《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

4. (2024福建三明质量检测,18)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n - 1}\cdot a_{n}=(\sqrt{2})^{n^{2}+n},n\in N^{*}$.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2)设数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,若不等式$(-1)^{n}tS_{n}-14\leqslant S_{n}^{2}$对任意的$n\in N^{*}$恒成立,求实数$t$的取值范围;
(3)记$b_{n}=\frac{1}{\log_{2}a_{n}}$,求证:$\frac{b_{1}-b_{2}}{\sqrt{b_{1}}}+\frac{b_{2}-b_{3}}{\sqrt{b_{2}}}+\cdots+\frac{b_{n}-b_{n + 1}}{\sqrt{b_{n}}}＜\sqrt{2}(n\in N^{*})$.

答案：

1. (新定义理解)(多选)(2024安徽安庆二模,11)满足$a_{1}=2,a_{2}=1,a_{n + 2}=a_{n + 1}+a_{n}(n\in N^{*})$的数列$\{ a_{n}\}$称为卢卡斯数列,则 ( )
A.存在非零实数$t$,使得$\{ a_{n + 1}+ta_{n}\}(n\in N^{*})$为等差数列
B.存在非零实数$t$,使得$\{ a_{n + 1}+ta_{n}\}(n\in N^{*})$为等比数列
C.$3a_{n + 2}=a_{n + 4}+a_{n}(n\in N^{*})$
D.$\sum_{i = 1}^{2024}(-1)^{i}a_{i}=a_{2023}-3$

答案：

2. (新定义理解)(2024浙江温州第二次适应性考试,18)数列$\{ a_{n}\}$,$\{ b_{n}\}$满足:$\{ b_{n}\}$是等比数列,$b_{1}=2,a_{2}=5$,且$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}=2(a_{n}-3)b_{n}+8(n\in N^{*})$.
(1)求$a_{n},b_{n}$;
(2)求集合$A = \{ x|(x - a_{i})(x - b_{i}) = 0,i\leqslant2n,i\in N^{*}\}$中所有元素的和;
(3)对数列$\{ c_{n}\}$,若存在互不相等的正整数$k_{1},k_{2},\cdots,k_{j}(j\geqslant2)$,使得$c_{k_{1}}+c_{k_{2}}+\cdots+c_{k_{j}}$是数列$\{ c_{n}\}$中的项,则称数列$\{ c_{n}\}$是“和稳定数列”.试分别判断数列$\{ a_{n}\}$,$\{ b_{n}\}$是不是“和稳定数列”.若是,求出所有$j$的值;若不是,说明理由.

答案：