，16，5分，中）已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$，如图，$A$，$B$是直线$y = \dfrac{1}{2}$与曲线$y = f(x)$的两个交点，若$|AB| = \dfrac{\pi}{6}$，则$f(\pi)=$_______.

答案： 答案 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析 令 $\sin(\omega x+\varphi)=\frac{1}{2}$，得 $\omega x+\varphi=\frac{\pi}{6}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$ 或 $\omega x+\varphi=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$.
由题意可知，$\frac{\frac{5\pi}{6}+2k\pi-\varphi}{\omega}-\frac{\frac{\pi}{6}+2k\pi-\varphi}{\omega}=\frac{\pi}{6},k\in\mathbf{Z}$，
则 $\frac{5\pi}{6\omega}-\frac{\pi}{6\omega}=\frac{\pi}{6}$，$\therefore \omega = 4$，
$\therefore f(x)=\sin(4x+\varphi)$，又 $f(x)$ 的图象过 $(\frac{2\pi}{3},0)$，
$\therefore f(\frac{2\pi}{3})=\sin(\frac{8\pi}{3}+\varphi)=0$，结合五点作图法得 $\frac{8\pi}{3}+\varphi=2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，结合 $f(0)\lt0$ 不妨取 $\varphi=-\frac{2\pi}{3}$，
$\therefore f(x)=\sin(4x-\frac{2\pi}{3})$，$\therefore f(\pi)=\sin(4\pi-\frac{2\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1.（2021全国乙文，4，5分，易）函数$f(x)=\sin\dfrac{x}{3}+\cos\dfrac{x}{3}$的最小正周期和最大值分别是（ ）
A.$3\pi$和$\sqrt{2}$
B.$3\pi$和2
C.$6\pi$和$\sqrt{2}$
D.$6\pi$和2

答案： C $f(x)=\sin\frac{x}{3}+\cos\frac{x}{3}=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\frac{x}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\frac{x}{3})=\sqrt{2}\sin(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4})$，最小正周期 $T=\frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi$；$f(x)_{\max}=\sqrt{2}$，故选C.

2.（2021新高考Ⅰ，4，5分，易）下列区间中，函数$f(x)=7\sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)$单调递增的区间是（ ）
A.$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$
B.$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$
C.$\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)$
D.$\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$

答案： A 令 $2k\pi-\frac{\pi}{2}\lt x-\frac{\pi}{6}\lt2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，
解得 $2k\pi-\frac{\pi}{3}\lt x\lt2k\pi+\frac{2\pi}{3}(k\in\mathbf{Z})$，
令 $k = 0$，可得函数 $f(x)$ 的一个单调递增区间为 $(-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$，
因为 $(0,\frac{\pi}{2})\subseteq(-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$，所以选A.
名师点睛
函数在区间 $(-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$ 的任意子集上都是单调递增的.