《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1. (2024广东揭阳二模,2)已知函数$f(x)=-x^{2}+ax + 1$在$(2,6)$上不单调,则$a$的取值范围是(　　)
A. $(2,6)$　　　　　　
　B. $(-\infty ,2]\cup [6,+\infty )$
C. $(4,12)$　　　　　　
　D. $(-\infty ,4]\cup [12,+\infty )$

答案： C：$f(x)=-(x - \frac{a}{2})^2 + 1 + \frac{a^2}{4}$，由题意得$2＜\frac{a}{2}＜6$，解得$4 ＜ a ＜ 12$。故选C。

2. (2024湖北武汉调研,3)已知$ab\neq 1,\log _{a}m = 2,\log _{b}m = 3$,则$\log _{(ab)}m=$(　　)
A. $\frac{1}{6}$　　　
　B. $\frac{1}{5}$　　
　C. $\frac{5}{6}$　　
　D. $\frac{6}{5}$

答案： D：由换底公式得$\log_m a = \frac{1}{\log_a m}=\frac{1}{2}$，$\log_m b = \frac{1}{\log_b m}=\frac{1}{3}$，所以$\log_{(ab)}m=\frac{1}{\log_m(ab)}=\frac{1}{\log_m a+\log_m b}=\frac{6}{5}$。故选D。

3. (2024江西南昌一模,6)已知$a = \log _{2}5,b = \log _{5}2,c = e^{\frac{1}{2}}$,则(　　)
A. $c\lt a\lt b$　　　　　　
　B. $a\lt c\lt b$
C. $a\lt b\lt c$　　　　　　
　D. $b\lt c\lt a$

答案： D：因为$a = \log_25＞\log_24 = 2$，$b = \log_52＜\log_55 = 1$，$1 ＜ c = e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}＜\sqrt{4}=2$，所以$b ＜ c ＜ a$。故选D。

4. (2024北京东城一模,4)设函数$f(x)=\frac{1}{\ln x}+1$,则(　　)
A. $f(x)+f(\frac{1}{x}) = 2$　　
　B. $f(x)-f(\frac{1}{x}) = 2$
C. $f(x)f(\frac{1}{x}) = 2$　　　
　D. $f(x)=2f(\frac{1}{x})$

答案： A：函数$f(x)=\frac{1}{\ln x}+1$的定义域为$(0,1)\cup(1,+\infty)$，$f(\frac{1}{x})=\frac{1}{\ln\frac{1}{x}}+1=-\frac{1}{\ln x}+1$。
对于A，$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{\ln x}+1-\frac{1}{\ln x}+1 = 2$，故A正确；
对于B，$f(x)-f(\frac{1}{x})=\frac{1}{\ln x}+1+\frac{1}{\ln x}-1=\frac{2}{\ln x}$，故B错误；
对于C、D，当$x = e$时，$f(x)=\frac{1}{1}+1 = 2$，$f(\frac{1}{x})=\frac{1}{-1}+1 = 0$，故C、D错误。故选A。

5. (2024辽宁名校联盟调研,2)若函数$f(x)=3^{-2x^{2}+ax}$在区间$(1,4)$内单调递减,则$a$的取值范围是(　　)
A. $(-\infty ,4]$　　　　　
　B. $[4,16]$
C. $(16,+\infty )$　　　　
　D. $[16,+\infty )$

答案： A：设$f(u)=3^u$，$u=-2x^2 + ax$，则$f(u)=3^u$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增。因为$f(x)=3^{-2x^2+ax}$在区间$(1,4)$内单调递减，所以函数$u=-2x^2 + ax$在区间$(1,4)$内单调递减，（同增异减）结合二次函数的图象和性质，可得$\frac{a}{4}\leq1$，解得$a\leq4$。故选A。

6. (2024云南昆明一模,3)已知$f(x)=|\lg x|$,若$a = f(\frac{1}{4}),b = f(\frac{1}{2}),c = f(3)$,则(　　)
A. $a＞b＞c$　　　　　　
　B. $a＞c＞b$
C. $c＞a＞b$　　　　　　
　D. $b＞a＞c$

答案： B：由$f(x)=|\lg x|$得$a = f(\frac{1}{4})=|\lg\frac{1}{4}|=|-\lg4|=\lg4$，$b = f(\frac{1}{2})=|\lg\frac{1}{2}|=|-\lg2|=\lg2$，$c = f(3)=\lg3$，因为$y = \lg x$在$(0,+\infty)$上为增函数，所以$\lg4＞\lg3＞\lg2$，即$a ＞ c ＞ b$。故选B。

7. (2024贵州黔东南州二模,5)若函数$f(x)=\log _{\sqrt{2}}(x^{2}-ax + a)(a＞0)$的值域为$\mathbf{R}$,则$f(a)$的取值范围是(　　)
A. $(-\infty ,4]$　　　　　
　B. $(-\infty ,4)$
C. $[4,+\infty )$　　　　　
　D. $(4,+\infty )$

答案： C：依题意可得$x^2 - ax + a$要取遍所有正数，则$\Delta=a^2 - 4a\geq0$，因为$a＞0$，所以$a\geq4$。故$f(a)=\log_{\sqrt{2}}a\geq\log_{\sqrt{2}}4=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2})^4 = 4$。故选C。

8. (2024河北部分学校3月模拟,5)下列不等式成立的是(　　)
A. $0.6^{0.6}＞0.6^{0.5}$　　　　
　B. $\log _{0.6}0.6＞\log _{5}0.5$
C. $0.6^{0.5}＞\log _{0.6}0.5$　　　
　D. $\log _{6}0.5＞\log _{6}0.7$

答案： B：
A.$y = 0.6^x$单调递减，所以$0.6^6＜0.6^5$，故A错误；
B.$y=\log_6x$单调递增，所以$\log_60.6＞\log_60.5$，又$\log_60.5＞\log_50.5$，所以$\log_60.6＞\log_50.5$，故B正确；
C.$0.6^{0.5}\in(0,1)$，$\log_{0.6}0.5＞\log_{0.6}0.6 = 1$，所以$0.6^{0.5}＜\log_{0.6}0.5$，故C错误；
D.$y=\log_6x$单调递增，所以$\log_60.5＜\log_60.7$，故D错误。故选B。

9. (2024浙江温州二模,4)已知$a = \sin 0.5,b = 3^{0.5},c = \log _{0.3}0.5$,则$a,b,c$的大小关系是(　　)
A. $a\lt b\lt c$　　　　　　
　B. $a\lt c\lt b$
C. $c\lt a\lt b$　　　　　　
　D. $c\lt b\lt a$

答案： B：因为$a=\sin0.5＜\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，（注意$1$弧度$\approx57.3^{\circ}$）$b = 3^{0.5}＞3^0 = 1$，$\frac{1}{2}=\log_{0.3}\sqrt{0.3}＜\log_{0.3}\sqrt{0.25}=\log_{0.3}0.5 = c＜\log_{0.3}0.3 = 1$，所以$a ＜ c ＜ b$。故选B。

10. (2024吉林长春第十一中学一模,7)已知函数$f(x)=|3^{x}-3^{-x}|$,则不等式$f(2x - 1)-f(x)＞0$的解集为(　　)
A. $(-\infty ,\frac{1}{3})\cup (1,+\infty )$
B. $(-\infty ,\frac{1}{3})$
C. $(\frac{1}{3},1)$　　　　　　　
　D. $(1,+\infty )$

答案： A：$f(x)=|3^x - 3^{-x}|$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(-x)=|3^{-x}-3^x|=|3^x - 3^{-x}|=f(x)$，故$y = f(x)$为偶函数。当$x＞0$时，$y = 3^x$，$y=-3^{-x}$均为增函数，故$g(x)=3^x - 3^{-x}$为$(0,+\infty)$上的增函数，又$g(0)=0$，故当$x＞0$时，$g(x)＞0$，则$y = f(x)=g(x)$为$(0,+\infty)$上的增函数，故$x＜0$时，$y = f(x)$为减函数，（偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反）$f(2x - 1)-f(x)＞0$，即$f(2x - 1)＞f(x)$，则$|2x - 1|＞|x|$，即$(2x - 1)^2＞x^2$，$3x^2 - 4x + 1＞0$，解得$x\in(-\infty,\frac{1}{3})\cup(1,+\infty)$。故选A。

11. (多选)(2024江苏南京、盐城一模,9)已知$x,y\in \mathbf{R}$,且$12^{x}=3,12^{y}=4$,则(　　)
A. $y＞x$　　　　　　　
　B. $x + y＞1$
C. $xy＜\frac{1}{4}$　　　　　　
　D. $\sqrt{x}+\sqrt{y}＜\sqrt{2}$

答案： ACD：$\because12^x = 3$，$12^y = 4$，$\therefore x=\log_{12}3$，$y=\log_{12}4$。
$\because y=\log_{12}x$在$(0,+\infty)$上单调递增，$\therefore y＞x$，故A正确；
$\because x + y=\log_{12}3+\log_{12}4=\log_{12}12 = 1$，$\therefore$B错误；
$\because x＞0$，$y＞0$，$\therefore xy\leq(\frac{x + y}{2})^2=\frac{1}{4}$，当且仅当$x = y$时等号成立，而$x＜y$，故$xy＜\frac{1}{4}$，$\therefore$C正确；
$\because(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=x + y+2\sqrt{xy}=1 + 2\sqrt{xy}＜2$，即$\sqrt{x}+\sqrt{y}＜\sqrt{2}$，$\therefore$D正确。故选ACD。

12. (2024辽宁辽阳一模,13)若$x^{2}-x = 1$,则,$\log _{2}(x^{3}-2x^{2}+5)=$_______.

答案： 答案：$-2$；$2$
解析：因为$x^2 - x = 1$，所以$\log_{\frac{\sqrt{2}}{2}}(x^2 - x + 1)=\log_{\frac{\sqrt{2}}{2}}2=\frac{1}{\log_2\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2$，$x^3 - 2x^2 + 5=x(x^2 - x)-x^2 + 5=x - x^2 + 5=5-(x^2 - x)=5 - 1 = 4$，故$\log_2(x^3 - 2x^2 + 5)=\log_24 = 2$。

13. (2024云南曲靖第一次质量监测,12)如图,在第一象限内,矩形$ABCD$的三个顶点$A,B,C$分别在函数$y=\log _{\frac{\sqrt{2}}{2}}x,y = x^{\frac{1}{2}},y = (\frac{\sqrt{3}}{3})^{x}$的图象上,且矩形的边分别与两坐标轴平行,若$A$点的纵坐标是2,则$D$点的坐标是_______.

答案： 答案：$(\frac{1}{3},\frac{1}{81})$
解析：由题意，知$A$点在函数$y=\log_{\frac{1}{3}}x$的图象上，所以$2=\log_{\frac{1}{3}}x$，$x=\frac{1}{3}$，故$A$点坐标为$(\frac{1}{3},2)$，因为$B$在函数$y = x^{\frac{1}{3}}$的图象上，$AB// x$轴，所以$2=x^{\frac{1}{3}}$，$x = 8$，因为$C$在函数$y = (\frac{\sqrt{3}}{3})^x$的图象上，$BC// y$轴，所以$y = (\frac{\sqrt{3}}{3})^8=\frac{1}{81}$，则$C$点坐标为$(8,\frac{1}{81})$，所以$D$点的坐标是$(\frac{1}{3},\frac{1}{81})$。