《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1. (2024广东揭阳二模,4)把函数$f(x)=3\sin3x$的图象向左平移$\frac{1}{4}$个最小正周期后,所得图象对应的函数为（ ）
A. $y = 3\sin(3x+\frac{3}{4})$
B. $y = 3\sin(3x-\frac{3}{4})$
C. $y = 3\cos3x$
D. $y = -3\cos3x$

答案： C 由题意得$f(x)$的最小正周期为$\frac{2\pi}{3}$，则所求函数为$y = 3\sin\left[3\left(x+\frac{2\pi}{3}\times\frac{1}{4}\right)\right]=3\sin\left(3x+\frac{\pi}{2}\right)=3\cos3x$。

2. (2024辽宁八市八校第二次联考,3)已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})(\omega＞0)$图象相邻两条对称轴之间的距离为$2\pi$,若$f(x)$在$(-m,m)$上是增函数,则$m$的取值范围是（ ）
A. $(0,\frac{\pi}{4}]$
B. $(0,\frac{\pi}{2}]$
C. $(0,\frac{3\pi}{4}]$
D. $(0,\frac{3\pi}{2}]$

答案： B 因为$f(x)=\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)(\omega\gt0)$图象相邻两条对称轴之间的距离为$2\pi$，所以$\frac{1}{2}T = 2\pi$，即$T = 4\pi$，则$\omega=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}$，则$f(x)=\sin\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{4}\right)$，由$2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{4}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，得$4k\pi-\frac{3\pi}{2}\leq x\leq4k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，所以$f(x)$在$\left[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$上是增函数，由$(-m,m)\subseteq\left[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$得$0\lt m\leq\frac{\pi}{2}$。故选B。

3. (2024黑龙江部分重点中学第二次联考,7)函数$f(x)=A\cos(\omega x+\varphi)(A＞0,\omega＞0,|\varphi|＜\pi)$的部分图象如图所示,则函数$y = f(x)-1$在区间$[0,2\pi]$内的零点个数为（ ）

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： C 由题图可知$A = 2$，$T=\frac{7\pi}{12}-\left(-\frac{5\pi}{12}\right)=\pi$，则$\omega=\frac{2\pi}{T}=2$，所以$f(x)=2\cos(2x+\varphi)$。因为函数$f(x)$的图象过点$\left(-\frac{5\pi}{12},0\right)$，且$\left(-\frac{5\pi}{12},0\right)$在$f(x)$的单调递增区间上，所以$-\frac{5\pi}{6}+\varphi=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，因为$|\varphi|\lt\pi$，所以$\varphi=\frac{\pi}{3}$，$f(x)=2\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$。
令$f(x)=2\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=1$，得$2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$或$2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，所以$x = k\pi,k\in\mathbf{Z}$或$x=-\frac{\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，又$x\in[0,2\pi]$，所以$x = 0$或$\frac{2\pi}{3}$或$\pi$或$\frac{5\pi}{3}$或$2\pi$，所以函数$y = f(x)-1$在区间$[0,2\pi]$内有$5$个零点。故选C。

4. (多选)(2024福建莆田二模,9)已知函数$f(x)=\sin x\cos x$,则（ ）
A. $f(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}$
B. $f(x)$的最大值为1
C. $f(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递增
D. 将函数$f(x)$的图象向右平移$\pi$个单位长度后与$f(x)$的图象重合

答案： AD 对于A、B，$f(x)=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin2x\leq\frac{1}{2}$，$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}$，故A正确、B错误；$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}\gt f\left(\frac{3\pi}{8}\right)=\frac{1}{2}\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，故C错误；将函数$f(x)$的图象向右平移$\pi$个单位长度后的图象所对应的函数为$y=\frac{1}{2}\sin[2(x - \pi)]=\frac{1}{2}\sin2x=f(x)$，故D正确。故选AD。

5. (2024湖北四调,12)设函数$f(x)=\sin(x+\varphi)+\cos(x+\varphi)$对任意的$x(x\in\mathbf{R})$都满足$f(-x)=f(x)$,则$\tan\varphi =$______.

答案： 答案 1
解析 $f(x)=\sqrt{2}\sin\left(x+\varphi+\frac{\pi}{4}\right)$，因为$f(-x)=f(x),x\in\mathbf{R}$，所以$f(x)$是偶函数，所以$\varphi+\frac{\pi}{4}=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，$\varphi=k\pi+\frac{\pi}{4}(k\in\mathbf{Z})$，故$\tan\varphi=\tan\left(k\pi+\frac{\pi}{4}\right)=1$。

1. (2024江苏南京、盐城一模,5)关于函数$f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)(A＞0,\omega＞0,0＜\varphi＜\frac{\pi}{2})$,有下列四个说法：
①$f(x)$的最大值为3
②$f(x)$的图象可由$y = 3\sin x$的图象平移得到
③$f(x)$的图象上相邻两个对称中心间的距离为$\frac{\pi}{2}$
④$f(x)$的图象关于直线$x=\frac{\pi}{3}$对称
若有且仅有一个说法是错误的,则$f(\frac{\pi}{2})=$（ ）
A. $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$
B. $-\frac{3}{2}$
C. $\frac{3}{2}$
D. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

答案： D ②$f(x)$的图象可由$y = 3\sin x$的图象平移得到，$\therefore f(x)=A\sin(x+\varphi)$，$\therefore\omega = 1$。
③由$f(x)$的图象相邻两个对称中心间的距离为$\frac{\pi}{2}$，得$\frac{T}{2}=\frac{\pi}{2}$，$T=\pi$，又$T=\frac{2\pi}{|\omega|},\omega\gt0$，$\therefore\omega = 2$，与②矛盾。
则②③只有一个正确，①④正确，则$A = 3$。
假设①②④正确，$f(x)=3\sin(x+\varphi)$，由$f(x)$的图象关于直线$x=\frac{\pi}{3}$对称得$\frac{\pi}{3}+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，$\varphi=k\pi+\frac{\pi}{6},k\in\mathbf{Z}$，$\because0\lt\varphi\lt\frac{\pi}{2}$，$\therefore\varphi=\frac{\pi}{6}$，$f(x)=3\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$。则$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=3\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\right)=3\cos\frac{\pi}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。易知①③④正确不符合题意。故选D。

2. (2024湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏南京师大附中三校联考,7)已知函数$f(x)=(\sin x-\sqrt{3}\cos x)\cos x$,若$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{3},\theta]$上是单调函数,则实数$\theta$的取值范围是（ ）
A. $[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3})$
B. $[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3})$
C. $(-\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{12}]$
D. $(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{12}]$

答案： C $f(x)=\sin x\cos x-\sqrt{3}\cos^{2}x=\frac{1}{2}\sin2x-\sqrt{3}\cdot\frac{1 + \cos2x}{2}=\frac{1}{2}\sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$，令$t = 2x-\frac{\pi}{3}$，则$y=\sin t-\frac{\sqrt{3}}{2}$，因为$x\in\left[-\frac{\pi}{3},\theta\right]$，所以$t\in\left[-\pi,2\theta-\frac{\pi}{3}\right]$，又因为$f(x)$在区间$\left[-\frac{\pi}{3},\theta\right]$上是单调函数，则$y=\sin t-\frac{\sqrt{3}}{2}$在区间$\left[-\pi,2\theta-\frac{\pi}{3}\right]$上是单调函数，所以$-\pi\lt2\theta-\frac{\pi}{3}\leq-\frac{\pi}{2}$，即$-\frac{2\pi}{3}\lt2\theta\leq-\frac{\pi}{6}$，解得$-\frac{\pi}{3}\lt\theta\leq-\frac{\pi}{12}$。

3. (2024广东广州二模,7)已知函数$f(x)=\sqrt{2}\sin(\omega x+\varphi)(\omega＞0,|\varphi|＜\frac{\pi}{2})$的部分图象如图所示,若将函数$f(x)$的图象向右平移$\theta(\theta＞0)$个单位长度后所得曲线关于$y$轴对称,则$\theta$的最小值为（ ）

A. $\frac{\pi}{8}$
B. $\frac{\pi}{4}$
C. $\frac{3\pi}{8}$
D. $\frac{\pi}{2}$

答案： A 由题图得$\sin\left(\frac{\pi}{4}\omega+\varphi\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则有$\frac{3}{8}T=\frac{5\pi}{8}-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{8}$，$T=\pi$，又$T=\frac{2\pi}{|\omega|},\omega\gt0$，所以$\omega = 2$，则$f(x)=\sqrt{2}\sin(2x+\varphi)$，把$\left(\frac{5\pi}{8},0\right)$代入得$0=\sqrt{2}\sin\left(2\times\frac{5\pi}{8}+\varphi\right)$，$\frac{5\pi}{4}+\varphi=2k\pi+\pi,k\in\mathbf{Z}$，$\varphi=2k\pi-\frac{\pi}{4},k\in\mathbf{Z}$，因为$|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=-\frac{\pi}{4}$，则$f(x)=\sqrt{2}\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$。将$f(x)$的图象向右平移$\theta(\theta\gt0)$个单位长度后得到$y=\sqrt{2}\sin\left[2(x - \theta)-\frac{\pi}{4}\right]$的图象。由所得曲线关于$y$轴对称得$y=\sqrt{2}\sin\left[2(x - \theta)-\frac{\pi}{4}\right]$是偶函数，所以$-2\theta-\frac{\pi}{4}=k_{1}\pi+\frac{\pi}{2},k_{1}\in\mathbf{Z}$，$\theta=-\frac{k_{1}\pi}{2}-\frac{3\pi}{8},k_{1}\in\mathbf{Z}$，又$\theta\gt0$，所以$\theta$的最小值为$\frac{\pi}{8}$。故选A。