《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

8.(2024东北三省三校第二次联考,5)已知$|\boldsymbol{a}| = 5$，$\boldsymbol{b}=(-1,2)$，$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量为$\boldsymbol{m}=(-2,4)$，则向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$夹角余弦值为（ ）
A.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$-\frac{\sqrt{5}}{5}$

答案： A

9.(2024广西南宁3月第一次适应性测试,5)已知$\triangle ABC$的外接圆圆心为$O$，且$2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{AC}|$，则向量$\overrightarrow{CA}$在向量$\overrightarrow{CB}$上的投影向量为（ ）
A.$\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{4}\overrightarrow{CB}$
C.$-\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}$
D.$\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$

答案：

10.(2024浙江杭州二模,3)已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是两个单位向量，若向量$\boldsymbol{a}$在向量$\boldsymbol{b}$上的投影向量为$\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$，则向量$\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$的夹角为（ ）
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°

答案：

11.(2024山东淄博一模,6)在平面直角坐标系$xOy$中，已知向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$关于$x$轴对称，向量$\boldsymbol{a}=(0,1)$，若满足$\overrightarrow{OA}^{2}+\boldsymbol{a}\cdot\overrightarrow{AB}=0$的点$A$的轨迹为$E$，则（ ）
A.$E$是一条垂直于$x$轴的直线
B.$E$是一个半径为1的圆
C.$E$是两条平行直线
D.$E$是椭圆

答案：

12.(多选)(2024湖北武汉调研,9)已知向量$\boldsymbol{a}=(\cos\theta,\sin\theta)$，$\boldsymbol{b}=(-3,4)$，则（ ）
A.若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则$\tan\theta=-\frac{4}{3}$
B.若$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则$\sin\theta=\frac{3}{5}$
C.$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$的最大值为6
D.若$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = 0$，则$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = 2\sqrt{6}$

答案： 若a//b,则4cosθ=−3sinθ,tanθ=−$\frac{4}{3}$,A正确;若a⊥b,则−3cosθ+4sinθ=0,tanθ=$\frac{3}{4}$,所以sinθ=±$\frac{3}{5}$,B 错误;因为lal=$\sqrt{cos²0+sin²0}$=1,1b1=$\sqrt{(−3)²+4²}$=5,1a−bl≤lal+1bl=6,当且仅当a,b反向时等号成立,所以C正确;若a.(a−b)=0,则a²=a.b,则la−b｜=$\sqrt{(a−b)²}$=
　$\sqrt{a²−2a.b+b²}$=$\sqrt{−a²+b²}$=　$\sqrt{−1+25}$=2$\sqrt{6}$,D正确.故选ACD.

13.(多选)(2024福建厦门毕业班第四次质量检测，10)已知等边$\triangle ABC$的边长为4，点$D$，$E$满足$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{EC}$，$AE$与$CD$交于点$O$，则（ ）
A.$\overrightarrow{CD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$
B.$\overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{BC}=8$
C.$\overrightarrow{CO}=2\overrightarrow{OD}$
D.$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}|=\sqrt{3}$

答案：

14.(2024浙江嘉兴调研,12)已知平面向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$，$\boldsymbol{a}=(-1,\sqrt{3})$，$\boldsymbol{b}=(\sqrt{3},-1)$，$\boldsymbol{c}$是非零向量，且$\boldsymbol{c}$与$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角相等，则$\boldsymbol{c}$的坐标可以为________.（只需写出一个符合要求的答案）

答案：

15.(2024黑龙江哈六中二模,12)已知不共线的三个单位向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$满足$\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$，则实数$\lambda=$________.

答案： 答案−1
解析　由a+λb+c=0,得c=−a−λb,则c²=(−a−λb)²,即c²=
a²+2λa.b+λ²b²,即1=1+2λcos$\frac{H}{3}$+λ²,解得λ=−1或λ=0,λ=0时,c=−a,不符合题意,故λ=−1.

1.(2024江西重点中学协作体联考,6)如图，正六边形的边长为$2\sqrt{2}$，半径为1的圆$O$的圆心为正六边形的中心，若点$M$在正六边形的边上运动，动点$A$，$B$在圆$O$上运动且关于圆心$O$对称，则$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$的取值范围为（ ）

A.$[4,5]$
B.$[5,7]$
C.$[4,6]$
D.$[5,8]$

答案： B.

2.(2024湖南新高考教学教研联盟第二次联考,5)设$\overrightarrow{OA}=(1,0)$，$\overrightarrow{OB}=(0,2)$，对满足条件$|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}| = 2|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|$的点$C(x,y)$，$O$为坐标原点，$|x - 2y + m|+|x - 2y - 7|$的值与$x$，$y$无关，则实数$m$的取值范围为（ ）
A.$(-\infty,-7)$
B.$[13,+\infty)$
C.$(13,+\infty)$
D.$(-\infty,-7)\cup[13,+\infty)$

答案： B

3.(2024河北石家庄质检（二）,6)在平行四边形$ABCD$中，$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{3\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}=\lambda\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，$\lambda\in[\sqrt{7},3]$，则$\cos\angle BAD$的取值范围是（ ）
A.$[-\frac{1}{2},-\frac{1}{6}]$
B.$[-\frac{1}{2},\frac{1}{3}]$
C.$[-\frac{2}{3},\frac{1}{3}]$
D.$[-\frac{2}{3},-\frac{1}{6}]$

答案： A