《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

6.(2021浙江,7,4分,难)已知函数$f(x)=x^{2}+\frac{1}{4}$,$g(x)=\sin x$,则图象为下图的函数可能是 ( )

A.$y = f(x)+g(x)-\frac{1}{4}$
B.$y = f(x)-g(x)-\frac{1}{4}$
C.$y = f(x)g(x)$
D.$y=\frac{g(x)}{f(x)}$

答案： 6D由题图可知函数为奇函数且在$[0,\frac{\pi}{4}]$上先增后减.
A选项，$y = x^{2}+\sin x$，B选项，$y = x^{2}-\sin x$均不是奇函数，故排除；C选项，$y=(x^{2}+\frac{1}{4})\sin x$，显然$f(x)$，$g(x)$均在$(0,\frac{\pi}{4}]$上单调递增，且$f(x)＞0$，$g(x)＞0$，故$y=(x^{2}+\frac{1}{4})\sin x$在$(0,\frac{\pi}{4}]$上单调递增，故排除.故选D.

7.(2020北京,15,5分,中)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量$W$与时间$t$的关系为$W = f(t)$,用$-\frac{f(b)-f(a)}{b - a}$的大小评价在$[a,b]$这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论:
①在$[t_{1},t_{2}]$这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
②在$t_{2}$时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
③在$t_{3}$时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
④甲企业在$[0,t_{1}],[t_{1},t_{2}],[t_{2},t_{3}]$这三段时间中,在$[0,t_{1}]$的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是_______.

答案： 7答案①②③
解析设$y=\frac{f(b)-f(a)}{b - a}$，由已知条件可得甲、乙两个企业在$[t_{1},t_{2}]$这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为$\frac{f(t_{2})-f(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}$，由题图易知$y_{甲}＞y_{乙}$，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，所以①对；
由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示，所以②对；
在$t_{3}$时刻，由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以③对；
由计算式$\frac{f(b)-f(a)}{b - a}$可知，甲企业在$[0,t_{1}]$这段时间内污水治理能力最弱，所以④错.

1.(2020天津,9,5分,难)已知函数$f(x)=\begin{cases}x^{3},x\geq0,\\-x,x＜0.\end{cases}$若函数$g(x)=f(x)-|kx^{2}-2x|(k\in\mathbf{R})$恰有4个零点,则$k$的取值范围是 ( )
A.$(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(2\sqrt{2},+\infty)$
B.$(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(0,2\sqrt{2})$
C.$(-\infty,0)\cup(0,2\sqrt{2})$
D.$(-\infty,0)\cup(2\sqrt{2},+\infty)$

答案：
1D令$h(x)=|kx^{2}-2x|$，函数$g(x)=f(x)-|kx^{2}-2x|(k\in R)$恰有4个零点，即$y = f(x)$与$y = h(x)$的图象恰有4个不同交点.
当$k = -\frac{1}{2}$时，$h(x)=\left|-\frac{1}{2}x^{2}-2x\right|=\left|\frac{1}{2}x^{2}+2x\right|$，在同一直角坐标系中作出$y = f(x)$，$y = h(x)$的图象如图，
　　　　
由图可知$y = f(x)$与$y = h(x)$的图象恰有4个不同交点，即函数$g(x)=f(x)-|kx^{2}-2x|$恰有4个零点，排除A，B；
当$k = 1$时，$h(x)=|x^{2}-2x|$，作出$y = h(x)$与$y = f(x)$的图象如图所示.
　　　　　　
此时，函数$y = f(x)$与$y = h(x)$的图象仅有2个交点，不合题意，排除C，故选D.

2.(2021天津,9,5分,难)设$a\in\mathbf{R}$,函数$f(x)=\begin{cases}\cos(2\pi x - 2\pi a),x ＜ a,\\x^{2}-2(a + 1)x + a^{2}+5,x\geq a.\end{cases}$若$f(x)$在区间$(0,+\infty)$内恰有6个零点,则$a$的取值范围是 ( )
A.$(2,\frac{9}{4}]\cup(\frac{5}{2},\frac{11}{4}]$
B.$(\frac{7}{4},2)\cup(\frac{5}{2},\frac{11}{4}]$
C.$(2,\frac{9}{4}]\cup[\frac{11}{4},3)$
D.$(\frac{7}{4},2)\cup[\frac{11}{4},3)$

答案： 2A第一步，通过换元法简化解析式.
$f(x)=\begin{cases}\cos[2\pi(x - a)],x - a＜0,\\(x - a)^{2}-2(x - a)-2a + 5,x - a\geqslant0,\end{cases}$设$t = x - a$，
则$f(x)=g(t)=\begin{cases}\cos(2\pi t),t＜0,\\(t - 1)^{2}+4 - 2a,t\geqslant0,\end{cases}$
由题意$g(t)$在区间$(-a,+\infty)$内恰有6个零点.
第二步，根据$g(t)=(t - 1)^{2}+4 - 2a$在$[0,+\infty)$内的零点个数进行分类讨论.
$t\geqslant0$时，$g(0)=5 - 2a$，$g(t)$图象的顶点坐标为$(1,4 - 2a)$，
①$4 - 2a＞0$，即$a＜2$时，$g(t)=(t - 1)^{2}+4 - 2a$无零点，
故$g(t)=\cos(2\pi t)$，$-a＜t＜0$有6个零点，分别为$t = -\frac{1}{4},-\frac{3}{4},-\frac{5}{4},-\frac{7}{4},-\frac{9}{4},-\frac{11}{4}$，
$\therefore -\frac{13}{4}\leqslant - a＜-\frac{11}{4}$，即$\frac{11}{4}＜a\leqslant\frac{13}{4}$，无解.
②$4 - 2a = 0$，即$a = 2$时，$g(t)=(t - 1)^{2}+4 - 2a$，$t\geqslant0$有1个零点，故$g(t)=\cos(2\pi t)$，$-a＜t＜0$有5个零点，分别为$t = -\frac{1}{4},-\frac{3}{4},-\frac{5}{4},-\frac{7}{4},-\frac{9}{4}$，
$\therefore -\frac{11}{4}\leqslant - a＜-\frac{9}{4}$，即$\frac{9}{4}＜a\leqslant\frac{11}{4}$，无解.
③$\begin{cases}4 - 2a＜0,\\5 - 2a\geqslant0,\end{cases}$即$2＜a\leqslant\frac{5}{2}$时，$g(t)=(t - 1)^{2}+4 - 2a$，$t\geqslant0$有2个零点，故$g(t)=\cos(2\pi t)$，$-a＜t＜0$有4个零点，分别为$t = -\frac{1}{4},-\frac{3}{4},-\frac{5}{4},-\frac{7}{4}$，
$\therefore -\frac{9}{4}\leqslant - a＜-\frac{7}{4}$，即$\frac{7}{4}＜a\leqslant\frac{9}{4}$，$\therefore a\in(2,\frac{9}{4}]$.
④$5 - 2a＜0$，即$a＞\frac{5}{2}$时，$g(t)=(t - 1)^{2}+4 - 2a$，$t\geqslant0$有1个零点，故$g(t)=\cos(2\pi t)$，$-a＜t＜0$有5个零点，分别为$t = -\frac{1}{4},-\frac{3}{4},-\frac{5}{4},-\frac{7}{4},-\frac{9}{4}$，
$\therefore -\frac{11}{4}\leqslant - a＜-\frac{9}{4}$，即$\frac{9}{4}＜a\leqslant\frac{11}{4}$，$\therefore a\in(\frac{5}{2},\frac{11}{4}]$.
综上可得，$a\in(2,\frac{9}{4}]\cup(\frac{5}{2},\frac{11}{4}]$，故选A.

3.(2022天津,15,5分,难)设$a\in\mathbf{R}$,对任意实数$x$,用$f(x)$表示$|x|-2,x^{2}-ax + 3a - 5$中的较小者.若函数$f(x)$至少有3个零点,则$a$的取值范围为_______.

答案：
3答案$[10,+\infty)$
解析设$g(x)=|x|-2$，$h(x)=x^{2}-ax + 3a - 5$，
第一步，分析$h(x)$的零点情况.
$\because g(x)$有2个零点，$f(x)$至少有3个零点，
$\therefore h(x)$必有零点.
第二步，讨论$h(x)$的零点个数.
对于$h(x)=x^{2}-ax + 3a - 5$.
(1)当$\Delta = 0$时，$a = 2$或10.
①当$a = 2$时，$h(x)=x^{2}-2x + 1$，如图1.
此时，$f(x)=|x|-2$，有2个零点，不符合题意.
②当$a = 10$时，$h(x)=x^{2}-10x + 25$，如图2.
此时，$f(x)$有3个零点，符合题意.

(2)当$\Delta＞0$时，$a＜2$或$a＞10$.
设$h(x)$的两个零点为$x_{1}$，$x_{2}$，且$x_{1}＜x_{2}$.
①当$a＜2$时，要使$f(x)$至少有3个零点，$h(x)$的两个零点$x_{1}$，$x_{2}$需满足$x_{1}＜x_{2}\leqslant - 2$，如图3，
$\therefore\begin{cases}\frac{a}{2}＜-2,\\h(-2)\geqslant0,\end{cases}$不等式组无解.
②当$a＞10$时，要使$f(x)$至少有3个零点，需$h(x)$的两个零点$x_{1}$，$x_{2}$满足$2\leqslant x_{1}＜x_{2}$，如图4，
$\therefore\begin{cases}\frac{a}{2}＞2,\\h(2)\geqslant0,\end{cases}$解得$a＞4$，$\therefore a＞10$.
　 综上，$a$的取值范围为$[10,+\infty)$.

4.(2021北京,15,5分,难)已知函数$f(x)=|\lg x|-kx - 2$,给出下列四个结论:
①当$k = 0$时,$f(x)$恰有2个零点;
②存在负数$k$,使得$f(x)$恰有1个零点;
③存在负数$k$,使得$f(x)$恰有3个零点;
④存在正数$k$,使得$f(x)$恰有3个零点.
其中所有正确结论的序号是_______.

答案：
4答案①②④
解析令$f(x)=|\lg x|-kx - 2 = 0$，得$|\lg x|=kx + 2$，令$g(x)=|\lg x|$，$h(x)=kx + 2$，所以$f(x)$的零点个数即函数$g(x)$与$h(x)$图象的交点个数.当$k = 0$时，如图a，$g(x)$与$h(x)$的图象有2个交点，则$f(x)$有2个零点，故①正确；
当$k＞0$时，如图b，存在$h(x)=k_{0}x + 2$的图象与函数$g(x)=|\lg x|(x＞1)$的图象相切的情况，此时$h(x)$与$g(x)$的图象有2个交点，当$0＜k＜k_{0}$时，$g(x)$与$h(x)$的图象有3个交点，则$f(x)$有3个零点，故④正确；
当$k＜0$时，如图c，$g(x)$与$h(x)$的图象最多有2个交点，$g(x)$与$h(x)$的图象相切时有1个交点，如图d，故②正确，③不正确.
综上，正确结论的序号为①②④.