《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

4.(2022全国甲理,19,12分,中)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用$X$表示乙学校的总得分,求$X$的分布列与期望.

答案：
解析
(1)记“甲学校在第$i$个项目获胜”为事件$A_{i}(i = 1,2,3)$，“甲学校获得冠军”为事件$E$。
则$P(E)=P(A_{1}A_{2}A_{3})+P(A_{1}A_{2}\overline{A_{3}})+P(A_{1}\overline{A_{2}}A_{3})+P(\overline{A_{1}}A_{2}A_{3})=\frac{1}{2}\times\frac{2}{5}\times\frac{4}{5}+\frac{1}{2}\times\frac{2}{5}\times\frac{1}{5}+\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}+\frac{1}{2}\times\frac{2}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{3}{5}$。
$\therefore$甲学校获得冠军的概率为$\frac{3}{5}$。
(2)记“乙学校在第$j$个项目获胜”为事件$B_{j}(j = 1,2,3)$。$X$的所有可能取值为$0$，$10$，$20$，$30$。
则$P(X = 0)=P(\overline{B_{1}}\overline{B_{2}}\overline{B_{3}})=\frac{1}{2}\times\frac{2}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{4}{25}$，
$P(X = 10)=P(B_{1}\overline{B_{2}}\overline{B_{3}})+P(\overline{B_{1}}B_{2}\overline{B_{3}})+P(\overline{B_{1}}\overline{B_{2}}B_{3})=\frac{1}{2}\times\frac{2}{5}\times\frac{4}{5}+\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}+\frac{1}{2}\times\frac{2}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{11}{25}$，
$P(X = 20)=P(B_{1}B_{2}\overline{B_{3}})+P(B_{1}\overline{B_{2}}B_{3})+P(\overline{B_{1}}B_{2}B_{3})=\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}+\frac{1}{2}\times\frac{2}{5}\times\frac{1}{5}+\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{17}{50}$，
$P(X = 30)=P(B_{1}B_{2}B_{3})=\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{3}{50}$。
$\therefore X$的分布列为

$\therefore E(X)=0\times\frac{4}{25}+10\times\frac{11}{25}+20\times\frac{17}{50}+30\times\frac{3}{50}=13$。

1.(2023全国甲理,6,5分,中)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为(　　)
A.0.8　
　B.0.6　　
　C.0.5　　
　D.0.4

答案： 1A解法一：设既爱好滑雪，又爱好滑冰的同学占比为$x$，则有$60\%+50\%-x = 70\%$，解得$x = 40\%$。
$\therefore$若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为$\frac{40\%}{50\%}=0.8$，故选A。
解法二：从该校的学生中任取一名学生，记$A$表示事件：“取到的学生爱好滑冰”，$B$表示事件：“取到的学生爱好滑雪”。由题设知$P(A)=0.6$，$P(B)=0.5$，$P(A\cup B)=0.7$。
由$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，得$P(AB)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0.6 + 0.5-0.7 = 0.4$。
所以所求概率为$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0.4}{0.5}=0.8$。

2.(2022新高考Ⅱ,19,12分,中)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.0001).

答案： 解析
(1)平均年龄为$(5\times0.001 + 15\times0.002+25\times0.012 + 35\times0.017+45\times0.023+55\times0.020+65\times0.017+75\times0.006+85\times0.002)\times10 = 47.9$(岁)。
(2)设事件$A$为“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间$[20,70)$”，$P(A)=(0.012 + 0.017+0.023+0.020+0.017)\times10 = 0.89$，$\therefore$估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间$[20,70)$的概率为$0.89$。
(3)设事件$B =$“任选一人年龄位于区间$[40,50)$”，事件$C =$“任选一人患这种疾病”，由条件概率公式可得
$P(C|B)=\frac{P(BC)}{P(B)}=\frac{0.1\%\times0.023\times10}{16\%}=\frac{0.001\times0.23}{0.16}=0.0014375\approx0.0014$。