《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1. (2024东北三省三校第一次联合模拟,3)已知函数$y = f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数,且当$x ＜ 0$时,$f(x)=x^{2}+\frac{a}{x}$,若$f(3)= - 8$,则$a =$（ ）
A. - 3
B. 3
C.$\frac{1}{3}$
D.$-\frac{1}{3}$

答案： 因为$f(x)$是奇函数,所以$f(3)=−f(−3)=−8$,故$f(−3)=8$,故$f(−3)=(−3)²+\frac{a}{-3}=8$,解得$a=3$.故选B.

2. (2024河北唐山一模,4)已知函数$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x - 2}}$,则$f(x)$的最小值为（ ）
A. 0
B. 2
C.$2\sqrt{2}$
D. 3

答案： $f(x)$的定义域为$(2,+\infty)$,$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x−2}}=\frac{(\sqrt{x−2})²+2}{\sqrt{x−2}}=\sqrt{x−2}+\frac{2}{\sqrt{x−2}}\geq2\sqrt{2}$,当且仅当$\sqrt{x−2}=\frac{2}{\sqrt{x−2}}$,即$x=4$时等号成立，则$f(x)$的最小值为$2\sqrt{2}$.故选C.

3. (2024江苏南通第二次调研,4)已知函数$f(x)=\begin{cases}2^{x}+2^{-x},x\leqslant3,\\f(\frac{x}{2}),x ＞ 3,\end{cases}$则$f(\log_{2}9)=$（ ）
A.$\frac{8}{3}$
B.$\frac{10}{3}$
C.$\frac{80}{9}$
D.$\frac{82}{9}$

答案： 因为$\log_{2}9＞3$,所以$f(\log_{2}9)=f(\frac{1}{2}\log_{2}9)=f(\log_{2}3)=2^{\log_{2}3}+2^{-\log_{2}3}=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$.故选B.

4. (2024浙江金丽衢十二校第二次联考,3)若函数$f(x)=\ln(e^{x}+1)+ax$为偶函数,则实数$a$的值为（ ）
A.$-\frac{1}{2}$
B. 0
C.$\frac{1}{2}$
D. 1

答案： $f(x)=\ln(e^{x}+1)+ax$的定义域为$\mathbf{R}$,$f(−x)=\ln(e^{-x}+1)−ax=\ln\frac{e^{x}+1}{e^{x}}-ax=\ln(e^{x}+1)−x−ax$,因为$f(x)=\ln(e^{x}+1)+ax$为偶函数,所以$f(−x)=\ln(e^{x}+1)−(1+a)x=\ln(e^{x}+1)+ax=f(x)\Rightarrow(1+2a)x=0$,故$1+2a=0$,$a=−\frac{1}{2}$,故选A.

5. (2024湖北T8联盟模拟,6)已知函数$f(x)=x\lg\frac{x + b}{x + a}(a\neq b)$为偶函数,若$b ＞ 1$,则$a$不可能为（ ）
A. - 2024
B. - 2
C.$-\sqrt{2}$
D. - 1

答案： 函数$f(x)=x\lg\frac{x+b}{x+a}$为偶函数,$y=x$是奇函数，则$g(x)=\lg\frac{x+b}{x+a}$为奇函数,$g(−x)=−g(x)$,即$g(x)+g(−x)=0$,$\lg\frac{x+b}{x+a}+\lg\frac{−x+b}{−x+a}=0$,即$\lg\frac{b²−x²}{a²−x²}=0$,$\therefore\frac{b²−x²}{a²−x²}=1$,得$a²=b²$,$\therefore a=−b$或$a=b$(舍去).又$b＞1$,$\therefore a＜−1$.故选D.

6. (2024福建福州质检,5)若函数$f(x)=3^{|a - 2x|}$在区间$(1,2)$上单调递减,则$a$的取值范围是（ ）
A.$(-\infty,2]$
B.$(-\infty,4]$
C.$[2,+\infty)$
D.$[4,+\infty)$

答案： 函数$y=3^{x}$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增,而函数$f(x)=3^{|a - 2x|}$在区间$(1,2)$上单调递减,所以$y=|2x - a|$在区间$(1,2)$上单调递减，所以$\frac{a}{2}\geq2$,解得$a\in[4,+\infty)$.故选D.

7. (2024江苏宿迁调研测试,7)已知定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$满足$f(2 - x)=f(x)$,当$0\leqslant x\leqslant1$时,$f(x)=2^{x}-1$,则$f(\log_{2}12)=$（ ）
A.$-\frac{1}{3}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$满足$f(2 - x)=f(x)$,则$f(x)=−f(x - 2)$,则$f(x + 2)=−f(x)$,$f(x + 4)=−f(x + 2)=f(x)$,于是函数$f(x)$是周期为$4$的周期函数，而$8＜12＜16$,则$3＜\log_{2}12＜4$,$-1＜\log_{2}12 - 4＜0$,又当$0\leqslant x\leqslant1$时,$f(x)=2^{x}-1$,所以$f(\log_{2}12)=f(\log_{2}12 - 4)=f(\log_{2}\frac{3}{4})=-f(\log_{2}\frac{4}{3})=-(2^{\log_{2}\frac{4}{3}}-1)=-\frac{1}{3}$.故选A.

8. (2024湖南常德模拟,3)已知奇函数$y = f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的连续函数,且在区间$(0,+\infty)$上单调递增,则下列说法正确的是（ ）
A. 函数$y = f(x)+x^{2}$在$\mathbf{R}$上单调递增
B. 函数$y = f(x)-x^{2}$在$(0,+\infty)$上单调递增
C. 函数$y = x^{2}f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增
D. 函数$y=\frac{f(x)}{x^{2}}$在$(0,+\infty)$上单调递增

答案： 因为$y = f(x)$是奇函数,且在区间$(0,+\infty)$上单调递增,所以不妨令$f(x)=x$.对于A,$y = f(x)+x^{2}=x+x^{2}=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$,所以$y = f(x)+x^{2}$在$(-\infty,-\frac{1}{2})$上单调递减,在$(-\frac{1}{2},+\infty)$上单调递增，故A错误；对于B,$y = f(x)-x^{2}=x-x^{2}=-(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}$,所以$y = f(x)-x^{2}$在$(-\infty,\frac{1}{2})$上单调递增，在$(\frac{1}{2},+\infty)$上单调递减，故B错误；对于C,$y = x^{2}f(x)=x^{3}$,在$\mathbf{R}$上单调递增,故C正确；对于D,$y=\frac{f(x)}{x^{2}}=\frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}$,$x\neq0$,由反比例函数的单调性可知$y=\frac{f(x)}{x^{2}}$在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递减,故D错误.故选C.

9. (2024广东茂名一模,6)函数$y = f(x)$和$y = f(x - 2)$均为$\mathbf{R}$上的奇函数,若$f(1)=2$,则$f(2023)=$（ ）
A. - 2
B. - 1
C. 0
D. 2

答案： 因为$y = f(x - 2)$为奇函数,所以$y = f(x)$的图象关于点$(-2,0)$对称,即$f(−x)+f(x - 4)=0$,又$y = f(x)$是奇函数,所以$f(−x)=−f(x)$,则$f(x)=f(x - 4)$,即$f(x + 4)=f(x)$,所以$y = f(x)$的周期为$4$,故$f(2023)=f(-1 + 2024)=f(-1)=-f(1)=-2$.故选A.

10. (2024山东菏泽一模,6)已知$f(x)=xh(x)$,其中$h(x)$是奇函数且在$\mathbf{R}$上为增函数,则（ ）
A.$f(\log_{2}\frac{1}{3})＞f(2^{-\frac{2}{3}})＞f(2^{-\frac{3}{2}})$
B.$f(2^{-\frac{2}{3}})＞f(2^{-\frac{3}{2}})＞f(\log_{2}\frac{1}{3})$
C.$f(\log_{2}\frac{1}{3})＞f(2^{-\frac{3}{2}})＞f(2^{-\frac{2}{3}})$
D.$f(2^{-\frac{3}{2}})＞f(2^{-\frac{2}{3}})＞f(\log_{2}\frac{1}{3})$

答案： 由$h(x)$是奇函数且在$\mathbf{R}$上为增函数,得$h(0)=0$,当$x＞0$时,$h(x)＞h(0)=0$,且$f(x)=xh(x)$为偶函数,(奇×奇=偶)且$f(x)=xh(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增,在$(-\infty,0)$上单调递减,又$\log_{2}\frac{1}{3}＜0＜2^{-\frac{3}{2}}＜2^{-\frac{2}{3}}＜1＜\log_{2}3$,所以$f(\log_{2}\frac{1}{3})=f(-\log_{2}3)=f(\log_{2}3)＞f(2^{-\frac{2}{3}})＞f(2^{-\frac{3}{2}})$,故选C.

11. (2024辽宁沈阳育才中学模拟,7)函数$y = xf(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数,且$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上单调递增,若关于实数$t$的不等式$f(\log_{3}t)+f(\log_{\frac{1}{3}}t)＞2f(2)$恒成立,则$t$的取值范围是（ ）
A.$(0,\frac{1}{3})\cup(3,+\infty)$
B.$(0,\frac{1}{3})$
C.$(9,+\infty)$
D.$(0,\frac{1}{9})\cup(9,+\infty)$

答案： 因为函数$y = xf(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数,所以$-xf(-x)=-xf(x)$,当$x\neq0$时,$f(-x)=f(x)$,又$f(0)$有意义,所以$f(x)$是定义域$\mathbf{R}$上的偶函数,又因为$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上单调递增，所以$f(\log_{3}t)+f(\log_{\frac{1}{3}}t)=f(\log_{3}t)+f(-\log_{3}t)=2f(\log_{3}t)＞2f(2)$,所以$f(\log_{3}t)＞f(2)$,即$f(|\log_{3}t|)＞f(2)$,则$|\log_{3}t|＞2$,则$\log_{3}t＞2$或$\log_{3}t＜-2$,解得$t＞9$或$0＜t＜\frac{1}{9}$,所以$t$的取值范围是$(0,\frac{1}{9})\cup(9,+\infty)$.故选D.